Problema di geometria?
Ragazzi, mi aiutate a fare questo problema di geometria?
-Un solido è la somma di un cubo con lo spigolo di 20 cm e di due piramidi regolari congruenti avneit per le basi rispettivamente due facce opposte del cubo.Calcola l'area della superficie e il volume del solido, sapendo che la distanza fra i vertici delle piramidi è di 68 cm.
Aggiunto 4 ore 47 minuti più tardi:
Tutto chiaro..grazie mille..
-Un solido è la somma di un cubo con lo spigolo di 20 cm e di due piramidi regolari congruenti avneit per le basi rispettivamente due facce opposte del cubo.Calcola l'area della superficie e il volume del solido, sapendo che la distanza fra i vertici delle piramidi è di 68 cm.
Aggiunto 4 ore 47 minuti più tardi:
Tutto chiaro..grazie mille..
Risposte
La distanza tra i vertici delle piramidi e' 68.
Tale distanza e' formata da: altezza della piramide + altezza del cubo + altezza della seconda piramide.
Le due piramidi sono uguali, e la somma delle loro altezze sara' data dalla distanza dei vertici a cui toglieremo l'altezza del cubo (20).
quindi la somma delle altezze delle piramidi sara' 48 e l'altezza di ogni singola piramide sara' 48 : 2 = 24.
Il volume del solido sara' dato da Volume di una piramide x 2 + volume del solido.
Il volume della piramide e'
E siccome la base e' un quadrato (faccia del cubo) l'area della base sara' 20x20=400.
Quindi ognuna delle due piramidi avra' volume pari a
Mentre il cubo avra' volume
Il volume totale sara' dunque
Per la superficie totale abbiamo bisogno dell'apotema della piramide (ovvero l'altezza di ogni triangolo/faccia della piramide.
La piramide e' regolare, quindi le facce sono tutte uguali.
disegna la piramide, e tracciane l'altezza.
Noterai che l'altezza di ogni triangolo/faccia della piramide (apotema della piramide) e' l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza della piramide e meta' del lato del quadrato (segmento che unisce il centro del quadrato a meta' del lato ovvero l'apotema del quadrato)
Per il teorema di Pitagora avrai dunque che l'apotema della piramide (ribadisco, e' l'altezza del triangolo/faccia della piramide) sara'
Quindi ogni triangolo/faccia della piramide avra' altezza 2 e base = spigolo del cubo (ovvero 20)
Ogni faccia avra' dunque superficie:
Le facce della piramide sono 8 (4 per ogni piramide) a cui aggiungeremo 4 face del cubo (2 facce sono "condivise" con la piramide epertanto non si vedono)
se hai dubbi chiedi :)
Tale distanza e' formata da: altezza della piramide + altezza del cubo + altezza della seconda piramide.
Le due piramidi sono uguali, e la somma delle loro altezze sara' data dalla distanza dei vertici a cui toglieremo l'altezza del cubo (20).
quindi la somma delle altezze delle piramidi sara' 48 e l'altezza di ogni singola piramide sara' 48 : 2 = 24.
Il volume del solido sara' dato da Volume di una piramide x 2 + volume del solido.
Il volume della piramide e'
[math]V_P= \frac13 A_b \cdot h [/math]
E siccome la base e' un quadrato (faccia del cubo) l'area della base sara' 20x20=400.
Quindi ognuna delle due piramidi avra' volume pari a
[math] V_P= \frac13 \cdot 400 \cdot 24 = 3200 cm^3 [/math]
Mentre il cubo avra' volume
[math] V_C=20^3=8000 cm^3 [/math]
Il volume totale sara' dunque
[math] 3200 cm^3 + 3200 cm^3 + 8000 cm^3 = 14400cm^3 = 14,4 dm^3 [/math]
Per la superficie totale abbiamo bisogno dell'apotema della piramide (ovvero l'altezza di ogni triangolo/faccia della piramide.
La piramide e' regolare, quindi le facce sono tutte uguali.
disegna la piramide, e tracciane l'altezza.
Noterai che l'altezza di ogni triangolo/faccia della piramide (apotema della piramide) e' l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza della piramide e meta' del lato del quadrato (segmento che unisce il centro del quadrato a meta' del lato ovvero l'apotema del quadrato)
Per il teorema di Pitagora avrai dunque che l'apotema della piramide (ribadisco, e' l'altezza del triangolo/faccia della piramide) sara'
[math] a= \sqrt{10^2+24^2}= \sqrt{100+576}= \sqrt{676}= 26 [/math]
Quindi ogni triangolo/faccia della piramide avra' altezza 2 e base = spigolo del cubo (ovvero 20)
Ogni faccia avra' dunque superficie:
[math] \frac{20 \cdot 26}{2} = 260cm^2 [/math]
Le facce della piramide sono 8 (4 per ogni piramide) a cui aggiungeremo 4 face del cubo (2 facce sono "condivise" con la piramide epertanto non si vedono)
[math] A_{TOT}=8 \cdot 260 + 4 \cdot 400 = 3680 cm^2 = 36,80 dm^2 [/math]
se hai dubbi chiedi :)
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