Problema difficile (62324)
un solido di legno(0.5) del peso di 120 g, è formato da un cubo sormontato da una piramide regolare quadrangolare avente per base il poligono ottenuto congiungendo i punti medi dei lati di una faccia del cubo. Sapendo che lo spigolo del cubo misura 6cm, calcola la lunghezza dello spigolo della piramide. [5cm]
COME SI RISOLVE?
COME SI RISOLVE?
Risposte
Per prima cosa calcoliamo il volume del solido:
Da questo volume, togliamo il volume del cubo
Quindi 240-216= 24
24cm^3 e' il volume della piramide.
Calcoliamo ora lo spigolo di base della piramide.
Esso e' l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti le meta' del lato del quadrato (faccia del cubo su cui appoggia)
Lo spigolo di base della piramide sara' dunque
E quindi la superficie di base della piramide sara'
Abbiamo il volume della piramide che si trova:
L'altezza della piramide e' dunque 4
L'apotema della piramide regolare quadrangolare e' l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza della piramide (4) e l'apotema del quadrato di base (ovvero meta' lato e quindi 4,24 : 2 = 2,12 )
Pertanto con Pitagora calcoliamo l'apotema della piramide
Consideriamo ora il triangolo/faccia della piramide.
Esso e' un triangolo isoscele (la piramide e' regolare) di cui l'apotema della piramide e' l'altezza. La base del triangolo isoscele e' il lato del quadrato (ovvero 4,24)
In un triangolo isoscele, l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli, aventi come cateti l'altezza del triangolo e meta' della base, e come ipotenusa, il lato del triangolo isoscele (nonche' spigolo della piramide)
Quindi di nuovo con Pitagora (indico con l il lato del triangolo isoscele/faccia della piramide)
Se hai dubbi chiedi :)
[math] P=V \cdot p_s \to V=\frac{P}{P_s}= \frac{120 g}{0,5 \frac{g}{cm^3}}= 240cm^3 [/math]
Da questo volume, togliamo il volume del cubo
[math] V=6^3=216cm^3 [/math]
Quindi 240-216= 24
24cm^3 e' il volume della piramide.
Calcoliamo ora lo spigolo di base della piramide.
Esso e' l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti le meta' del lato del quadrato (faccia del cubo su cui appoggia)
Lo spigolo di base della piramide sara' dunque
[math] s= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18}=4,24 [/math]
E quindi la superficie di base della piramide sara'
[math] l^2 = \sqrt{18}^2=18 [/math]
Abbiamo il volume della piramide che si trova:
[math] V= \frac13 A_B \cdot h \to h= \frac{3V}{A_b} = \frac{3 \cdot 24}{18} = 4 [/math]
L'altezza della piramide e' dunque 4
L'apotema della piramide regolare quadrangolare e' l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza della piramide (4) e l'apotema del quadrato di base (ovvero meta' lato e quindi 4,24 : 2 = 2,12 )
Pertanto con Pitagora calcoliamo l'apotema della piramide
[math] a_P= \sqrt{4^2+2,12^2} = \sqrt{20,50} = 4,53 [/math]
Consideriamo ora il triangolo/faccia della piramide.
Esso e' un triangolo isoscele (la piramide e' regolare) di cui l'apotema della piramide e' l'altezza. La base del triangolo isoscele e' il lato del quadrato (ovvero 4,24)
In un triangolo isoscele, l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli, aventi come cateti l'altezza del triangolo e meta' della base, e come ipotenusa, il lato del triangolo isoscele (nonche' spigolo della piramide)
Quindi di nuovo con Pitagora (indico con l il lato del triangolo isoscele/faccia della piramide)
[math] l= \sqrt{ 4,53^2 + 2,12^2} = \sqrt{20,50 + 4,50} = \sqrt{25} = 5 [/math]
Se hai dubbi chiedi :)
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