PROBLEMA DI GEOMETRIA (78151)
1)la base maggiore di un trapezio misura 40 cm la minore è i 3/5 della maggiore e l' altezza è i 3/16 della somma delle due basi . Calcola la misura delle dimensioni di un rettangolo equivalente al trapezio, sapendo che sono uno gli 8/3 dell' altra;l'area di un quadrato isoperimetrico al rettangolo.
2)La diagonale maggiore di un rombo;è i 5/3 della minore e l' area è 270 mm 2.
.Calcola la misura delle diagonali del rombo;
.Il lato di un quadrato equivalente ai 3/10 del rombo;
.l'area di un triangolo avente la base congruente alla diagonale minore del rombo e l' altezza congruente ai 7/9 di questa.
3)In un triangolo rettangolo avente l' ipotenusa lunga 70 cm e l'area di 1176 cm2 i cateti sono uno i 3/4 dell' altro.
.L' area di un quadrato avente il lato congruente all' altezza relativa all' ipotenusa ;
.Il perimetro e l'area di un triangolo equilatero avente il lato congruente
alla semisomma dei due cateti del triangolo.
Grazie mille se mi aiutate!!:))
2)La diagonale maggiore di un rombo;è i 5/3 della minore e l' area è 270 mm 2.
.Calcola la misura delle diagonali del rombo;
.Il lato di un quadrato equivalente ai 3/10 del rombo;
.l'area di un triangolo avente la base congruente alla diagonale minore del rombo e l' altezza congruente ai 7/9 di questa.
3)In un triangolo rettangolo avente l' ipotenusa lunga 70 cm e l'area di 1176 cm2 i cateti sono uno i 3/4 dell' altro.
.L' area di un quadrato avente il lato congruente all' altezza relativa all' ipotenusa ;
.Il perimetro e l'area di un triangolo equilatero avente il lato congruente
alla semisomma dei due cateti del triangolo.
Grazie mille se mi aiutate!!:))
Risposte
Ciao, Annah64! Ti risolvo i problemi.
Ecco le soluzioni....
1) Prima di tutto è necessario determinare l'area del trapezio.
Essa è pari a: A= (b+B) x h/2.
I dati a nostra disposizione per eseguire questo calcolo sono che:
B= 40 cm.
b= 3/5 B. Posso quindi calcolare subito il suo valore: b= 3/5 x B = 3/5 x 40 = 24 cm.
h= 3/16 (B+b). Anche in questo caso, note B e b, posso subito eseguire il calcolo: h= 3/16 (B+b) = 3/16 (40+24) = 3/16 x 64 = 12 cm.
Quindi scrivo che: A= (b+B) x h/2 = (24+40) x 12/2 = 64 x 6 = 384 cm^2
A questo punto il problema ci chiede di determinare le dimensioni di un rettangolo equivalente al trapezio. Due poligoni sono equivalenti quando hanno la stessa area.
Dunque l'area del trapezio (384 cm^2) è anche l'area del rettangolo.
Chiamo L il lato maggiore del rettangolo ed l quello minore.
Per calcolare L ed l abbiamo a nostra disposizione due informazioni:
1) A (=384) = L x l
2) L= 8/3 l.
Ora, se l= 8/3 L, posso sostituire questa informazione alla formula dell'area: 384 = L x l = 8/3 l x l = 8/3 l^2.
Quindi l = radice quadrata di ( 384 x 3/8 ) = radice di 144 = 12 cm.
Di L si sa invece che è uguale a 8/3 di l. Quindi L= 8/3 x 12 = 32 cm.
Il perimetro del rettangolo è invece P = 2xL + 2xl = 2x32 + 12x2 = 64 +24 =88 cm.
Il quadrato ha il medesimo perimetro (così dice il testo) del rettangolo.
Quindi anche il suo perimetro è pari a 88 cm.
Poichè nel quadrato si ha che P=4 x lato, questo significa che il lato del quadrato è pari a P/4, cioè, nel nostro caso, 88/4 = 22 cm.
L'area del quadrato è pari ad lxl. Cioè Aquad = 22x22= 484 cm^2.
2) Per calcolare D e d possiedo due informazioni molto utili:
la prima: D=5/3 d
la seconda: A (=270)= Dxd/2.
Sostituisco il valore D=5/3d alla formula dell'area: 270= (5/3d x d)/2 =(5/3 d^2)/2.
Questo vuol dire che d= radice quadrata di (2 x270 x 3/5) = radice di 324 =18 mm.
D= 5/3 d = 5/3 x 18 = 30 mm.
Il quadrato è equivalente a 3/10 del rombo.
Tradotto in formula questo vuol dire che Aquad = Arombo x 3/10 = 270 x 3/10 = 81 mm^2.
Nel quadrato A = lxl = l^2.
Quindi l quad = radice quadrata di Aquad = radice di 81 = 9 mm.
Nel triangolo l'area è pari a bxh/2.
Si sa che nel triangolo in questione b=d rombo = 18 mm.
E che h = 7/9 x d = 7/9 x 18 = 14 mm.
Quindi A triang = bxh/2 = 18x14/2 = 126 mm^2.
3) Per prima cosa occorre determinare la misura dei cateti del triangolo.
Nel triangolo rettangolo l'altezza coincide con il cateto verticale e la base con quello orizzontale.
Chiamiamo cv il cateto verticale del triangolo e co quello orizzontale.
Per determinare cv e co il problema fornisce le seguenti informazioni:
1) A (=1176 cm^2) = cv x co/2
2) cv= 3/4 co.
Sostituisco questa seconda informazione alla prima formula.
Ottengo: 1176 = 3/4 co x co/2 = 3/4 co^2/2.
Quindi posso scrivere che co= radice quadrata di (1176 x2)x4/3 = radice di 3136 = 56 cm.
Di cv si sa invece che cv= 3/4 co = 3/4 x 56 = 42 cm.
Rispondiamo ora alle domande:
-L' area di un quadrato avente il lato congruente all' altezza relativa all' ipotenusa:
L'area del triangolo è nota. Essa è pari al prodotto di un lato qualsiasi del triangolo per l'altezza ad esso relativa! Quindi A non è solo pari a coxcv/2, ma anche pari ad esempio all'(ipotenusa x l'altezza ad essa realtiva/2)!
Si può quindi scrivere che A= ip x h (ip)/2. Cioè 1176 = 70 x h(ip)/2.
Quindi h(ip) = 2 x 1176/70 = 33,6 cm.
Questa -ci dice il porblema- è anche la misura del lato del quadrato.
Nel quadrato A = lato x lato = 33,6 x 33,6 = 1128,96 cm^2.
- Il perimetro e l'area di un triangolo equilatero avente il lato congruente alla semisomma dei due cateti del triangolo.
In parole povere il lato del triangolo è pari a (co+cv)/2 = (56+42)/2 = 49 cm.
Il suo perimetro è presto calcolato, dal momento che si tratta di un triangolo equilatero:
P = 3 x l = 3 x 49 = 147 cm.
Per calcolare l'area mi manca di conoscere l'altezza. Tuttavia nel triangolo equilatero l'altezza è anche mediana del lato e bisettrice dell'angolo al vertice. Quindi l'latezza relativa alla base del triangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali, in cui l'ipotenusa è il lato obliquo del triangolo equilatero (49 cm), il cateto orizzontale è pari alla metà della base (49/2 = 24,5 cm) e il cateto verticale è appunto l'altezza che vogliamo determinare.
Si può usare quindi il teorema di Pitagora:
h = radice di (49^2 -24,5^2) = radice di (2401-600,25) = radice di 1800,75 = 42,43 cm circa.
Quindi A = bxh/2 = 1039,53 cm^2 circa.
Fine. Ciao!
Ecco le soluzioni....
1) Prima di tutto è necessario determinare l'area del trapezio.
Essa è pari a: A= (b+B) x h/2.
I dati a nostra disposizione per eseguire questo calcolo sono che:
B= 40 cm.
b= 3/5 B. Posso quindi calcolare subito il suo valore: b= 3/5 x B = 3/5 x 40 = 24 cm.
h= 3/16 (B+b). Anche in questo caso, note B e b, posso subito eseguire il calcolo: h= 3/16 (B+b) = 3/16 (40+24) = 3/16 x 64 = 12 cm.
Quindi scrivo che: A= (b+B) x h/2 = (24+40) x 12/2 = 64 x 6 = 384 cm^2
A questo punto il problema ci chiede di determinare le dimensioni di un rettangolo equivalente al trapezio. Due poligoni sono equivalenti quando hanno la stessa area.
Dunque l'area del trapezio (384 cm^2) è anche l'area del rettangolo.
Chiamo L il lato maggiore del rettangolo ed l quello minore.
Per calcolare L ed l abbiamo a nostra disposizione due informazioni:
1) A (=384) = L x l
2) L= 8/3 l.
Ora, se l= 8/3 L, posso sostituire questa informazione alla formula dell'area: 384 = L x l = 8/3 l x l = 8/3 l^2.
Quindi l = radice quadrata di ( 384 x 3/8 ) = radice di 144 = 12 cm.
Di L si sa invece che è uguale a 8/3 di l. Quindi L= 8/3 x 12 = 32 cm.
Il perimetro del rettangolo è invece P = 2xL + 2xl = 2x32 + 12x2 = 64 +24 =88 cm.
Il quadrato ha il medesimo perimetro (così dice il testo) del rettangolo.
Quindi anche il suo perimetro è pari a 88 cm.
Poichè nel quadrato si ha che P=4 x lato, questo significa che il lato del quadrato è pari a P/4, cioè, nel nostro caso, 88/4 = 22 cm.
L'area del quadrato è pari ad lxl. Cioè Aquad = 22x22= 484 cm^2.
2) Per calcolare D e d possiedo due informazioni molto utili:
la prima: D=5/3 d
la seconda: A (=270)= Dxd/2.
Sostituisco il valore D=5/3d alla formula dell'area: 270= (5/3d x d)/2 =(5/3 d^2)/2.
Questo vuol dire che d= radice quadrata di (2 x270 x 3/5) = radice di 324 =18 mm.
D= 5/3 d = 5/3 x 18 = 30 mm.
Il quadrato è equivalente a 3/10 del rombo.
Tradotto in formula questo vuol dire che Aquad = Arombo x 3/10 = 270 x 3/10 = 81 mm^2.
Nel quadrato A = lxl = l^2.
Quindi l quad = radice quadrata di Aquad = radice di 81 = 9 mm.
Nel triangolo l'area è pari a bxh/2.
Si sa che nel triangolo in questione b=d rombo = 18 mm.
E che h = 7/9 x d = 7/9 x 18 = 14 mm.
Quindi A triang = bxh/2 = 18x14/2 = 126 mm^2.
3) Per prima cosa occorre determinare la misura dei cateti del triangolo.
Nel triangolo rettangolo l'altezza coincide con il cateto verticale e la base con quello orizzontale.
Chiamiamo cv il cateto verticale del triangolo e co quello orizzontale.
Per determinare cv e co il problema fornisce le seguenti informazioni:
1) A (=1176 cm^2) = cv x co/2
2) cv= 3/4 co.
Sostituisco questa seconda informazione alla prima formula.
Ottengo: 1176 = 3/4 co x co/2 = 3/4 co^2/2.
Quindi posso scrivere che co= radice quadrata di (1176 x2)x4/3 = radice di 3136 = 56 cm.
Di cv si sa invece che cv= 3/4 co = 3/4 x 56 = 42 cm.
Rispondiamo ora alle domande:
-L' area di un quadrato avente il lato congruente all' altezza relativa all' ipotenusa:
L'area del triangolo è nota. Essa è pari al prodotto di un lato qualsiasi del triangolo per l'altezza ad esso relativa! Quindi A non è solo pari a coxcv/2, ma anche pari ad esempio all'(ipotenusa x l'altezza ad essa realtiva/2)!
Si può quindi scrivere che A= ip x h (ip)/2. Cioè 1176 = 70 x h(ip)/2.
Quindi h(ip) = 2 x 1176/70 = 33,6 cm.
Questa -ci dice il porblema- è anche la misura del lato del quadrato.
Nel quadrato A = lato x lato = 33,6 x 33,6 = 1128,96 cm^2.
- Il perimetro e l'area di un triangolo equilatero avente il lato congruente alla semisomma dei due cateti del triangolo.
In parole povere il lato del triangolo è pari a (co+cv)/2 = (56+42)/2 = 49 cm.
Il suo perimetro è presto calcolato, dal momento che si tratta di un triangolo equilatero:
P = 3 x l = 3 x 49 = 147 cm.
Per calcolare l'area mi manca di conoscere l'altezza. Tuttavia nel triangolo equilatero l'altezza è anche mediana del lato e bisettrice dell'angolo al vertice. Quindi l'latezza relativa alla base del triangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali, in cui l'ipotenusa è il lato obliquo del triangolo equilatero (49 cm), il cateto orizzontale è pari alla metà della base (49/2 = 24,5 cm) e il cateto verticale è appunto l'altezza che vogliamo determinare.
Si può usare quindi il teorema di Pitagora:
h = radice di (49^2 -24,5^2) = radice di (2401-600,25) = radice di 1800,75 = 42,43 cm circa.
Quindi A = bxh/2 = 1039,53 cm^2 circa.
Fine. Ciao!
grazie Ali buona serata!:)
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