Problema con Teorema di Euclide.
Ragazzi, mi aiutate a procedere ?
"La somma di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 24 cm e la loro differenza è 6 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo".
Come faccio a ricavarmi o il cateto o la proiezione del cateto sull'ipotenusa -prima della proporzione- ( ho studiato il teorema! ) ?
"La somma di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 24 cm e la loro differenza è 6 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo".
Come faccio a ricavarmi o il cateto o la proiezione del cateto sull'ipotenusa -prima della proporzione- ( ho studiato il teorema! ) ?
Risposte
Prendiamo il triangolo rettangolo in $C$:
Scrivi in formule ciò che ti viene dato
Scrivi in formule ciò che ti viene dato
Non capisco... 
mi vengono due triangoli rettangoli ?
mi vengono due triangoli rettangoli ?
Il triangolo rettangolo di riferimento è $ABC$, che è rettangolo in $C$.
Se poi tracci l'altezza $CH$ ottieni $AH$, che è la proiezione del cateto $AC$ sull'ipotenusa $AB$,
e $HB$ che è la proiezione del cateto $BC$ sull'ipotenusa $AB$.
Ovviamente anche i triangoli $AHC$ e $AHB$ sono rettangoli, proprio perchè $CH$, in quanto altezza, è perpendicolare ad $AB$.
Ti ri-propongo: scrivi in formule i dati che ti vengono forniti
Se poi tracci l'altezza $CH$ ottieni $AH$, che è la proiezione del cateto $AC$ sull'ipotenusa $AB$,
e $HB$ che è la proiezione del cateto $BC$ sull'ipotenusa $AB$.
Ovviamente anche i triangoli $AHC$ e $AHB$ sono rettangoli, proprio perchè $CH$, in quanto altezza, è perpendicolare ad $AB$.
Ti ri-propongo: scrivi in formule i dati che ti vengono forniti
CB + CH = 24 e CB - CH = 6 ...
( grazie, ho capito la figura
)
( grazie, ho capito la figura
)
No. $CH$ non è la proiezione sull'ipotenusa del cateto $CB$.
Secondo me il teorema non solo non l'hai studiato, ma non l'hai neanche letto
Secondo me il teorema non solo non l'hai studiato, ma non l'hai neanche letto
Scusami, una volta che so che il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa come faccio ad avere il dato ? ...
Non frequento questo forum per essere 'rimproverata' (ciò provoca in me solo tanta ilarità ) bensì per essere aiutata. Se a te non va di farlo, risparmiati pure le paternali, dato che proprio non mi servono!
Non frequento questo forum per essere 'rimproverata' (ciò provoca in me solo tanta ilarità ) bensì per essere aiutata. Se a te non va di farlo, risparmiati pure le paternali, dato che proprio non mi servono!
La proiezione del cateto $CB$ sull'ipotenusa non è $CH$ (che è l'altezza relativa all'ipotenusa), ma $BH$.
Quindi, dato che si deve avere che
Analogamente per la differenza: $CB-BH=6$
Se ora poni $x=CB$ e $y=BH$ ottieni questo: ${(x+y=24),(x-y=6):}$
Risolvilo e in questo modo trovi quanto valgono $CB$ e $BH$. Dopo potrai utilizzare il teorema di Euclide.
Soprattutto se dice di aver fatto una certa cosa quando non è assolutamente vero. Tutto qui.
Quindi, dato che si deve avere che
La somma di un cateto e della sua proiezione sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è $24 cm $si ha che $CB+BH=24$
Analogamente per la differenza: $CB-BH=6$
Se ora poni $x=CB$ e $y=BH$ ottieni questo: ${(x+y=24),(x-y=6):}$
Risolvilo e in questo modo trovi quanto valgono $CB$ e $BH$. Dopo potrai utilizzare il teorema di Euclide.
"VomitDoll":Personalmente, ritengo che per aiutare qualcuno bisogna anche, all'occorrenza, rimproverarlo.
Non frequento questo forum per essere 'rimproverata' (ciò provoca in me solo tanta ilarità ) bensì per essere aiutata
Soprattutto se dice di aver fatto una certa cosa quando non è assolutamente vero. Tutto qui.
Va bene, sono scema : ho studiato il teorema, ma non sono in grado di applicarlo. Nessun aiuto, provvedo da sola, non cade il mondo -scrisse qualcuno!- ciaooo !
Salve VomitDoll,
tenendo conto della figura del precedente messaggio, possiamo mettere a sistema le due ipotesi a nostra disposizione,
ovvero: $\{(AC+AH=24cm),(AC-AH=6cm):}$, esprimiamo una delle due equazioni in funzione di o $AC$ o di $AH$, ovvero:
$\{(AC+AH=24cm),(AC=6cm+AH):}$, applicando il metodo della sostituzione avremo $\{(6cm+AH+AH=24cm),(AC=6cm+AH):}$, e quindi
$\{(AH=(24cm-6cm)/2),(AC=6cm+AH):}$ cioè $\{(AH=9cm),(AC=6cm+AH):}$, sostituendo $AH$ nella seconda equazione avremo
$\{(AH=9cm),(AC=6cm+9cm):}$ ovvero $\{(AH=9cm),(AC=15cm):}$, così facedno ci siamo trovati il cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.
Applicando ora uno dei due teoremi di Euclide avremo $AB:AC=AC:AH$ sostituendo opportunamente avremo $AB:15cm=15cm:9cm$ e quindi applicando la proporzione per avere il valore dell'estremo $AB$ avremo
$AB=(15(cm)^2)/(9cm)=25cm$; adesso è possibile riapplicare il teorema di Euclide calcolandosi a priori la proiezione
sull'ipotenusa di $BC$.. oppure utilizzare il banale teorema di Pitagora, ovvero
$BC=sqrt(AB^2-AC^2)=sqrt((25cm)^2-(15cm)^2)=20cm$, avendo tutti i lati e possibile calcolare il perimetro
$P=AB+BC+CA=25cm+20cm+15cm=60cm$, ovviamente è possibile conoscere anche l'area, è possibile
applicare l'altro teorema di Euclide ma perchè complicarci la vita quindi, calcolandola, nel modo classico, viene
$A=(AC*CB)/2=(15cm * 20cm)/2=150cm^2$.
Spero di averti aiutato. Se vi sono errori o i calcoli o risultati non combaciano con i tuoi fammelo sapere.
Cordiali saluti
P.S.=
chi è questo qualcuno?
"VomitDoll":
Va bene, sono scema : ho studiato il teorema, ma non sono in grado di applicarlo. Nessun aiuto, provvedo da sola, non cade il mondo -scrisse qualcuno!- ciaooo !
tenendo conto della figura del precedente messaggio, possiamo mettere a sistema le due ipotesi a nostra disposizione,
ovvero: $\{(AC+AH=24cm),(AC-AH=6cm):}$, esprimiamo una delle due equazioni in funzione di o $AC$ o di $AH$, ovvero:
$\{(AC+AH=24cm),(AC=6cm+AH):}$, applicando il metodo della sostituzione avremo $\{(6cm+AH+AH=24cm),(AC=6cm+AH):}$, e quindi
$\{(AH=(24cm-6cm)/2),(AC=6cm+AH):}$ cioè $\{(AH=9cm),(AC=6cm+AH):}$, sostituendo $AH$ nella seconda equazione avremo
$\{(AH=9cm),(AC=6cm+9cm):}$ ovvero $\{(AH=9cm),(AC=15cm):}$, così facedno ci siamo trovati il cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.
Applicando ora uno dei due teoremi di Euclide avremo $AB:AC=AC:AH$ sostituendo opportunamente avremo $AB:15cm=15cm:9cm$ e quindi applicando la proporzione per avere il valore dell'estremo $AB$ avremo
$AB=(15(cm)^2)/(9cm)=25cm$; adesso è possibile riapplicare il teorema di Euclide calcolandosi a priori la proiezione
sull'ipotenusa di $BC$.. oppure utilizzare il banale teorema di Pitagora, ovvero
$BC=sqrt(AB^2-AC^2)=sqrt((25cm)^2-(15cm)^2)=20cm$, avendo tutti i lati e possibile calcolare il perimetro
$P=AB+BC+CA=25cm+20cm+15cm=60cm$, ovviamente è possibile conoscere anche l'area, è possibile
applicare l'altro teorema di Euclide ma perchè complicarci la vita quindi, calcolandola, nel modo classico, viene
$A=(AC*CB)/2=(15cm * 20cm)/2=150cm^2$.
Spero di averti aiutato. Se vi sono errori o i calcoli o risultati non combaciano con i tuoi fammelo sapere.
Cordiali saluti
P.S.=
"VomitDoll":
.... non cade il mondo -scrisse qualcuno...
chi è questo qualcuno?
"VomitDoll":
CB + CH = 24 e CB - CH = 6 ...
CB + BH = 24
CB - BH = 6
sono le uguaglianze giuste. Sai come trovare il cateto CB e la sua proiezione sull'ipotenusa BH partendo da queste due uguaglianze?
Se non sbaglio dovresti sapere il metodo [(CB+BH)-(CB-BH)]:2=BH ..... Giusto?
Salve retrocomputer,
non capisco, cosa vuoi dire?
Cordiali saluti
"retrocomputer":
.... il metodo [(CB+BH)-(CB-BH)]:2=BH ..... Giusto?...
non capisco, cosa vuoi dire?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
non capisco, cosa vuoi dire?
Dovrebbe essere un trucchetto insegnato alla scuola media per evitare di scomodare i sistemi lineari di due equazioni in due incognite che forse ancora non sono stati fatti... Non torna?
Salve retrocomputer,
può evitare di fare il sistema lineare, ed trattare le equazioni singolarmente, esprimendo almeno una in funzione di una sua incognita.... avrà sempre lo stesso risultato
Cordiali saluti
"retrocomputer":
Dovrebbe essere un trucchetto insegnato alla scuola media per evitare di scomodare i sistemi lineari di due equazioni in due incognite che forse ancora non sono stati fatti... Non torna?
può evitare di fare il sistema lineare, ed trattare le equazioni singolarmente, esprimendo almeno una in funzione di una sua incognita.... avrà sempre lo stesso risultato
Cordiali saluti
Salve retrocomputer,
se non erro tu ti riferisci alla proprietà del comporre e scomporre, ovvero $a:b=c:d$ ed $a>b$ allora $(a+b):(a-b)=(c+d):(c-d)$, giusto???
Cordiali saluti
P.S.=Mi domando però qual'è la proporzione iniziale dalla quale tu parti?
se non erro tu ti riferisci alla proprietà del comporre e scomporre, ovvero $a:b=c:d$ ed $a>b$ allora $(a+b):(a-b)=(c+d):(c-d)$, giusto???
Cordiali saluti
P.S.=Mi domando però qual'è la proporzione iniziale dalla quale tu parti?
"garnak.olegovitc":
P.S.=Mi domando però qual'è la proporzione iniziale dalla quale tu parti?
Nessuna proporzione iniziale, direi... Credo si tratti banalmente di una identità algebrica:
$(a+b)-(a-b)=2b$
che si usa se si conosce la somma e la differenza di due quantità ignote.
Salve retrocomputer,
ora ho capito, però piuttosto che applicare la formuletta meccanicamente penso di esserci arrivato diversamente e con più deduzione nel mio precedente messaggio:
Cordiali saluti
ora ho capito, però piuttosto che applicare la formuletta meccanicamente penso di esserci arrivato diversamente e con più deduzione nel mio precedente messaggio:
"garnak.olegovitc":
$.........\{(AH=(24cm-6cm)/2),(AC=6cm+AH):}$ cioè $\{(AH=9cm),(AC=6cm+AH):}$,............
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
ora ho capito, però piuttosto che applicare la formuletta meccanicamente penso di esserci arrivato diversamente e con più deduzione nel mio precedente messaggio:
Come si suol dire, sfondi una porta aperta
Anche secondo me sarebbe meglio se fin dalla prima media si insegnassero l'algebra e le equazioni invece di tanti trucchetti mnemonici, ma il programma dei corsi non lo faccio io (sicuramente chi lo stila ne sa molto più di me in fatto di didattica) e uno studente che viene qui a porre una questione è bene che riceva un aiuto in linea con il suddetto programma, no?
Salve retrocomputer,
Come si suol dire, sfondi una porta aperta
Anche secondo me sarebbe meglio se fin dalla prima media si insegnassero l'algebra e le equazioni invece di tanti trucchetti mnemonici, ma il programma dei corsi non lo faccio io (sicuramente chi lo stila ne sa molto più di me in fatto di didattica) e uno studente che viene qui a porre una questione è bene che riceva un aiuto in linea con il suddetto programma, no?[/quote]
of course
Quindi se VomitDoll non ha fatto i sistemi di equazione di primo grado allora vada per la tua soluzione
Cordiali saluti
"retrocomputer":
[quote="garnak.olegovitc"]
ora ho capito, però piuttosto che applicare la formuletta meccanicamente penso di esserci arrivato diversamente e con più deduzione nel mio precedente messaggio:
Come si suol dire, sfondi una porta aperta
Anche secondo me sarebbe meglio se fin dalla prima media si insegnassero l'algebra e le equazioni invece di tanti trucchetti mnemonici, ma il programma dei corsi non lo faccio io (sicuramente chi lo stila ne sa molto più di me in fatto di didattica) e uno studente che viene qui a porre una questione è bene che riceva un aiuto in linea con il suddetto programma, no?[/quote]
of course
Quindi se VomitDoll non ha fatto i sistemi di equazione di primo grado allora vada per la tua soluzione
Cordiali saluti
Certo che ce ne avete messi di post per ricordarvi che siete in secondaria di primo grado, quindi NIENTE equazioni e NIENTE sistemi di equazioni.
"@melia":
Certo che ce ne avete messi di post per ricordarvi che siete in secondaria di primo grado, quindi NIENTE equazioni e NIENTE sistemi di equazioni.
Va beh, ma devi darci atto che questa volta ci siamo arrivati da soli
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