Ploblema
in un triangolo rettangolo un cateto e l'ipotenusa misurano rispettivamente 10 dm e 12.5 dm calcola il perimetro dei triangoliin cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo
Risposte
a) trovi l'altro cateto con il teorema di Pitagora.
Poi per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa puoi procedere in due modi:
1) calcoli l'area del triangolo come catetoxcateto tutto fratto 2
Poi sapendo che anche ipotenusa per altezza fratto 2 = Area, dall'Area ricavi l'altezza (utilizzando la formula inversa:
Da qui, applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli che si formano di cui i cateti rappresentano l'ipotenusa di ognuno) puoi trovare i due cateti mancanti (che sarebbero le proiezioni dei cateti del triangolo "grande" sull'ipotenusa.
Oppure
2) sapendo per il primo teorema di Euclide, che la proiezione del cateto sull'ipotenusa per l'ipotenusa e' uguale al quadrato del cateto puoi trovare la proiezione di ogni cateto sull'ipotenusa, utilizzando la formula inversa (chiamo AB l'ipotenusa e CH l'altezza relativa all'ipotenusa)
Analogamente ricavi HB
E poi, con il secondo teorema di Euclide, trovi l'altezza ricordando che l'altezza e':
Con entrambi i metodi, troverai tutte le dimensioni necessarie per trovare i perimetri.
Poi per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa puoi procedere in due modi:
1) calcoli l'area del triangolo come catetoxcateto tutto fratto 2
Poi sapendo che anche ipotenusa per altezza fratto 2 = Area, dall'Area ricavi l'altezza (utilizzando la formula inversa:
[math] h= \frac{ 2 \cdot A}{ip} [/math]
Da qui, applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli che si formano di cui i cateti rappresentano l'ipotenusa di ognuno) puoi trovare i due cateti mancanti (che sarebbero le proiezioni dei cateti del triangolo "grande" sull'ipotenusa.
Oppure
2) sapendo per il primo teorema di Euclide, che la proiezione del cateto sull'ipotenusa per l'ipotenusa e' uguale al quadrato del cateto puoi trovare la proiezione di ogni cateto sull'ipotenusa, utilizzando la formula inversa (chiamo AB l'ipotenusa e CH l'altezza relativa all'ipotenusa)
[math] \bar{AC}^2= \bar{AB}\cdot \bar{AH} \to \bar{AH}= \frac{ \bar{CH}^2}{\bar{AB} [/math]
Analogamente ricavi HB
E poi, con il secondo teorema di Euclide, trovi l'altezza ricordando che l'altezza e':
[math] \bar{CH}^2= \bar{AH} \cdot \bar{HB} \to \bar{CH}= \sqrt{ \bar{AH} \cdot \bar{HB}} [/math]
Con entrambi i metodi, troverai tutte le dimensioni necessarie per trovare i perimetri.
Intanto applichi il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo del quale conosci cateto e ipotenusa in modo tale da ricavare la misura dell'altro cateto.
Fatto ciò sai che l'altezza relativa all'ipotenusa è un segmento perpendicolare all'ipotenusa stessa, ovvero forma con essa un angolo retto (2 in realtà).
Essa dunque divide il triangolo rettangolo iniziale in due triangoli anch'essi rettangoli che hanno come ipotenusa rispettivamente i due cateti del triangolo iniziale e come cateti l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo iniziale e rispettivamente le due parti in cui il piede dell'altezza divide l'ipotenusa del triangolo iniziale.
Può sembrare un po' contorta la situazione ma se rifletti bene e tracci correttamente il disegno non dovresti avere problemi a capire la costruzione.
Detto questo bisogna calcolare le aree dei triangolini e per farlo è sufficiente conoscere la misura dei rispettivi cateti.
Un cateto comune ai due triangolini è l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo di partenza che possiamo calcolare moltiplicando l'area del triangolo per 2 e dividendola per la misura dell'ipotenusa (ricorda che l'area la calcoli moltiplicando tra loro i due cateti, che hai ricavato all'inizio, e dividendo questo prodotto per 2).
Fatto ciò, ovvero conoscendo di ciascun triangolino un cateto e l'ipotenusa possiamo applicare ad uno di essi il teorema di Pitagora per ricavare l'altro cateto. Moltiplicando i cateti e dividendo per 2 ottieni anche in questo caso l'area che ti serve.
Per l'altro triangolino puoi procedere analogamente a prima oppure puoi notare che sottraendo all'area del triangolo di partenza (che hai calcolato prima) l'area del triangolino ricavata poco fa ottieni l'area del secondo triangolino.
Spero di non essere stato troppo contorto.
Se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure..
Fatto ciò sai che l'altezza relativa all'ipotenusa è un segmento perpendicolare all'ipotenusa stessa, ovvero forma con essa un angolo retto (2 in realtà).
Essa dunque divide il triangolo rettangolo iniziale in due triangoli anch'essi rettangoli che hanno come ipotenusa rispettivamente i due cateti del triangolo iniziale e come cateti l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo iniziale e rispettivamente le due parti in cui il piede dell'altezza divide l'ipotenusa del triangolo iniziale.
Può sembrare un po' contorta la situazione ma se rifletti bene e tracci correttamente il disegno non dovresti avere problemi a capire la costruzione.
Detto questo bisogna calcolare le aree dei triangolini e per farlo è sufficiente conoscere la misura dei rispettivi cateti.
Un cateto comune ai due triangolini è l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo di partenza che possiamo calcolare moltiplicando l'area del triangolo per 2 e dividendola per la misura dell'ipotenusa (ricorda che l'area la calcoli moltiplicando tra loro i due cateti, che hai ricavato all'inizio, e dividendo questo prodotto per 2).
Fatto ciò, ovvero conoscendo di ciascun triangolino un cateto e l'ipotenusa possiamo applicare ad uno di essi il teorema di Pitagora per ricavare l'altro cateto. Moltiplicando i cateti e dividendo per 2 ottieni anche in questo caso l'area che ti serve.
Per l'altro triangolino puoi procedere analogamente a prima oppure puoi notare che sottraendo all'area del triangolo di partenza (che hai calcolato prima) l'area del triangolino ricavata poco fa ottieni l'area del secondo triangolino.
Spero di non essere stato troppo contorto.
Se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure..
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