CIRCONFERENZA
Vi prego di aiutarmi a risolvere questo problema ... :( :'( Questo è il problema:
Considera una circonferenza di centro O e raggio lungo 24 cm e un punto P, esterno ad essa, tale che OP misuri 40 cm; disegna da P una tangente alla circonferenza e sia T il punto di tangenza.
Quanto misura il segmento PT ? Dovrebbe venire 32 ...
Se anche voi come me vi strapperete le membra, denunciate le prof. che danno i compiti senza spiegare niente :(
Ah ma potreste spiegare il procedimento usato ?!
Comunque grazie a chi si è contorto la testa per risolvere il problema, anche a quelli che non ci sono riusciti !! :):)
Buona fortuna
Considera una circonferenza di centro O e raggio lungo 24 cm e un punto P, esterno ad essa, tale che OP misuri 40 cm; disegna da P una tangente alla circonferenza e sia T il punto di tangenza.
Quanto misura il segmento PT ? Dovrebbe venire 32 ...
Se anche voi come me vi strapperete le membra, denunciate le prof. che danno i compiti senza spiegare niente :(
Ah ma potreste spiegare il procedimento usato ?!
Comunque grazie a chi si è contorto la testa per risolvere il problema, anche a quelli che non ci sono riusciti !! :):)
Buona fortuna
Risposte
E' molto più facile di quel che pensi. Seguendo le istruzioni del problema si ottiene questo disegno:
La retta e la circonferenza si toccano in un punto, perciò la retta è tangente. Il punto in comune, cioè T, si chiama punto di tangenza. Il triangolo OTP è un triangolo rettangolo che ha:
- come angolo retto
- come ipotenusa OP (40 cm);
- come cateto minore OT (cioè il raggio, 24 cm;
- come cateto maggiore PT, che calcoleremo ora con Pitagora.
E il gioco è fatto. :) Ricorda che quando si uniscono un punto esterno alla circonferenza, un punto di tangenza e il centro della circonferenza si ottiene sempre un triangolo rettangolo. ;)
La retta e la circonferenza si toccano in un punto, perciò la retta è tangente. Il punto in comune, cioè T, si chiama punto di tangenza. Il triangolo OTP è un triangolo rettangolo che ha:
- come angolo retto
[math]O\hat{T}P[/math]
;- come ipotenusa OP (40 cm);
- come cateto minore OT (cioè il raggio, 24 cm;
- come cateto maggiore PT, che calcoleremo ora con Pitagora.
[math]PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32\;cm[/math]
E il gioco è fatto. :) Ricorda che quando si uniscono un punto esterno alla circonferenza, un punto di tangenza e il centro della circonferenza si ottiene sempre un triangolo rettangolo. ;)
Oddio i problemi di geometria... Che brutti ricordi!xD
Strangegirl lo ha spiegato meravigliosamente!! :)
Comunque, se ti serve un programma per fare i disegni al computer come quello di strangegirl (i miei prof me l'hanno chiesto) si chiama Geogebra: è gratuito e molto semplice da usare.
Comunque, se ti serve un programma per fare i disegni al computer come quello di strangegirl (i miei prof me l'hanno chiesto) si chiama Geogebra: è gratuito e molto semplice da usare.
Io a dire il vero mi sono arrangiata con Paint! :lol
L'hai spiegato benissimo stangegirl97 ... GRAZIE .... :) :) Mi hai chiarito le idee !
Comunque ringrazio tutti !! :) :)
Comunque ringrazio tutti !! :) :)
# strangegirl97 :
Io a dire il vero mi sono arrangiata con Paint! :lol
Davvero? O.o Brava!! A me balla sempre la mano quando disegno i cerchi con paint... :lol
Scusa se ti chiedo troppo, ma avrei altri tre problemi !! Sempre se tu hai voglia di rispondere te li scrivo in ogni caso grazie :)
1. Due circonferenze sono tangenti internamente e la distanza fa i loro centri misura 12 cm. Calcola la misura dei loro raggi sapendo che so uno i 5/3 dell'altro
2.Due circonferenze, rispettivamente di centro O e raggio 10 cm e di centro 0' e raggio lungo 40 cm, sono tangenti esternamente. Disegna una tangente comune alle due circonferenze e siano M e N i punti di tangenza, che tipo di quadrilatero è OMNO ? Perché ? Calcolane il raggio, il perimetro e l'area.
3.Due circonferenze di centro O e O' sono secanti nei punti A e B e i loro raggi OA e O'A sono perpendicolari sapendo che la corda comune a AB misura 48 cm e divide il segmento OO', lungo 50 cm, in due parti una i 16/9 dell'altra calcola la misura dei due raggi.
Non so se siano troppo complicati, ma io non sono riuscita a risolverli comunque GRAZIE !!
1. Due circonferenze sono tangenti internamente e la distanza fa i loro centri misura 12 cm. Calcola la misura dei loro raggi sapendo che so uno i 5/3 dell'altro
2.Due circonferenze, rispettivamente di centro O e raggio 10 cm e di centro 0' e raggio lungo 40 cm, sono tangenti esternamente. Disegna una tangente comune alle due circonferenze e siano M e N i punti di tangenza, che tipo di quadrilatero è OMNO ? Perché ? Calcolane il raggio, il perimetro e l'area.
3.Due circonferenze di centro O e O' sono secanti nei punti A e B e i loro raggi OA e O'A sono perpendicolari sapendo che la corda comune a AB misura 48 cm e divide il segmento OO', lungo 50 cm, in due parti una i 16/9 dell'altra calcola la misura dei due raggi.
Non so se siano troppo complicati, ma io non sono riuscita a risolverli comunque GRAZIE !!
Ok, finisco di rispondere ad un'altra domanda e ci provo. ;) Il primo so già che lo riuscirò a risolvere, gli altri non li ho letti. Comunque la prossima volta apri un'altra domanda, non postare qui. ;)
Scusami Churra, ma ho appena finito di guardare le domande nel forum e mi sono imbattuta in queste nuove... potresti gentilmente indicarmi per che classe sono? Perchè io nn li ho fatti, però se fanno parte del programma di terza media posso cercare sul libro e vedere se ti posso aiutare (sempre nel caso in cui il genio matematico di strangegirl non fosse disponibile!:);))
Aggiunto 1 minuto più tardi:
A no, è disponibile! :)
Aggiunto 1 minuto più tardi:
A no, è disponibile! :)
# strangegirl97 :
Io a dire il vero mi sono arrangiata con Paint! :lol
Paint è il programma migliore di WindowsxD
Primo problema
Due circonferenze sono tangenti internamente quando la più piccola si trova all'interno dell'altra e hanno un punto in comune, come in questo caso:
Ora disegniamo i due raggi:
O|---|---|---|---|---|A
O'|---|---|---|A
Come vedi, OA è stato diviso in 5 parti uguali (le unità frazionarie) e O'A è formato da 3 di queste parti. Infatti dobbiamo ricordare che i due raggi sono uno i 5/3 dell'altro. Inoltre devi sapere che nelle circonferenze tangenti esternamente la distanza tra i centri coincide con la differenza dei raggi. Da quante unità frazionarie sarà formata la differenza tra i raggi? Ovviamente da due, perché 5 - 3 = 2.
Sapendo che la differenza tra i raggi è formata da 2 unità frazionarie ed è lunga 12 cm possiamo calcolare l'unità frazionaria:
uf = cm 12 : 2 = 6 cm
Perciò:
OA = uf * 5 = cm 6 * 5 = 30 cm
O'A = uf * 3 = cm 6 * 3 = 18 cm
Se vuoi puoi anche usare la proprietà dello scomporre delle proporzioni, io per spiegare uno questo metodo perché è più intuitivo. ;) A breve arriveranno gli altri due.
Due circonferenze sono tangenti internamente quando la più piccola si trova all'interno dell'altra e hanno un punto in comune, come in questo caso:
Ora disegniamo i due raggi:
O|---|---|---|---|---|A
O'|---|---|---|A
Come vedi, OA è stato diviso in 5 parti uguali (le unità frazionarie) e O'A è formato da 3 di queste parti. Infatti dobbiamo ricordare che i due raggi sono uno i 5/3 dell'altro. Inoltre devi sapere che nelle circonferenze tangenti esternamente la distanza tra i centri coincide con la differenza dei raggi. Da quante unità frazionarie sarà formata la differenza tra i raggi? Ovviamente da due, perché 5 - 3 = 2.
Sapendo che la differenza tra i raggi è formata da 2 unità frazionarie ed è lunga 12 cm possiamo calcolare l'unità frazionaria:
uf = cm 12 : 2 = 6 cm
Perciò:
OA = uf * 5 = cm 6 * 5 = 30 cm
O'A = uf * 3 = cm 6 * 3 = 18 cm
Se vuoi puoi anche usare la proprietà dello scomporre delle proporzioni, io per spiegare uno questo metodo perché è più intuitivo. ;) A breve arriveranno gli altri due.
Strangegirl, come mai nn c'è più il pulsante "vota come migliore" sul tuo post?
Comunque, se ci fosse, fidati che ti avrei votato!
Comunque, se ci fosse, fidati che ti avrei votato!
Forse è già stata votata come migliore ma non è ancora apparso^^
Se mi hai già votata in questa domanda non lo puoi più fare susannina.
Comunque questo è il secondo. Due circonferenze sono tangenti esternamente se sono esterne l'una rispetto all'altra ed hanno un punto in comune.
Come vedi seguendo le istruzioni del problema abbiamo ottenuto un trapezio rettangolo, perché tracciando i segmenti OM ed O'N otteniamo dei segmenti perpendicolari ad OO'. Il quadrilatero che si ottiene ha quindi 2 angoli retti compresi tra le basi ed OO' (cioè l'altezza) ed un lato obliquo...cos'altro può essere, se non un trapezio rettangolo?
Ora dobbiamo calcolare le misure dei diversi lati per ottenere il perimetro.
OM = 10 cm
O'N = 40 cm
OO' = cm 10 + 40 cm = 50 cm (nelle circonferenze tangenti esternamente la distanza tra i centri corrisponde alla somma dei raggi)
Per MN invece ci serve il teorema di Pitagora. Immagina di tracciare un'altezza del triangolo che parte da M per arrivare sulla base maggiore O'N. Otterrai un triangolo rettangolo che ha:
- come cateto maggiore l'altezza (50 cm):
-come cateto minore la differenza tra le basi (30 cm);
- come ipotenusa MN, cioè il lato obliquo.
Applichiamo Pitagora:
Il risultato è approssimato.
Dopodiché puoi calcolare perimetro ed area, le formule di sicuro le sai. ;)
Per "raggio" francamente non ho capito bene cosa intende il problema...ci rifletterò su, ma per il momento non penso di poter dare una risposta. Ho le idee un po' confuse...
Aggiunto 49 minuti più tardi:
La mia lotta con il terzo problema è finita! :D Ecco il disegno:
Il problema ci dice che la corda AB divide OO' in due parti che sono una i 16/9 dell'altra. Disegniamole:
O|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|C
C|--|--|--|--|--|--|--|--|--|O'
Ora costruiamo la somma:
O|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|C|--|--|--|--|--|--|--|--|--|O' = 50 cm
In tutto il segmento OO' sarà formato da 25 unità frazionarie, perché 16+9 = 25. Calcoliamo la misura di ognuna:
uf = OO' : 25 = cm 50 : 25 = 2 cm
Quindi:
OC = uf * 16 = cm 2 * 16 = 32 cm
CO' = uf * 9 = cm 2 * 9 = 18 cm
A questo punto si può procedere in due modi diversi:
1) teorema di Pitagora
Puoi facilmente notare che OO' divide a metà AB. Ogni metà misurerà 24 cm. Guardando bene noti anche che OCA e O'CA sono triangoli rettangoli. Consideriamo il primo. Sappiamo che:
OC = 32 cm
AC = 24 cm
OA = ?
Come calcolare OA? Basta applicare il teorema di Pitagora! ;) Devi ottenere 40 cm come risultato. Dopodiché farai lo stesso con O'CB. Ti verrà 30 cm.
2) Primo teorema di Euclide
Anche OO'A è un triangolo rettangolo però, perché i raggi sono perpendicolari. Il triangolo ha:
- come ipotenusa OO' (50 cm);
- come cateto maggiore OA;
- come cateto minore O'A.
Devi sapere che in un triangolo rettangolo se dividi l'ipotenusa per un cateto e quello stesso cateto per la sua proiezione ottieni lo stesso risultato. Nel nostro caso:
Per calcolare O'A seguirai lo stesso procedimento. Non abbiamo fatto altro che applicare il primo teorema di Euclide. A dire il vero non ho detto la regola con le stesse parole con cui viene enunciata di solito, ma era per rendere la spiegazione più semplice. ;) Comunque se la professoressa non spiega mai ti consiglio di cercare di studiare la matematica da sola o con l'aiuto di qualcuno (un'amica, un parente, un'insegnante privato...) perché hai bisogno comunque di buone basi per l'esame di terza media e per le scuole superiori. Ricorda sempre che se non capisci qualcosa puoi guardare tra gli appunti del sito e se lì non trovi niente c'è sempre il forum. :) Ciao! :hi
Comunque questo è il secondo. Due circonferenze sono tangenti esternamente se sono esterne l'una rispetto all'altra ed hanno un punto in comune.
Come vedi seguendo le istruzioni del problema abbiamo ottenuto un trapezio rettangolo, perché tracciando i segmenti OM ed O'N otteniamo dei segmenti perpendicolari ad OO'. Il quadrilatero che si ottiene ha quindi 2 angoli retti compresi tra le basi ed OO' (cioè l'altezza) ed un lato obliquo...cos'altro può essere, se non un trapezio rettangolo?
Ora dobbiamo calcolare le misure dei diversi lati per ottenere il perimetro.
OM = 10 cm
O'N = 40 cm
OO' = cm 10 + 40 cm = 50 cm (nelle circonferenze tangenti esternamente la distanza tra i centri corrisponde alla somma dei raggi)
Per MN invece ci serve il teorema di Pitagora. Immagina di tracciare un'altezza del triangolo che parte da M per arrivare sulla base maggiore O'N. Otterrai un triangolo rettangolo che ha:
- come cateto maggiore l'altezza (50 cm):
-come cateto minore la differenza tra le basi (30 cm);
- come ipotenusa MN, cioè il lato obliquo.
Applichiamo Pitagora:
[math]MN = \sqrt{50^2 + 30^2} = \sqrt{2500 + 900} = \sqrt{3400} = 58,3\; cm[/math]
Il risultato è approssimato.
Dopodiché puoi calcolare perimetro ed area, le formule di sicuro le sai. ;)
Per "raggio" francamente non ho capito bene cosa intende il problema...ci rifletterò su, ma per il momento non penso di poter dare una risposta. Ho le idee un po' confuse...
Aggiunto 49 minuti più tardi:
La mia lotta con il terzo problema è finita! :D Ecco il disegno:
Il problema ci dice che la corda AB divide OO' in due parti che sono una i 16/9 dell'altra. Disegniamole:
O|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|C
C|--|--|--|--|--|--|--|--|--|O'
Ora costruiamo la somma:
O|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|C|--|--|--|--|--|--|--|--|--|O' = 50 cm
In tutto il segmento OO' sarà formato da 25 unità frazionarie, perché 16+9 = 25. Calcoliamo la misura di ognuna:
uf = OO' : 25 = cm 50 : 25 = 2 cm
Quindi:
OC = uf * 16 = cm 2 * 16 = 32 cm
CO' = uf * 9 = cm 2 * 9 = 18 cm
A questo punto si può procedere in due modi diversi:
1) teorema di Pitagora
Puoi facilmente notare che OO' divide a metà AB. Ogni metà misurerà 24 cm. Guardando bene noti anche che OCA e O'CA sono triangoli rettangoli. Consideriamo il primo. Sappiamo che:
OC = 32 cm
AC = 24 cm
OA = ?
Come calcolare OA? Basta applicare il teorema di Pitagora! ;) Devi ottenere 40 cm come risultato. Dopodiché farai lo stesso con O'CB. Ti verrà 30 cm.
2) Primo teorema di Euclide
Anche OO'A è un triangolo rettangolo però, perché i raggi sono perpendicolari. Il triangolo ha:
- come ipotenusa OO' (50 cm);
- come cateto maggiore OA;
- come cateto minore O'A.
Devi sapere che in un triangolo rettangolo se dividi l'ipotenusa per un cateto e quello stesso cateto per la sua proiezione ottieni lo stesso risultato. Nel nostro caso:
[math]OO' : OA = OA : AC\\
50 : OA = OA : 32\\
OA = \sqrt{50*32} = \sqrt{1600} = 40\;cm[/math]
50 : OA = OA : 32\\
OA = \sqrt{50*32} = \sqrt{1600} = 40\;cm[/math]
Per calcolare O'A seguirai lo stesso procedimento. Non abbiamo fatto altro che applicare il primo teorema di Euclide. A dire il vero non ho detto la regola con le stesse parole con cui viene enunciata di solito, ma era per rendere la spiegazione più semplice. ;) Comunque se la professoressa non spiega mai ti consiglio di cercare di studiare la matematica da sola o con l'aiuto di qualcuno (un'amica, un parente, un'insegnante privato...) perché hai bisogno comunque di buone basi per l'esame di terza media e per le scuole superiori. Ricorda sempre che se non capisci qualcosa puoi guardare tra gli appunti del sito e se lì non trovi niente c'è sempre il forum. :) Ciao! :hi
# strangegirl97 :
Se mi hai già votata in questa domanda non lo puoi più fare susannina.
Peccato! :( Te lo saresti meritato!
risolto l'arcano O.O
GRAZIE SEI FANTASTICA !!
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