Geometria (61609)

[nina1775]

Salve sono nuova ed avrei bisogno di un aiuto per svolgere un esercizio di geometria che mi sta facendo impazzire:La base di un prisma e di una piramide retta è un rombo avente la somma e la differenza delle misure delle diagonali rispettivamente di 70 cm e 10 cm;sapendo che le superfici laterali dei due solidi sono uguali e che l'area della superficie totale del solido è 2100cm2, calcola la misura dell'altezza de solido.grazie in anticipo per l'aiuto

Aggiunto 4 ore 17 minuti più tardi:

Si si.......con superfici laterali uguali!

Aggiunto 21 ore 48 minuti più tardi:

Ciao!seguendo i tuoi suggerimenti Bit ho calcolato l'altezza della piramide sapendo che l'altezza di ogni triangolo è 19,50 cm, ma l'altezza di un singolo triangolo corrisponde anke all'apotema(a) della piramide?quindi ho fatto h(piramide)=radice quadrata di a2-r2=19.50*19.50-12,5*12,5=14,9 cm


h(solido)=altezza prisma+altezza piramide=9.75cm+14,9=24,65cm

il risultato del libro è invece 16,5 cm

Aggiunto 1 ore 27 minuti più tardi:

Fino a li c'ero arrivata Bit infatti avevo calcolato sia le 2 diagonali 40 e 30 cm sia il lato 25 cm e sia area di base del del prisma 600 cm2 ma leggendo il tuo di risultato avevo pensato ke l'errore era il mio e nn il tuo!grazie mille mi sei stato di grande aiuto

[BIT5]

Scusami, il prisma e la piramide sono attaccati per la base e formano un unico solido?

Aggiunto 4 ore 11 minuti più tardi:

Iniziamo allora con il calcolare la base...

Abbiamo i dati sufficienti per calcolare le diagonali.

Rappresentiamo le diagonali con due segmenti lunghi a piacere.

D= |-------------|

d= |-------|

La loro differenza e' 10.

Quindi significa che la diagonale minore + 10 e' lunga come la diagonale maggiore..

Ma allora:

|------D-----|
|---d---|-10-|

Quindi siccome la somma e' 70, avremo che

|-----D------|---d---| = 70

E per quanto detto prima, al posto di D rappresentiamo d+10

|---d---|-10-|---d---| = 70

Se tutto il segmento di sinistra (d+10+d) e' 70 allora se togliamo 10 e' 60

|---d---|---d---| = 60

E quindi un solo segmento "d" e' 60:2=30

Quindi d=30
e D=30+10=40

Le diagonali sono 30 e 40

Calcoliamo i lati del rombo: sappiamo che ogni lato e' l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti meta' delle diagonali.

Quindi ogni triangolo rettangolo formato dalle diagonali avra' cateti di 15 e 20, e l'ipotenusa (lato) per Pitagora, sara'

[math] l= \sqrt{15^2+20^2}= \sqrt{225+400}= \sqrt{625}=25 [/math]

Sappiamo che la superficie totale del solido e' di 2100.

Tale superficie e' formata da:

4 facce (triangoli) della piramide;
4 facce laterali (rettangoli) del prisma
1 base (rombo) del prisma (il "coperchio" per intenderci)

Togliamo quindi dalla superficie totale del solido, il rombo, ottenendo cosi' la somma delle superfici laterali di entrambi i solidi

La superficie del rombo e'

[math] A_{rombo}= \frac{D \cdot d}{2} = \frac{15 \cdot 20}{2}=150 [/math]

Quindi la somme delle superfici laterali sara'

2100 - 150 = 1950

E siccome le superfici laterali di prisma e piramide sono uguali, ciascuna misurera'

1950 : 2 = 975

Partiamo ora dal prisma:

Se 4 facce misurano 975, siccome la base e' un rombo (quindi 4 lati uguali) le facce sono identiche e quindi ogni faccia misurera':

975 : 4 = 243,75

Le facce del prisma sono rettangoli di base 25 (lato del rombo) e quindi l'altezza dei rettangoli sara'

[math] A_{rettangolo}= b \cdot h \to h= \frac{A_{rett}}{b}= \frac{243,75}{25}=9,75 [/math]

E poiche' l'altezza del prisma e' l'altezza di ogni faccia, il prisma sara' alto 9,75.

Piu' complessa la piramide.

Calcoliamo intanto la superficie di ogni faccia della piramide. Esse sono triangoli congruenti (la base è un rombo con 4 lati uguali) e isoscele (piramide retta).

Ogni faccia misurera' dunque 975:4=243,75

La superficie di ogni triangolo sara' 243,75, la base 25, quindi calcoliamo:

[math] A_{triangolo}= \frac{b \cdot h}{2} \to h= \frac{2 \cdot A_{tr}}{b} = \frac{2 \cdot 243,75}{25}=19,50 [/math]

L'altezza di ogni triangolo sara' dunque 19,50.

Ora si tratta di calcolare l'altezza della piramide.

Hai tutti i dati per calcolarla.. Piu' che altro non so che formule avete, perche' i metodi sono diversi.

Prova a finirlo tu.

Si tratta solo di calcolare l'altezza della piramide e aggiungere ad essa l'altezza trovata del prisma..

Altrimenti dimmi che formule ti hanno dato, per il calcolo dell'altezza di una piramide quadrangolare.

In generale dovresti ancora calcolare l'altezza del rombo (considerandolo un parallelogramma) e poi trovare l'altezza della piramide considerando il triangolo rettangolo avente come cateti meta' altezza del rombo e l'altezza della piramide, e come ipotenusa l'altezza del triangolo/faccia della piramide.

Ma non so se l'avete affrontato cosi' :)

Aggiunto 21 ore 59 minuti più tardi:

Per prima cosa c'e' un errore.

Ho calcolato la superficie del rombo, utilizzando per errore meta' delle diagonali (che sono 30 e 40 e non 15 e 20)

Quindi la superficie del rombo e' 30x40 : 2 = 600

Pertanto dalla superficie laterale sara'
2100 - 600 = 1500

Ogni solido avra' sup. laterale pari a 750 (1500 : 2 )

Il prisma per analogo procedimento a quanto fatto prima avra' altezza 7,50

Fai attenzione per la piramide.. comunque sbagli

Alla base non hai un quadrato (per cui l'apotema e' meta' del lato) ma un rombo..

Il dato da utilizzare non e' meta' del lato del rombo, ma meta' della sua altezza.

Sapendo che il rombo e' anche un parallelogramma, l'area puoi calcolarla come base(ovvero lato) per altezza.

Quindi l'altezza sara' (per la formula inversa) 600/25=24

Quindi l'altezza della piramide sara' il cateto del triangolo rettangolo avente come ipotenusa, l'apotema della piramide (ovvero l'altezza del triangolo/faccia che rifacendo i conti sarà 15) e come altro cateto, meta' dell'altezza del rombo (12)

Pertanto l'altezza della piramide sara' (per Pitagora)

[math] h= \sqrt{15^2-12^2}= 9 [/math]

L'altezza totale del solido sara' 9+7.50=16.50

Comunque ho fatto un errore gigante, dovuto alla fretta.

Peccato che nanche tu l'abbia notato, pero'!

Aggiunto 50 minuti più tardi:

Di nulla :)