Domanda
sono la mamma di una ragazza di 12 anni che frequenta la prima media.
come si rappresenta graficamente :
\[
(A\cap B)\cap C
\]
e come si colora l'insieme risultato ?
grazie infinite per la preziosa consulenza.
arianna
come si rappresenta graficamente :
\[
(A\cap B)\cap C
\]
e come si colora l'insieme risultato ?
grazie infinite per la preziosa consulenza.
arianna
Risposte
Cara Arianna, oltre alla giuste osservazioni di coloro che mi hanno preceduto (per inciso, il fatto che tu non abbia trovato da nessuna parte una situazione come la tua, purtroppo non prova niente, in Matematica non funziona così 
; sarebbe stato utile invece trovare un controesempio cioè una situazione come la tua nella quale veniva dimostrato che era errata, quello sì sarebbe staa un gran cosa … ma purtroppo neppure quella hai trovato … perché non è così … ), mi spiace ripeterti che continui nello stesso errore ovvero parti da una scrittura, sei convinta che questa rappresenti una e una sola situazione e cerchi di "adattare" il grafico a questa tua idea e, siccome non si adatta, dici che è sbagliato.
Invece va al contrario: hai un grafico (uno degli infiniti possibili diagrammi di Venn), il quale non ha assolutamente nulla di particolare, e una richiesta (implicita, è vero): quale parte del grafico è rappresentato dalla scrittura $(A nn B) nn C$ ?
Nient'altro
Fatti un esempio alternativo, come $A=\{1, 3, 5, 7\}$, $B=\{1, 2, 4, 6\}$ e $C=\{3, 6, 9, 11, 23\}$
Che insieme è $(A nn B) nn C$ ?
Cordialmente, Alex
; sarebbe stato utile invece trovare un controesempio cioè una situazione come la tua nella quale veniva dimostrato che era errata, quello sì sarebbe staa un gran cosa … ma purtroppo neppure quella hai trovato … perché non è così … ), mi spiace ripeterti che continui nello stesso errore ovvero parti da una scrittura, sei convinta che questa rappresenti una e una sola situazione e cerchi di "adattare" il grafico a questa tua idea e, siccome non si adatta, dici che è sbagliato.Invece va al contrario: hai un grafico (uno degli infiniti possibili diagrammi di Venn), il quale non ha assolutamente nulla di particolare, e una richiesta (implicita, è vero): quale parte del grafico è rappresentato dalla scrittura $(A nn B) nn C$ ?
Nient'altro
Fatti un esempio alternativo, come $A=\{1, 3, 5, 7\}$, $B=\{1, 2, 4, 6\}$ e $C=\{3, 6, 9, 11, 23\}$
Che insieme è $(A nn B) nn C$ ?
Cordialmente, Alex
viadoq
il tempo impiegato a riflettere nn è mai sprecato,.
si dice che la matematica sia una scienza dimostrata.
alex
notte.
il tempo impiegato a riflettere nn è mai sprecato,.
si dice che la matematica sia una scienza dimostrata.
alex
notte.
"emanuele1961":
si dice che la matematica sia una scienza dimostrata.
Cosa intendi dire con questa frase ? Non ne ho capito il senso (relativamente al discorso che stiamo facendo)
Cordialmente, Alex
C è qualcosa che non mi torna...
Tutti sbagliano, compresi gli insegnanti, qui però mi sembra che i dubbi siano stati sciolti, o no?
Tutti sbagliano, compresi gli insegnanti, qui però mi sembra che i dubbi siano stati sciolti, o no?
grazie delle vostre risposte e del vostro supporto.
una Buona Pasqua a tutti..
e menomale che sbagliano anche gli insegnanti !!
una Buona Pasqua a tutti..
e menomale che sbagliano anche gli insegnanti !!
"emanuele1961":
Buona Pasqua
Altrettanto!
@emanuele1961: Buona Pasqua anche a te.
Ma tra una fetta di casatiello ed una di pastiera, sarebbe istruttivo (per te e per il pargolo) cercare di rappresentare graficamente gli insiemi che axpgn ha pazientemente individuato e proposto più sopra:
piuttosto che continuare a discettare sulla possibilità di errore di docenti ed affini.
Inoltre, non capisco perché tu continui a scrivere che l’interpretazione del problema ti “sembra” scorretta, quando ti hanno mostrato che l’interpretazione “è” corretta, anzi che non c’è alcuna ambiguità né nella traccia né nella sua interpretazione.
Tuo figlio ha sbagliato l’esercizio. Non c’è niente di male in ciò, non c’è nulla da cui difenderlo[nota]Tra l’altro in modo becero, cioè insinuando che la docente di non sa ciò che propone agli studenti.[/nota].
C’è solo da spronare tuo figlio a capire meglio cosa significa un modello matematico ed a ragionare di più su quello che ha davvero sotto gli occhi, piuttosto che insistere sul fargli cercare di ricordare un fantomatico “meccanismo” secondo il quale si risolvono gli esercizi (che, è questo l’assunto di base, sono tutti uguali… e invece no).
In tal senso, vedo in questa discussione un utile spunto per cercare di dissipare un po’ un grande equivoco, che ha forte sapore di ignoranza (vorrei dire “matematica”… ma no, perché questa ha pesanti ricadute anche nella vita reale), e che mina alla base ogni corretto approccio allo studio della Matematica sia dei ragazzi, sia degli adulti (istruiti, il più delle volte) che li aiutano.
Il problema di fondo, qui, è il non saper distinguere il “generale” come modello astratto ed il “particolare” come istanza/effettiva realizzazione di tale modello.
Spiego.
Non hai trovato, nelle tue innumerevoli peregrinazioni sul web, un disegno come quello proposto dalla docente perché insegnando Matematica si tende a preferire il caso “generale”. In altri termini, hai trovato il “tipico” diagramma di Venn di tre insiemi:
[asvg]noaxes();
circle([0,-1.2],3); circle([1.5,1.5],3); circle([-1.5,1.5],3);
text([-4.5,4.5],"A"); text([4.5,4.5],"B"); text([0,-5],"C");[/asvg]
perché, in mancanza di informazioni precise sui tre insiemi $A,B,C$ coinvolti (cioè “in generale”), non si può pretendere che nessuno dei $7$ insiemi mutuamente disgiunti:
\[
\begin{split}
& (A\cap B)\setminus C, (B\cap C)\setminus A, (C\cap A)\setminus B, \\
&A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B), \\
& A\cap B\cap C
\end{split}
\]
(rappresentati dai settori del diagramma) sia vuoto; dunque ogni settore del diagramma di Venn di tre insiemi nel caso “generale” deve avere dei punti interni.[nota]Ricordo che, in un diagramma di Venn, un insieme non vuoto è rappresentato da una linea curva chiusa semplice che delimita una regione del piano con qualche punto interno.[/nota]
Invece, il diagramma disegnato dalla professoressa, simile (anche se non uguale, ma la differenza è solo nella forma dei patatoidi) a questo:
[asvg]noaxes();
ellipse([-2,0],1,3); ellipse([0.5,2],3,1); circle([0.75,-0.5],2);
text([-3.5, 0],"A"); text([0.5,3.5],"B"); text([2.75, -2.5],"C");[/asvg]
rappresenta un caso “particolare”, esattamente il caso in cui i tre insiemi $A,B,C$ (non vuoti) sono caratterizzati da:
Ma tra una fetta di casatiello ed una di pastiera, sarebbe istruttivo (per te e per il pargolo) cercare di rappresentare graficamente gli insiemi che axpgn ha pazientemente individuato e proposto più sopra:
"axpgn":
Cara Arianna, […] Fatti un esempio alternativo, come $A=\{1, 3, 5, 7\}$, $B=\{1, 2, 4, 6\}$ e $C=\{3, 6, 9, 11, 23\}$
piuttosto che continuare a discettare sulla possibilità di errore di docenti ed affini.
Inoltre, non capisco perché tu continui a scrivere che l’interpretazione del problema ti “sembra” scorretta, quando ti hanno mostrato che l’interpretazione “è” corretta, anzi che non c’è alcuna ambiguità né nella traccia né nella sua interpretazione.
Tuo figlio ha sbagliato l’esercizio. Non c’è niente di male in ciò, non c’è nulla da cui difenderlo[nota]Tra l’altro in modo becero, cioè insinuando che la docente di non sa ciò che propone agli studenti.[/nota].
C’è solo da spronare tuo figlio a capire meglio cosa significa un modello matematico ed a ragionare di più su quello che ha davvero sotto gli occhi, piuttosto che insistere sul fargli cercare di ricordare un fantomatico “meccanismo” secondo il quale si risolvono gli esercizi (che, è questo l’assunto di base, sono tutti uguali… e invece no).
In tal senso, vedo in questa discussione un utile spunto per cercare di dissipare un po’ un grande equivoco, che ha forte sapore di ignoranza (vorrei dire “matematica”… ma no, perché questa ha pesanti ricadute anche nella vita reale), e che mina alla base ogni corretto approccio allo studio della Matematica sia dei ragazzi, sia degli adulti (istruiti, il più delle volte) che li aiutano.
Il problema di fondo, qui, è il non saper distinguere il “generale” come modello astratto ed il “particolare” come istanza/effettiva realizzazione di tale modello.
Spiego.
Non hai trovato, nelle tue innumerevoli peregrinazioni sul web, un disegno come quello proposto dalla docente perché insegnando Matematica si tende a preferire il caso “generale”. In altri termini, hai trovato il “tipico” diagramma di Venn di tre insiemi:
[asvg]noaxes();
circle([0,-1.2],3); circle([1.5,1.5],3); circle([-1.5,1.5],3);
text([-4.5,4.5],"A"); text([4.5,4.5],"B"); text([0,-5],"C");[/asvg]
perché, in mancanza di informazioni precise sui tre insiemi $A,B,C$ coinvolti (cioè “in generale”), non si può pretendere che nessuno dei $7$ insiemi mutuamente disgiunti:
\[
\begin{split}
& (A\cap B)\setminus C, (B\cap C)\setminus A, (C\cap A)\setminus B, \\
&A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B), \\
& A\cap B\cap C
\end{split}
\]
(rappresentati dai settori del diagramma) sia vuoto; dunque ogni settore del diagramma di Venn di tre insiemi nel caso “generale” deve avere dei punti interni.[nota]Ricordo che, in un diagramma di Venn, un insieme non vuoto è rappresentato da una linea curva chiusa semplice che delimita una regione del piano con qualche punto interno.[/nota]
Invece, il diagramma disegnato dalla professoressa, simile (anche se non uguale, ma la differenza è solo nella forma dei patatoidi) a questo:
[asvg]noaxes();
ellipse([-2,0],1,3); ellipse([0.5,2],3,1); circle([0.75,-0.5],2);
text([-3.5, 0],"A"); text([0.5,3.5],"B"); text([2.75, -2.5],"C");[/asvg]
rappresenta un caso “particolare”, esattamente il caso in cui i tre insiemi $A,B,C$ (non vuoti) sono caratterizzati da:
- [*:3lk71tvf] non avere punti in comune tutti e tre insieme (sicché $A nn B nn C = emptyset$),
[/*:m:3lk71tvf]
[*:3lk71tvf] avere punti in comune a due a due (cioè $A nn B , B nn C , C nn A != emptyset $),
[/*:m:3lk71tvf]
[*:3lk71tvf] avere ognuno punti che non appartengono agli altri due insiemi (cosicché $A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B) != emptyset$).[/*:m:3lk71tvf][/list:u:3lk71tvf]
Osserva che la rappresentazione proposta dalla docente soddisfa il “principio” che citi, cioè:
"emanuele1961":
Dunque due insiemi A e B si dicono DISGIUNTI se NON hanno ALCUN ELEMENTO in COMUNE, cioè se la loro INTERSEZIONE è l'INSIEME VUOTO.
perché dal diagramma che correda la traccia è evidente che i due insiemi $A nn B$ e $C$ hanno intersezione vuota, cioè sono disgiunti. Non te ne accorgi?
Infine, la rappresentazione che proponevi tu come possibile alternativa, ossia:
"emanuele1961":
l intersezione tra A e B, che si presume non sia vuota (anche se non ci sono dati ) interseca un TERZO insieme con cui non condivide nessun elemento dà chiaramente risultato 0 . il terzo insieme però lo avrei rappresentato separatamente, ossia disgiunto […]
posso immaginare, se l’uso del linguaggio naturale non mi inganna, fosse qualcosa di simile a questo:
[asvg]noaxes();
ellipse([-2,0],1,3); ellipse([0.5,2],3,1); circle([2,-2],2);
text([-3.5,0],"A"); text([0.5, 3.5],"B"); text([4,-4],"C");[/asvg]
Essa, però, rappresenta una situazione totalmente differente da quella che la professoressa chiedeva di analizzare, cioè una terna di insiemi $A,B,C$ non vuoti e tali che:
- [*:3lk71tvf] $C$ non ha punti in comune né con $A$ né con $B$ (sicché $A nn C, B nn C = emptyset$),
[/*:m:3lk71tvf]
[*:3lk71tvf] $A$ ha punti in comune con $B$ (cioè $A nn B != emptyset $),
[/*:m:3lk71tvf]
[*:3lk71tvf] ogni insieme ha punti che non appartengono agli altri due insiemi (cosicché $A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B) != emptyset$).[/*:m:3lk71tvf][/list:u:3lk71tvf]
Potresti chiederti, e faresti bene, perché allora si preferisce l’uso dei casi “generali” ai casi “particolari”?
Questa è una buona domanda e dentro di sé racchiude l’idea stessa di cosa voglia dire fare Matematica.
Pensa: cos’è $2$?
È due pere? Due mele? Due dita? Due narici? Due automobili parcheggiate sotto casa? Due persone sotto la fermata dell’autobus?
Sì, forse, come caso particolare; ma, in verità, no, non è nessuna di queste alternative.
$2$ è un numero, cioè è una qualità che accomuna tutti gli esempi che ti ho citato in precedenza. $2$ non vede se stai contando pere, mele, dita, narici, auto o persone; $2$ è un concetto generale non particolare. Ma esso può essere particolareggiato quando è opportuno o richiesto, esibendo un paio di oggetti distinti. Tanto per capirci: se chiedi a chiunque Scusa, mi dai due?, la risposta sarà Sì, ma “due” cosa?
Allo stesso modo, il primo diagramma rappresenta un caso “generale”, che si può sfruttare per farci delle cose quando non si hanno informazioni sui tre insiemi (Scusa, mi dai tre insiemi?); mentre il diagramma proposto dal docente è un caso “particolare”, che contiene molte informazioni sui tre insiemi assegnati (Sì, ma “tre insiemi” come?).
Rispondo a tutti.
Prendo atto delle risposte e anche dei toni irrispettosi e offensivi di qualcuno. Ringrazio coloro che si sono impegnati a fornire spiegazioni su questioni che reputo debbano avere una interpretazione univoca. Chiedo al moderatore di questa chat di invitare tutti a usare termini più consoni e meno denigratori.
Prendo atto delle risposte e anche dei toni irrispettosi e offensivi di qualcuno. Ringrazio coloro che si sono impegnati a fornire spiegazioni su questioni che reputo debbano avere una interpretazione univoca. Chiedo al moderatore di questa chat di invitare tutti a usare termini più consoni e meno denigratori.
"emanuele1961":
Prendo atto delle risposte e anche dei toni irrispettosi e offensivi di qualcuno. Ringrazio coloro che si sono impegnati a fornire spiegazioni su questioni che reputo debbano avere una interpretazione univoca. Chiedo al moderatore di questa chat di invitare tutti a usare termini più consoni e meno denigratori.
Mi spiace che la prenda così, ma le questioni hanno una interpretazione univoca, solo tu non sei riuscito a coglierla. Mi spiace anche che tu non abbia saputo apprezzare l'ultimo intervento di gugo, che ti ha spiegato dettagliatamente com'è la situazione, con il suo tono un po' brusco, d'altra parte avevi scritto
"emanuele1961":
e menomale che sbagliano anche gli insegnanti !!
solo che l'insegnante non aveva sbagliato, forse non era stato sufficientemente chiaro, ma non aveva sbagliato.
Il fatto che non sia stato possibile trovare quell'esempio nei vari testi/siti consultati non significa niente, è come dire che una certa addizione non si può fare perché non l'hai trovata in nessun testo/sito.
"emanuele1961":
Prendo atto […] dei toni irrispettosi e offensivi di qualcuno.
Non capisco a chi ti riferisci… Forse a quel genitore che ha accusato pubblicamente, su un forum aperto a tutti, un docente di aver sbagliato (a proporre ed a correggere un esercizio) quando non è così?
"emanuele1961":
Ringrazio coloro che si sono impegnati a fornire spiegazioni su questioni che reputo debbano avere una interpretazione univoca.
Il fatto è che tu “reputi” una cosa che, nei termini in cui l’hai messa, non sta né in cielo né in terra.
La figura assegnata ha un’interpretazione univoca, la quale però non è la tua (che è sbagliata) ma quella della docente.
La nozione di “insiemi disgiunti” ha un’interpretazione univoca, la quale però non si applica nel modo che tu credi all’esercizio proposto.
Detto ciò, mi pare che il problema principale sia questo: interpreti male (e giudichi peggio) una cosa non perché essa non ha un’interpretazione univoca, ma solo perché l’interpretazione corretta non si adatta all’immagine errata che ti sei fatto.
Inoltre, mi pare anche un problema che tu non sia riuscito a cambiare idea, nonostante terze parti molto competenti in materia ti abbiano spiegato a chiare lettere che stai sostenendo un’idea errata. Questo è ben più grave, perché è proprio ciò che non ci si aspetta da un adulto genitore.
Infine, mi pare anche un problema che tu non ti fidi di un docente e di ciò che egli fa, in coscienza e secondo le sue convinzioni scientifiche e pedagogiche, per tuo figlio.
Tutto ciò, questi atteggiamenti, questa sfiducia, direttamente od indirettamente, consciamente od inconsciamente, vengono trasmessi a tuo figlio e possono prendere direzioni inaspettate. Fai attenzione.
"emanuele1961":
Chiedo al moderatore di questa chat di invitare tutti a usare termini più consoni e meno denigratori.
Questa non è una chat, ma una discussione in un forum.
La differenza tra chat e forum è questa: la velocità di interazione. I messaggi inseriti in una chat sono semplici, vincolano idee basilari e perciò si leggono velocemente; i post su un forum sono complessi, vincolano opinioni ed idee profonde e maturate con tanta esperienza e, giocoforza, si leggono con lentezza e ci si deve meditare su (prima di rispondere cavolate).
P.S.: Sono moderatore di tutto il forum da più di dieci anni.
"gugo82":
Infine, mi pare anche un problema che tu non ti fidi di un docente e di ciò che egli fa, in coscienza e secondo le sue convinzioni scientifiche e pedagogiche, per tuo figlio.
Tutto ciò, questi atteggiamenti, questa sfiducia, direttamente od indirettamente, consciamente od inconsciamente, vengono trasmessi a tuo figlio e possono prendere direzioni inaspettate. Fai attenzione.
Mi unisco al monito di gugo
Denigrare gli insegnanti é costume diffuso da parte delle famiglie, il problema però é che agli occhi dei figli perde autorevolezza anche il genitore. Fra qualche anno quel genitore farà fatica a relazionarsi con un figlio abituato ad aver sempre ragione anche di fronte agli adulti di riferimento.
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