Esercizio
Ciao , potete controllare , per favore , se ho svolto bene l'esercizio ? Grazie .
1) $a+a+b^2=b+b+a^2$ per quali valori è verificata in $N$ ?
porto tutto da un lato $a+a+b^2-b-b-a^2=0$
quindi metto in evidenza $a(2-a)- b(2-b)=0$
pongo $x=2-a$ e $y=2-b$
e scrivo $ax - by=0$
che ha soluzione in $N$ solo per $x=k*b$ , $y=k*a$
con $k$ naturale diverso da zero .
ok ?
1) $a+a+b^2=b+b+a^2$ per quali valori è verificata in $N$ ?
porto tutto da un lato $a+a+b^2-b-b-a^2=0$
quindi metto in evidenza $a(2-a)- b(2-b)=0$
pongo $x=2-a$ e $y=2-b$
e scrivo $ax - by=0$
che ha soluzione in $N$ solo per $x=k*b$ , $y=k*a$
con $k$ naturale diverso da zero .
ok ?
Risposte
Ciao, sinceramente non credo di aver mai fatto questo tipo di esercizi alle medie, ma ti dico ugualmente come farei:
\[
b^2 - 2b + 2a - a^2 = 0 \\
b_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-2a+a^2}}{1} = 1 \pm (a-1) \Rightarrow b = a \vee b = 2 - a
\]e in effetti risulta. Tuttavia non so se tu abbia fatto queste cose...
Inoltre non mi torna come significato: io l'ho risolto come una equazione di secondo grado nell'incognita $b$ trattando $a$ come un parametro ma non so se fosse questo lo scopo. Probabilmente no... però mi sembra strano anche dover introdurre $x$ e $y$ come hai fatto tu.
\[
b^2 - 2b + 2a - a^2 = 0 \\
b_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-2a+a^2}}{1} = 1 \pm (a-1) \Rightarrow b = a \vee b = 2 - a
\]e in effetti risulta. Tuttavia non so se tu abbia fatto queste cose...
Inoltre non mi torna come significato: io l'ho risolto come una equazione di secondo grado nell'incognita $b$ trattando $a$ come un parametro ma non so se fosse questo lo scopo. Probabilmente no... però mi sembra strano anche dover introdurre $x$ e $y$ come hai fatto tu.
Questi però non mi sembrano esercizi da scuola media...
@stellinel: perchè hai postato in questa sezione?
@stellinel: perchè hai postato in questa sezione?
Grazie , perchè mio nipote fa la terza media e quest'anno deve fare gli esami ;
lui si rivolge a me perchè mi crede "dotta in matematica" ma non sa che il mio "sapere" siete voi
Però non ho capito se ho "fatto bene" , se le soluzioni in $N$ sono solo per $x=k*b$ e $y=k*a$
con $k$ naturale diverso da zero ?
Ciaoo
p.s. : io ho fatto questo ragionamento :
$a^2$ è uguale ad $a*a$
quindi se devo sommare $a$ per $a$ volte
e poi sottrarvi ,da risultato della moltiplicazione, $a+a$ , cioè altre 2 volte $a$
faccio prima moltiplicare $a$ non per $a$ ma per $a-2$ ...
stesso ragionamento per $b$ .
Ho sbagliato e sono "caduta in piedi " per puro caso ?
lui si rivolge a me perchè mi crede "dotta in matematica" ma non sa che il mio "sapere" siete voi
Però non ho capito se ho "fatto bene" , se le soluzioni in $N$ sono solo per $x=k*b$ e $y=k*a$
con $k$ naturale diverso da zero ?
Ciaoo
p.s. : io ho fatto questo ragionamento :
$a^2$ è uguale ad $a*a$
quindi se devo sommare $a$ per $a$ volte
e poi sottrarvi ,da risultato della moltiplicazione, $a+a$ , cioè altre 2 volte $a$
faccio prima moltiplicare $a$ non per $a$ ma per $a-2$ ...
stesso ragionamento per $b$ .
Ho sbagliato e sono "caduta in piedi " per puro caso ?
$a+a+b^2=b+b+a^2$ effettuate le somme possibili
$2a+b^2=2b+a^2$ riordinando i termini
$2a-2b=a^2-b^2$ ponendo in evidenza 2 e scomposta la differenza fra i quadrati di due monomi
$2(a-b)=(a-b)(a+b)$ da cui dividendo entrambi i membri per $(a-b)$
$(a+b)=2$
A questo punto le coppie di numeri naturali $(a;b)$ la cui somma è uguale a $2$ sono:
$(0;2)$
$(1;1)$
$(2;0)$
$2a+b^2=2b+a^2$ riordinando i termini
$2a-2b=a^2-b^2$ ponendo in evidenza 2 e scomposta la differenza fra i quadrati di due monomi
$2(a-b)=(a-b)(a+b)$ da cui dividendo entrambi i membri per $(a-b)$
$(a+b)=2$
A questo punto le coppie di numeri naturali $(a;b)$ la cui somma è uguale a $2$ sono:
$(0;2)$
$(1;1)$
$(2;0)$
"algxyz":
$2(a-b)=(a-b)(a+b)$ da cui dividendo entrambi i membri per $(a-b)$
$(a+b)=2$
A questo punto le coppie di numeri naturali $(a;b)$ la cui somma è uguale a $2$ sono:
$(0;2)$
$(1;1)$
$(2;0)$
Ciao e benvenuto. Attenzione perchè c'è un errore in quello che dici: se dividi per $(a-b)$ stai perdendo la soluzione $a=b$. Quindi alle tre coppie che hai indicato vanno aggiunte tutte le infinite coppie $(k, k), k \in \mathbb{N}$.
Volevo sottolinearlo perchè purtroppo è un errore comune.
"minomic":
[quote="algxyz"]$2(a-b)=(a-b)(a+b)$ da cui dividendo entrambi i membri per $(a-b)$
$(a+b)=2$
A questo punto le coppie di numeri naturali $(a;b)$ la cui somma è uguale a $2$ sono:
$(0;2)$
$(1;1)$
$(2;0)$
Ciao e benvenuto. Attenzione perchè c'è un errore in quello che dici: se dividi per $(a-b)$ stai perdendo la soluzione $a=b$. Quindi alle tre coppie che hai indicato vanno aggiunte tutte le infinite coppie $(k, k), k \in \mathbb{N}$.
Volevo sottolinearlo perchè purtroppo è un errore comune.
[/quote]ciao minomic!
Grazie per il tuo benvenuto!
Pensavo si dovessero semplicemente trovare i valori di a e b appartenenti ad N per cui fosse verificata l'espressione iniziale.
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