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[Durby_84]

un solido formato da un parallelepipedo rettangolo e da una piramide retta ad esso sovrapposta,avente per base il rombo che si
ottiene congiunge do i punti medi dei lati della base superiore del parallelepipedo.
il perimetro di base del parallelepipedo é 84cm e una dimensione é 3/4 dell'altra.
l'area della superficie del solido é 1302cm2
l'area della superficie laterale della piramide é I 39/70 della superficie laterale
del parallelepipedo. calcola:
la misura dell'altezza del parallelepipedo e
quella del l'apotema della piramide

[Fabrizio Del Dongo]

SOLUZIONE
Innanzitutto, disegno la figura ed in modo particolare la base del parallelepipedo, cu cui poggia quella della piramide avente come base un rombo
AB = dimensione maggiore
BC = dimensione minore
M, N, P, Q = punto medio dei quattro lati del rettangolo di base
MNPQ = rombo di base della piramide
MP = diagonale minore del rombo
QN = diagonale maggiore del rombo
O = punto di incontro di MP e QN
DATI DEL PROBLEMA
2p (ABCD) = 54 cm
BC = 3/4 AB
S solido = 1302 cmq
S laterale piramide = 39/70 S laterale parallelepipedo
******************************************************************
AB = 4 unita' di misura
BC = 3 unita' di misura
2p rettangolo di base = (4 + 3) . 2 = 14 unita' di misura
84 : 14 = 6 cm (valore di un'unita' di misura)
BC = 3 unita' di misura = 3 .6 = 18 cm
AB = 4 unita' di misura = 4 . 6 = 24 cmq
Area rettangolo ABCD = AB . BC = 24 . 18 = 432 cmq
Ora calcolo l'area del rombo
Area MNPQ = 24 . 18/2 = 216 cm2
Somma area triangoli PDQ, NCP, MNB, AQM = 432 - 216 = 216 cm2
Ora imposto l'equazione
Area solido = Area laterale piramide + Area laterale parallelepipedo + Area di base del parallelepipedo + (area base parallelepipedo - area base piramide)
Area laterale parallelepipedo = x
Area laterale piramide = 39/70x
x + 39/70x + 432 + 216 = 1.302
x + 39/70x = 1302 - 432 - 216
x + 39/70x = 654
70x + 39x = 45.780
109x = 45.780
x = 45.780/109 = 420 cmq(area del parallelepipedo)
Area piramide = 39/70 Area parallelepipedo = 39/70.420 = 234 cmq

Ora, calcoliano l'altezza del parallelepipedo di cui conosciamo l'area laterale e il perimetro di base. Occore applicare la formula inversa, cioe':
S laterale = 2p . h
h = S laterale/2p
h = 420/894 = 5 cm (altezza del parallelepipedo)

Ora calcoliamo l'apotema della piramide, di cui, a questo punto conosciano il lato base e l'area laterale. Anche in questo, dobbiamo applicare la formula inversa, cioe':
Area laterale piramide = perimetro di base . apotema/2
Per calcolare il perimetro di base del rombo, ho bisogno della misura del lato.
Il lato non e' altro che l'ipotenusa del triangolo MBN (oppure NPC, QPD o AMQ). I cateti di questo triangolo corrisoindo alla meta di ciascuno delle due dimensioni di base del rettangolo. Quindi:
24: 2 = 12 cm
18:2 = 9 cm
Applico il teorema di Pitagora al triangolo MBN:
MN = 12^2 + 9^2 sotto segno di radice = 144 + 81 sotto segno di radice = 225 sotto segno di radice = 15 cm
Perimetro rombo (base della piramide) = 15 . 4 = 60 cm
Per ottenere la misura dell apotema, applico la formula inversa, cioe':
Apotema = Area laterale . 2 /perimetro = 234 . 2/60 = 7,8 cm

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