Problema con piramidi

[chaty]

il volume di un solido,costituito da due piramidi quadrangolari regolari aventi le base coincidenti,misura 9792.sapendo che la somma e la differenza delle altezze delle due piramidi misurano rispettivamente 51 e 19,calcola larea della superficie totale del solido.

[2736]

[Ali Q]

Soluzione:

Il volume del solido così costruito è pari al volume della prima piramide più il volume della seconda piramide.

Cioè:

[math]V solido = 9792 cm^3 = V p_1 + V p_2[/math]

Il volume della prima piramide è pari a:

[math](Area base * h_1)/3[/math]

Il volume della seconda piramide è pari a:

[math](Area base * h_2)/3.[/math]

Poichè le due piramidi hanno le basi coincidenti, "Area base" sarà la stessa sia nella prima che nella seconda formula.

Scrivo dunque:

[math]V solido = 9792 cm^3 = (Area base * h_1/3) + (Area base * h_2/3) = (Area base/3) * (h_1 + h_2) [/math]

H1 ed H2 possono essere determinate sapendo che:

[math]h_1 + h_2 = 51 cm[/math]

[math]h_1 - h_2 = 19 cm.[/math]

Dalla seconda ricavo che

[math]h_1 = 19 + h_2[/math]

Sostituisco il valore di h1 nella prima:

[math](19 + h_2) + h_2 = 51 cm[/math]

Quindi:

[math]2h_2 = 51- 19 = 32 cm[/math]

[math]\Rightarrow \ h_2 = 32/2 = 16 cm[/math]

Ma ricordando che

[math]h_1 = 19 + h_2[/math]

, posso scrivere:

[math]h_1 = 19 + 16 = 35 cm[/math]

.

determinate le altezze h1 ed ha, posso sfruttare la formula del volume sopra scritta per calcolare "Area base".

[math]V solido = 9792 cm^3 = (Area base/3) * (h_1 + h_2) = (Area base/3) * (35 + 16) = (Area base/3) * 51 [/math]

[math]\Rightarrow \ Area base = (9792 * 3)/51 = 576 cm^2[/math]

Poichè la base è quadrata (ce lo dice il porblema), nota l'area è possibile determinare il lato.
Infatti

[math]A base = l*l = l^2[/math]

Quindi

[math]l = \sqrt[2]{A base} = \sqrt[2]{576} = 24 cm.[/math]

Veniamo alla domanda del problema: calaoclra el'area della superficie del solido.
Essa è pari a A lat 1 + A lat 2.
Dove con Alt 1 si è indicato l'area laterale della prima piramide e con Alat 2 l'area laterale della seconda.

Ora,

[math]A lat 1 = P * a_1/2[/math]

, mentre

[math]A lat 2 = P * a_2/2[/math]

.
P è il perimetro di base, che può essere immediatamente calcolato noto il lato l.

[math]P = 4* l = 4 * 24 = 96 cm[/math]

.
"a" è invece l'apotema delle due piramidi.

Esso, nella piramide, forma un traingolo rettangolo con apotema di base e altezza.
Per le due piramidi l'apotema di base sraà lo stesso, dal momento che hanno le basi coincidenti. Nel quadrato l'apotema è pari a metà del lato, quindi:

[math]Ap base = l/2 = 24/2 = 12 cm[/math]

.
Noti l'apotema di base e le altezze, l'apotema di ciascuna piramide può essere dunque calcolato con il teoremna di pitagora:

[math]a_1 = \sqrt[2]{(ap base^2 + h_1^2)} = \sqrt[2]{(12^2 + 35^2)} =\sqrt[2]{(144 + 1225)} = \sqrt[2]{1369} = 37 cm[/math]

[math]a_2 = \sqrt[2]{(ap base^2 + h_2^2)} = \sqrt[2]{(12^2 + 16^2)} =\sqrt[2]{(144 + 256)} = \sqrt[2]{400} = 20 cm[/math]

Quindi:

[math]A lat 1 = P * a_1/2 = 96* 37/2 = 1776 cm^2[/math]

,

[math]A lat 2 = P * a_2/2 = 96* 20/2 = 960 cm^2[/math]

.

Si conclude che:

[math]A tot = A lat 1 + A lat 2 = 1776 + 960 = 2736 cm^2[/math]

Fine. Ciao!