Mi potreste svolgere questo problema di terza media?

[Spagnutz98]

In una piramide regolare quadrangolare l'apotema è 37/12 dell'altezza e la loro somma misura 19,6 cm.
Determina:
a.L'area laterale e l'area totale
b.il volume
c.lo spigolo di una base di un parallelepipedo rettangolo a base quadrata equivalente alla piramide e avente l'altezza di 2.5 cm.
d. il peso di ciascuno dei due solidi,sapendo che il primo è di sughero (ps=0,25 g/cm3) e il secondo è di rame (ps=8,5 k/dm3)

[Ali Q]

Soluzione:

Nella una piramide regolare quadrangolare la base è costituita da un quadrato.
Per poterne determinare area e volume, occorre conoscerne le misure: spigolo di base, apotema e altezza.

Calcoliamo subito, con le formule a disposizione, l'apotema e l'altezza.
Chiamo:
h= altezza
a = apotema.

Si sa che:

[math]a + h = 19,6 cm[/math]

[math]a = 37/12 * h[/math]

Sostituisco l'informazione fornita dalla seconda equazione nella prima:

[math]a + h = 37/12 h + h = 19,6 cm[/math]

[math]37/12 h + 12/12 h = 19,6 cm[/math]

[math]49/12 h = 19,6 cm[/math]

[math]h = 19,6 * 12/49 = 4,8 cm[/math]

[math]a = 37/12 * h = 37/12 * 4,8 = 14,8 cm[/math]

Manca, per poter avere tutte le informazioni che ci occorrono, di consocere il lato del quadrato. Tuttavia esso può essere determinato sapendo che potema di base, apotema e altezza della piramide formano all'interno di essa un triangolo rettangolo.
Conoscendo apotema e altezza, dunque, è possibile ricavare l'apotema di base grazie al teorema di Pitagora.
Una volta noto l'apotema di base, sapendo che nel quadrato esso è pari alla metà del lato, è poi sufficiente moltiplicare questo valore per due per avere lo spigolo di base.

Procediamo:

[math]apotema base = \sqrt{a^2 - h^2}= \sqrt{14,8^2 - 4,8^2}= \sqrt{219,04 - 23,04}= \sqrt{196}= 14 cm[/math]

[math]l = 2 * 14 = 28 cm[/math]

[math]Area di base = l^2 = 28^2 = 784 cm^2[/math]

Dunque:
a.L'area laterale e l'area totale

[math]A lat = Perimetro * a/2 = (28 * 4 * 14,8 )/2 = 828,8 cm^2[/math]

[math]A tota = A lat + A base = 828,8 + 784 = 1612,8 cm^2.[/math]

b.il volume

[math]V = Area base * h/ 3 = 784* 4,8/3 = 1254,4 cm^3.[/math]

c.lo spigolo di una base di un parallelepipedo rettangolo a base quadrata equivalente alla piramide e avente l'altezza di 2.5 cm.

Il parallelepipedo è equivalente alla piramide, cioè ha lo stesso volume.

[math]V = 1254,4 cm^3[/math]

Nel parallelepipedo il volume è pari a:

[math]V = area base * h = Area base * 2,5[/math]

Posso allora scrivere che:

[math]Area base = V/h = 1254,4/2,5 = 501,76 cm^2[/math]

Poichè la bese è quadrata:

[math]l= \sqrt{501,76} = 22,4 cm.[/math]

d. il peso di ciascuno dei due solidi,sapendo che il primo è di sughero (ps=0,25 g/cm3) e il secondo è di rame (ps=8,5 k/dm3)

Peso = Volume x ps

[math]Peso piramide = 1254,4 * 0,25 = 313,6 g.[/math]

Poichè nel parallelepipedo il peso specifico è fornito invece in kg/dm^3, è necessario fare una equivalenza.

[math]Volume parallelepipedo = 1254,4/1000 = 1,2544 dm^3.[/math]

[math]Peso = 1,2544 * 8,5 = 10,6624 Kg. [/math]

Fine dell'esercizio. Ciao!