Problema (80238)

[aLesSi@98 HelP mE!!!]

Una piramide ha per base un triangolo rettangolo la cui ipotenusa, lunga 35 cm, è i 5/4 del cateto maggiore. Sapendo che l'altezza della piramide misura 24 cm, calcolane l'area della superficie totale e il volume.

[Ali Q]

Soluzione:

Prima di tutto occorre calcolare tutti i lati del triangolo rettangolo di base.
Chiamo:
i= ipotenusa;
C1 = primo cateto;
C2 = secondo cateto;

Si sa che:

[math]i = 35 cm[/math]

e che

[math]i = 5/4 * c1[/math]

Dunque:

[math]35 = 5/4*c1[/math]

[math]c1 = 4/5*35 = 28 cm[/math]

Il secondo cateto può essere stimato invece facendo uso del teorema di Pitagora:

[math]c2 = \sqrt{i^2 - c1^2}= \sqrt{35^2 - 28^2}= \sqrt{1225 - 784}= \sqrt{1441}= 21 cm.[/math]

Già che ci siamo, possiamo calcolare l'area della base:

[math]A base = c1 * c2/2 = 28*21/2 = 294 cm^2.[/math]

Con i dati a disposizione è già possibile determinare il volume della piramide, che è pari a:

[math]V = Abase* h/3 = 294*24/3= 2352 cm^3.[/math]

L'area della superficie totale della piramide è pari a:

[math]A tot = A base + Alat[/math]

[math]A lat = (Perimetro base * apotema)/2[/math]

Il perimetro di base è presto calcolato:

[math]P = c1 + c2 + i = 28 + 21 + 35 = 84 cm[/math]

L'apotema della piramide può essere trovato invece sapendo che esso rappresenta, all'interno della piramide, l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateto verticale l'altezza della piramide e per cateto orizzontale l'apotema di base. Si può dunque utilizzare il teorema di Pitagora.

Non è noto però l'apotema di base della piramide (cioè il raggio della circomferenza inscrivibile nella base triangolare). Esso può essere calcolato sapendo che, in generale, per qualsiasi poligono (regolare o no) esso è pari a:

[math]apotema base = 2 * Area base/ perimetro = 294 *2/84 = 7 cm[/math]

Quindi:

[math]a = \sqrt{24^2 + 7^2}= \sqrt{576 +49}= \sqrt{625}= 25 cm.[/math]

Pertanto:

[math]A lat = (Perimetro base * apotema)/2 = 84*25/2 = 1050[/math]

[math]A tot = A base + Alat = 294 + 1050 = 1344[/math]

Fine esercizio.
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