Problema di geometria (79041)

[•studente•]

U n triangolo isoscele ha l'area di 108 cm quadrati e la base è congruente a 3/2 dell'altezza; calcola: il suo perimetro e il perimetro di un rombo equivalente a 9/5 del triangolo e avente un diagonale lunga 27 cm...
qualcuno mi saprebbe risolvere questo problema??
grazie 1000
ciao

[Ali Q]

Soluzione.

L'area di un triangolo è pari a:

[math]A = b*h/2 = 108 cm^2[/math]

Si sa inoltre che

[math]b= 3/2 * h[/math]

.

Sostituisco dunque questo valore nella formula dell'area:

[math]A = b*h/2 = 3/4 h*h = 3/4*h^2 = 108 cm^2[/math]

Quindi

[math]h = \sqrt[2]{A*4/3} = \sqrt[2]{144}= 12 cm.[/math]

b, si sa, è pari a 3/2 di questo valore.

[math]b = 3/2 * 12 = 18 cm.[/math]

Ora, nel triangolo isoscele, l'altezza rispetto alla base lo divide in due traingoli rettangoli, nei quali l'ipotenusa è il lato obliquo del triangolo (l), il cateto orizzontale è pari a metà della base (9 cm) e il cateto verticale è pari all'altezza (12 cm).
posso allora trovare l utilizzando il teorema di Pitagora:

[math]l = \sqrt[2]{(12^2 +9^2)}= \sqrt[2]{(144+81)}= \sqrt[2]{225} = 15 cm.[/math]

Il perimetro del triangolo sarà pari a:

[math]P = 2*l + b = 2*15 + 18 = 30 +18 = 48 cm.[/math]

Il rombo è equivalente a 9/5 del triangolo.
Questo significa che:

[math]Area rombo = 9/5 * Area triangolo = 9/5 *108 = 194,4 cm^2[/math]

Poichè nel rombo A = (d1 x d2)/2, nota una diagonale posso determinare l'altra:

d2 = A*2/d1 = 2*194,4/27 = 14,4 cm.

Ora, nel rombo le diagonali sono perpendicolari, e si tagliano a metà. Quindi esse dividono il rombo in quattro traingoli rettangoli, nei quali i cateti sono pari alla metà delle due diagonali ( 13,5 cm e 7,2 cm) e l'ipotenusa è il lato del rombo.
Posso trovare il lato del rombo grazie al teorema di Pitagora.

[math]lato rombo = = \sqrt[2]{(13,5^2 +7,2^2)}= \sqrt[2]{(182,25 +51,84)}= \sqrt[2]{234,09} = 15,3 cm.[/math]

Il perimetro del rombo è quindi pari a:

[math]P = 4 * lato = 4*15,3 = 61,2 cm.[/math]

Fine. Ciao!