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un solido formato da un parallelepipedo rettangolo e da una piramide retta ad esso sovrapposta,avente per base il rombo che si
ottiene congiunge do i punti medi dei lati della base superiore del parallelepipedo.
il perimetro di base del parallelepipedo é 84cm e una dimensione é 3/4 dell'altra.
l'area della superficie del solido é 1302cm2
l'area della superficie laterale della piramide é I 39/70 della superficie laterale
del parallelepipedo. calcola:
la misura dell'altezza del parallelepipedo e
quella del l'apotema della piramide
ottiene congiunge do i punti medi dei lati della base superiore del parallelepipedo.
il perimetro di base del parallelepipedo é 84cm e una dimensione é 3/4 dell'altra.
l'area della superficie del solido é 1302cm2
l'area della superficie laterale della piramide é I 39/70 della superficie laterale
del parallelepipedo. calcola:
la misura dell'altezza del parallelepipedo e
quella del l'apotema della piramide
Risposte
SOLUZIONE
Innanzitutto, disegno la figura ed in modo particolare la base del parallelepipedo, cu cui poggia quella della piramide avente come base un rombo
AB = dimensione maggiore
BC = dimensione minore
M, N, P, Q = punto medio dei quattro lati del rettangolo di base
MNPQ = rombo di base della piramide
MP = diagonale minore del rombo
QN = diagonale maggiore del rombo
O = punto di incontro di MP e QN
DATI DEL PROBLEMA
2p (ABCD) = 54 cm
BC = 3/4 AB
S solido = 1302 cmq
S laterale piramide = 39/70 S laterale parallelepipedo
******************************************************************
AB = 4 unita' di misura
BC = 3 unita' di misura
2p rettangolo di base = (4 + 3) . 2 = 14 unita' di misura
84 : 14 = 6 cm (valore di un'unita' di misura)
BC = 3 unita' di misura = 3 .6 = 18 cm
AB = 4 unita' di misura = 4 . 6 = 24 cmq
Area rettangolo ABCD = AB . BC = 24 . 18 = 432 cmq
Ora calcolo l'area del rombo
Area MNPQ = 24 . 18/2 = 216 cm2
Somma area triangoli PDQ, NCP, MNB, AQM = 432 - 216 = 216 cm2
Ora imposto l'equazione
Area solido = Area laterale piramide + Area laterale parallelepipedo + Area di base del parallelepipedo + (area base parallelepipedo - area base piramide)
Area laterale parallelepipedo = x
Area laterale piramide = 39/70x
x + 39/70x + 432 + 216 = 1.302
x + 39/70x = 1302 - 432 - 216
x + 39/70x = 654
70x + 39x = 45.780
109x = 45.780
x = 45.780/109 = 420 cmq(area del parallelepipedo)
Area piramide = 39/70 Area parallelepipedo = 39/70.420 = 234 cmq
Ora, calcoliano l'altezza del parallelepipedo di cui conosciamo l'area laterale e il perimetro di base. Occore applicare la formula inversa, cioe':
S laterale = 2p . h
h = S laterale/2p
h = 420/894 = 5 cm (altezza del parallelepipedo)
Ora calcoliamo l'apotema della piramide, di cui, a questo punto conosciano il lato base e l'area laterale. Anche in questo, dobbiamo applicare la formula inversa, cioe':
Area laterale piramide = perimetro di base . apotema/2
Per calcolare il perimetro di base del rombo, ho bisogno della misura del lato.
Il lato non e' altro che l'ipotenusa del triangolo MBN (oppure NPC, QPD o AMQ). I cateti di questo triangolo corrisoindo alla meta di ciascuno delle due dimensioni di base del rettangolo. Quindi:
24: 2 = 12 cm
18:2 = 9 cm
Applico il teorema di Pitagora al triangolo MBN:
MN = 12^2 + 9^2 sotto segno di radice = 144 + 81 sotto segno di radice = 225 sotto segno di radice = 15 cm
Perimetro rombo (base della piramide) = 15 . 4 = 60 cm
Per ottenere la misura dell apotema, applico la formula inversa, cioe':
Apotema = Area laterale . 2 /perimetro = 234 . 2/60 = 7,8 cm
TI SONO CHIARI TUTTI I PASSAGGI?
Innanzitutto, disegno la figura ed in modo particolare la base del parallelepipedo, cu cui poggia quella della piramide avente come base un rombo
AB = dimensione maggiore
BC = dimensione minore
M, N, P, Q = punto medio dei quattro lati del rettangolo di base
MNPQ = rombo di base della piramide
MP = diagonale minore del rombo
QN = diagonale maggiore del rombo
O = punto di incontro di MP e QN
DATI DEL PROBLEMA
2p (ABCD) = 54 cm
BC = 3/4 AB
S solido = 1302 cmq
S laterale piramide = 39/70 S laterale parallelepipedo
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AB = 4 unita' di misura
BC = 3 unita' di misura
2p rettangolo di base = (4 + 3) . 2 = 14 unita' di misura
84 : 14 = 6 cm (valore di un'unita' di misura)
BC = 3 unita' di misura = 3 .6 = 18 cm
AB = 4 unita' di misura = 4 . 6 = 24 cmq
Area rettangolo ABCD = AB . BC = 24 . 18 = 432 cmq
Ora calcolo l'area del rombo
Area MNPQ = 24 . 18/2 = 216 cm2
Somma area triangoli PDQ, NCP, MNB, AQM = 432 - 216 = 216 cm2
Ora imposto l'equazione
Area solido = Area laterale piramide + Area laterale parallelepipedo + Area di base del parallelepipedo + (area base parallelepipedo - area base piramide)
Area laterale parallelepipedo = x
Area laterale piramide = 39/70x
x + 39/70x + 432 + 216 = 1.302
x + 39/70x = 1302 - 432 - 216
x + 39/70x = 654
70x + 39x = 45.780
109x = 45.780
x = 45.780/109 = 420 cmq(area del parallelepipedo)
Area piramide = 39/70 Area parallelepipedo = 39/70.420 = 234 cmq
Ora, calcoliano l'altezza del parallelepipedo di cui conosciamo l'area laterale e il perimetro di base. Occore applicare la formula inversa, cioe':
S laterale = 2p . h
h = S laterale/2p
h = 420/894 = 5 cm (altezza del parallelepipedo)
Ora calcoliamo l'apotema della piramide, di cui, a questo punto conosciano il lato base e l'area laterale. Anche in questo, dobbiamo applicare la formula inversa, cioe':
Area laterale piramide = perimetro di base . apotema/2
Per calcolare il perimetro di base del rombo, ho bisogno della misura del lato.
Il lato non e' altro che l'ipotenusa del triangolo MBN (oppure NPC, QPD o AMQ). I cateti di questo triangolo corrisoindo alla meta di ciascuno delle due dimensioni di base del rettangolo. Quindi:
24: 2 = 12 cm
18:2 = 9 cm
Applico il teorema di Pitagora al triangolo MBN:
MN = 12^2 + 9^2 sotto segno di radice = 144 + 81 sotto segno di radice = 225 sotto segno di radice = 15 cm
Perimetro rombo (base della piramide) = 15 . 4 = 60 cm
Per ottenere la misura dell apotema, applico la formula inversa, cioe':
Apotema = Area laterale . 2 /perimetro = 234 . 2/60 = 7,8 cm
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