Prob cono
in un cubo la somma dell'altezza e del diametro di base misura 33 e il loro rapporto e 3\8.calcola il volume del cono e l'ampiezza del settore circolare che rapresenta lo sviluppo della sua superficie laterale.
[432 pi gre;288°]
un solido costituito da due coni aventi la base in comune e i vertici situati dalla parte opposta rispetto a essa ha l'area della superficie di 840 pi gre.sapendo che l'area della superficie laterale di un cono e di 17\39 dell'altra e che il raggio di base e 15,calcola il volume del solido.
[3300 pi gre]
[432 pi gre;288°]
un solido costituito da due coni aventi la base in comune e i vertici situati dalla parte opposta rispetto a essa ha l'area della superficie di 840 pi gre.sapendo che l'area della superficie laterale di un cono e di 17\39 dell'altra e che il raggio di base e 15,calcola il volume del solido.
[3300 pi gre]
Risposte
1)
Forse non è un cubo, ma un cono...
comunque:
h + d = 33
h = (3/8 )*d
sostituiamo la seconda nella prima e otteniamo:
(3/8 )*d + d = 33
(11/8 )*d = 33
d = 33*(8/11) = 24
(r = d/2 = 24/2 = 12... ci servirà per il calcoli successivi)
di conseguenza
h = (3/8 )*d = (3/8 )*24 = 9
Calcoliamo volume
V = (pi*r^2*h)/3 = (pi*12^2*9)/3 = 432*pi
per calcolare la sup. laterale, prima, con il t. di pitagora applicato a r e h ci calcoliamo l'apotema:
a = sqr (r^2 + h^2) = sqr (12^2 + 9^2) = sqr 225 = 15
quindi:
Sl = pi*r*a = pi*12*15 = 180*pi
La superficie di un settore circolare è pari a:
S = (pi*r^2*n)/360
dove
n è l'ampiezza in gradi del settore circolare
r = a, perchè il raggio del nostro settore circolare è pari all'apotema del cono
per cui ponendo S = Sl ricaviamo n:
n = Sl*360/(pi*a^2) = 180*pi*360/(pi*15^2) = 288°
... ecco il primo, a breve il secondo
Aggiunto 11 minuti più tardi:
2)
Sappiamo che:
Sl1 + Sl2 = 840*pi
Sl1 = (17/39)*Sl2
sostituiamo la seconda espressione nella prima e otteniamo:
(17/39)Sl2 + Sl2 = 840*pi
(56/39)*Sl2 = 840*pi
Sl2 = 840*pi*(39/56) = 585*pi
di conseguenza
Sl1 = (17/39)*Sl2 = (17/39)*585*pi = 255*pi
Ma Sl = pi*r*a ed essendo la base in comune nei due coni e conoscendo r (15), ci ricaviamo l'apotema dei due coni:
a1 = Sl1/(pi*r) = 255/(pi*15) = 17
a2 = Sl2/(pi*r) = 585/(pi*15) = 39
Con i due apotemi e con il raggio, applichiamo il t. di pitagora e ci calcoliamo l'altezza dei due coni e per finire il volume del solido come somma dei volumi dei singoli coni:
h1 = sqr (a1^2 - r^2) = sqr (17^2 - 15^2) = sqr 64 = 8
h2 = sqr (a2^2 - r^2) = sqr (39^2 - 15^2) = sqr 1296 = 36
V1 = (pi*r^2*h1)/3 = (pi*15^2*8 )/3 = 600*pi
V2 = (pi*r^2*h2)/3 = (pi*15^2*36)/3 = 2700*pi
Vt = V1 + V2 = 600*pi + 2700*pi = 3300*pi
... finito!
Ai prossimi coni :lol
:hi
Massimiliano
Forse non è un cubo, ma un cono...
comunque:
h + d = 33
h = (3/8 )*d
sostituiamo la seconda nella prima e otteniamo:
(3/8 )*d + d = 33
(11/8 )*d = 33
d = 33*(8/11) = 24
(r = d/2 = 24/2 = 12... ci servirà per il calcoli successivi)
di conseguenza
h = (3/8 )*d = (3/8 )*24 = 9
Calcoliamo volume
V = (pi*r^2*h)/3 = (pi*12^2*9)/3 = 432*pi
per calcolare la sup. laterale, prima, con il t. di pitagora applicato a r e h ci calcoliamo l'apotema:
a = sqr (r^2 + h^2) = sqr (12^2 + 9^2) = sqr 225 = 15
quindi:
Sl = pi*r*a = pi*12*15 = 180*pi
La superficie di un settore circolare è pari a:
S = (pi*r^2*n)/360
dove
n è l'ampiezza in gradi del settore circolare
r = a, perchè il raggio del nostro settore circolare è pari all'apotema del cono
per cui ponendo S = Sl ricaviamo n:
n = Sl*360/(pi*a^2) = 180*pi*360/(pi*15^2) = 288°
... ecco il primo, a breve il secondo
Aggiunto 11 minuti più tardi:
2)
Sappiamo che:
Sl1 + Sl2 = 840*pi
Sl1 = (17/39)*Sl2
sostituiamo la seconda espressione nella prima e otteniamo:
(17/39)Sl2 + Sl2 = 840*pi
(56/39)*Sl2 = 840*pi
Sl2 = 840*pi*(39/56) = 585*pi
di conseguenza
Sl1 = (17/39)*Sl2 = (17/39)*585*pi = 255*pi
Ma Sl = pi*r*a ed essendo la base in comune nei due coni e conoscendo r (15), ci ricaviamo l'apotema dei due coni:
a1 = Sl1/(pi*r) = 255/(pi*15) = 17
a2 = Sl2/(pi*r) = 585/(pi*15) = 39
Con i due apotemi e con il raggio, applichiamo il t. di pitagora e ci calcoliamo l'altezza dei due coni e per finire il volume del solido come somma dei volumi dei singoli coni:
h1 = sqr (a1^2 - r^2) = sqr (17^2 - 15^2) = sqr 64 = 8
h2 = sqr (a2^2 - r^2) = sqr (39^2 - 15^2) = sqr 1296 = 36
V1 = (pi*r^2*h1)/3 = (pi*15^2*8 )/3 = 600*pi
V2 = (pi*r^2*h2)/3 = (pi*15^2*36)/3 = 2700*pi
Vt = V1 + V2 = 600*pi + 2700*pi = 3300*pi
... finito!
Ai prossimi coni :lol
:hi
Massimiliano
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