Mi aiutate con questo problema di geometria?

[•studente•]

in un trapezio isoscele la diagonale , che misura 28 cm, è perpendicolare al lato obliquo ed è 4/5 della base maggiore; calcola area e perimetro
grazie
ciao

[Ali Q]

Soluzione:

Chiamo:
B = base maggiore
b = base minore
l= lato obliquo
h = altezza
d = diagonale

Se la diagonale è perpendicolare al lato obliquo, questo significa che essa forma con il lato obliquo e la base maggiore del trapezio un triangolo rettangolo. Di questo triangolo la base maggiore è l'ipotenusa, e il lato obliquo e la diagonale sono i cateti.
Si sa che la diagonale misura misura

[math]28 cm[/math]

.
E che

[math]d = 4/5*B[/math]

Dunque

[math]B= d*5/4 = 28*5/4 = 35 cm[/math]

Il lato obliquo, essendo il cateto del suddetto triangolo rettangolo, può essere invece calcolato con il Teorema di Pitagora:

[math]l = \sqrt{B^2-d^2}= \sqrt{35^2-28^2}= \sqrt{1225-784}= \sqrt{441}= 21 cm[/math]

Calcoliamo dunque l'area di questo triangolo:

[math]A = l*d/2 = 21*28/2 = 294 cm^2.[/math]

Ora, quest'area appena calcolata è quella che si ottiene anche moltiplicando tra loro l'ipotenusa del triangolo (cioè la base maggiore) per l'altezza ad essa relativa, e naturalemnte dividendo il tutto per due.
Ma l'altezza relativa alla base maggiore altro non è che l'altezza stessa del trapezio.
Invertendo la formula dell'area è dunque possibile determinare h.

[math]A = B *h/2[/math]

[math]A*2/B = h[/math]

[math]h = 2*294/35 = 16,8 cm[/math]

Determiniamo ora la base minore (b). Esiste in realtà più di un modo di procedere. Qui di seguito te ne riporto uno.
Tracciate le due altezze del trapezio, ci si accorge che la base minore è data dalla base maggiore meno due segmenti identici (che chiamiamo s). Questi due segmenti sono i cateti orizzontali di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il lato obliquo e per cateto verticale l'altezza del trapezio. calcolo dunque ciascuno dei due segmento s con il Teorema di Pitagora.

[math]s = \sqrt{l^2-h^2}= \sqrt{21^2-16,8^2}= \sqrt{441-282,24}= \sqrt{158,76}= 12,6 cm[/math]

[math]
b = B -2*s = 35- 2* 12,6 = 9,8 cm[/math]

Quindi:

[math] Perimetro = B+b + 2*l = 35+9,8 + 2*21 = 86,8 cm[/math]

[math]Area = (B+b)*h/2 = (35+9,8 )*16,8/2 = 376,32 cm^2[/math]

Fine esercizio.
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Ciao! A presto!