Geomtria
cosa vuol dire " la diagonale di un cubo misura 8(radice quadrata) di 3 m. calcola l'area della faccia del cubo.
apparte che non lo so fare , ma perchè in ogni problema ce sempre quel tre sotto radice attaccato ad un altro numero come in questo caso 8 ??
apparte che non lo so fare , ma perchè in ogni problema ce sempre quel tre sotto radice attaccato ad un altro numero come in questo caso 8 ??
Risposte
Ciao, Yleroma!
Be', innanzi tutto ti risolvo il problema.
Chiamo l il lato del cubo, per ora ignoto.
Ognuna delle sue facce sarà un quadrato di lato l. Quindi l'area di una qualsiasi delle sue facce misura:
A = l x l = l^2.
Ragion per cui è sufficiente determinare l per poter rispondere alla domanda posta dal problema.
Detto questo, la diagonale di ognuna delle facce quadrate del cubo la divide a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali i due cateti sono pari al lato del quadrato (quindi misurano l) e l'ipotenusa è pari alla diagonale (chiamiamola d).
Per questo motivo, e grazie al teorema di Pitagora, sappiamo che la relazione che lega diagonale e lati del quadrato è questa:
d ^2 = (l^2 + l^2) = 2l^2.
Veniamo alla diagonale del cubo.
Essa forma un triangolo rettangolo all'interno del cubo insieme alla sua altezza (pari ad l) e alla diagonale della faccia quadrata che costituisce la base inferiore. In altre parole diagonale cubo, altezza e diagonale faccia inferiore formano un triangolo rettangolo dentro al cubo, nel quale la prima è l'ipotenusa, la seconda è il cateto verticale e la terza il cateto orizzontale.
Per calcolare la diagonale del cubo posso affidarmi ancora una volta al Teorema di Pitagora:
diagonale cubo = radice quadrata di (d^2 + l^2).
Ma si sa che d^2 = 2l^2, quindi sostituisco questo valore nella formula appena scritta.
Diagonale cubo = radice quadrata di (2l^2 + l^2) = radice di 3l^2.
Poichè la diagonale del cubo è nota (e pari ad 8 x √3), posso invertire questa formula per trovare il lato l.
Diagonale cubo^2 = 3l^2
Diagonale cubo^2/3 = l^2.
l = radice di (diagonale cubo^2/3) = radice di (8√3)^2/3 = radice di 64 x 3/3 = radice di 64 = 8 cm.
Quindi Area faccia quadrata = l x l = 8 x 8 = 64 cm.
Veniamo alla tua domanda: il tuo libro di testo ti propone esercizi in cui compare un numero moltiplicato per la radice di 3 semplicemente per renderti più agevoli i calcoli. Infatti, come puoi notare, in questo problema, la radice di tre è scomparsa grazie all’elevamento a potenza, e ci ha poi permesso –divisa per un altro 3 – di ottenere un quadrato perfetto. Solo questo. Non c’è nessun’altra ragione particolare.
Ciao, spero di esserti stata utile!
Be', innanzi tutto ti risolvo il problema.
Chiamo l il lato del cubo, per ora ignoto.
Ognuna delle sue facce sarà un quadrato di lato l. Quindi l'area di una qualsiasi delle sue facce misura:
A = l x l = l^2.
Ragion per cui è sufficiente determinare l per poter rispondere alla domanda posta dal problema.
Detto questo, la diagonale di ognuna delle facce quadrate del cubo la divide a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali i due cateti sono pari al lato del quadrato (quindi misurano l) e l'ipotenusa è pari alla diagonale (chiamiamola d).
Per questo motivo, e grazie al teorema di Pitagora, sappiamo che la relazione che lega diagonale e lati del quadrato è questa:
d ^2 = (l^2 + l^2) = 2l^2.
Veniamo alla diagonale del cubo.
Essa forma un triangolo rettangolo all'interno del cubo insieme alla sua altezza (pari ad l) e alla diagonale della faccia quadrata che costituisce la base inferiore. In altre parole diagonale cubo, altezza e diagonale faccia inferiore formano un triangolo rettangolo dentro al cubo, nel quale la prima è l'ipotenusa, la seconda è il cateto verticale e la terza il cateto orizzontale.
Per calcolare la diagonale del cubo posso affidarmi ancora una volta al Teorema di Pitagora:
diagonale cubo = radice quadrata di (d^2 + l^2).
Ma si sa che d^2 = 2l^2, quindi sostituisco questo valore nella formula appena scritta.
Diagonale cubo = radice quadrata di (2l^2 + l^2) = radice di 3l^2.
Poichè la diagonale del cubo è nota (e pari ad 8 x √3), posso invertire questa formula per trovare il lato l.
Diagonale cubo^2 = 3l^2
Diagonale cubo^2/3 = l^2.
l = radice di (diagonale cubo^2/3) = radice di (8√3)^2/3 = radice di 64 x 3/3 = radice di 64 = 8 cm.
Quindi Area faccia quadrata = l x l = 8 x 8 = 64 cm.
Veniamo alla tua domanda: il tuo libro di testo ti propone esercizi in cui compare un numero moltiplicato per la radice di 3 semplicemente per renderti più agevoli i calcoli. Infatti, come puoi notare, in questo problema, la radice di tre è scomparsa grazie all’elevamento a potenza, e ci ha poi permesso –divisa per un altro 3 – di ottenere un quadrato perfetto. Solo questo. Non c’è nessun’altra ragione particolare.
Ciao, spero di esserti stata utile!
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