Problema di geometria (70171)
Mi aiutate a risolvere questo problema?
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 30°. Calcola la misura delle basi, sapendo che l'area è 420 cm quadrati e l'altezza misura 8 cm.
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 30°. Calcola la misura delle basi, sapendo che l'area è 420 cm quadrati e l'altezza misura 8 cm.
Risposte
Osserva bene questo disegno:
Puoi notare che tracciando le altezze del trapezio si ottengono due triangoli rettangoli, che hanno:
- come cateto maggiore una proiezione del lato obliquo sulla base maggiore;
- come cateto minore un'altezza del trapezio;
- come ipotenusa uno dei suoi lati obliqui.
Ciascuno di questi triangoli rettangoli ha un angolo di 30° opposto al cateto minore (l'angolo che ciascun lato obliquo forma con la base maggiore); questo vuol dire che equivale alla metà di un triangolo equilatero. Il cateto minore, quindi, è lungo la metà dell'ipotenusa. In questo caso il cateto minore è l'altezza del trapezio, che misura 8 cm. Noi dobbiamo calcolare la lunghezza del cateto maggiore (ovvero della proiezione), che in questo tipo di triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa (8 cm) moltiplicata per la radice quadrata di 3.
Con la formula
La base maggiore è formata da 3 segmenti: uno congruente alla base minore più le due proiezioni. Rappresentiamo la base maggiore tramite dei segmenti:
A|----------|H|---------------------------|K|----------|B base maggiore
Ora disegniamo un segmento che rappresenti la base minore:
D|---------------------------------|C
E la somma dei due segmenti:
A|----------|H|-------------------------|K|----------|B|D|-------------------------|C = 105 cm
Le due proiezioni misurano 13,856 cm l'una. Eseguiamo la sottrazione tra la somma delle basi e la somma delle due proiezioni, in modo da ottenere la somma dei segmenti congruenti HK e DC:
Quindi, poiché HK e DC sono congruenti:
Bè, direi che puoi continuare da solo. Ciao! :hi
Puoi notare che tracciando le altezze del trapezio si ottengono due triangoli rettangoli, che hanno:
- come cateto maggiore una proiezione del lato obliquo sulla base maggiore;
- come cateto minore un'altezza del trapezio;
- come ipotenusa uno dei suoi lati obliqui.
Ciascuno di questi triangoli rettangoli ha un angolo di 30° opposto al cateto minore (l'angolo che ciascun lato obliquo forma con la base maggiore); questo vuol dire che equivale alla metà di un triangolo equilatero. Il cateto minore, quindi, è lungo la metà dell'ipotenusa. In questo caso il cateto minore è l'altezza del trapezio, che misura 8 cm. Noi dobbiamo calcolare la lunghezza del cateto maggiore (ovvero della proiezione), che in questo tipo di triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa (8 cm) moltiplicata per la radice quadrata di 3.
[math]AH = cm 8 * \sqrt{3} = 8 * 1,732 = 13,856\;cm = KB[/math]
Con la formula
[math]b_1 + b_2 = \frac{2A} {h}[/math]
determiniamo la misura della somma delle basi:[math]AB + CD = \frac{2A} {DH} = \frac{2*420} {8} = \frac{\no{840}^{105}} {\no8^1} = 105\;cm[/math]
La base maggiore è formata da 3 segmenti: uno congruente alla base minore più le due proiezioni. Rappresentiamo la base maggiore tramite dei segmenti:
A|----------|H|---------------------------|K|----------|B base maggiore
Ora disegniamo un segmento che rappresenti la base minore:
D|---------------------------------|C
E la somma dei due segmenti:
A|----------|H|-------------------------|K|----------|B|D|-------------------------|C = 105 cm
Le due proiezioni misurano 13,856 cm l'una. Eseguiamo la sottrazione tra la somma delle basi e la somma delle due proiezioni, in modo da ottenere la somma dei segmenti congruenti HK e DC:
[math]HK + DC = (AB + DC) - (AH + KB) = cm\;105 - 13,856 + 13,856 = 77,288\;cm[/math]
Quindi, poiché HK e DC sono congruenti:
[math]DC = \frac{HK + DC} {2} = \frac{\no{77,288}^{38,644}}{\no2^1} = 38,644\;cm[/math]
Bè, direi che puoi continuare da solo. Ciao! :hi
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