Aiuto URGENTISSIMO VI PREGO!

[Ajax]

Salve gente! Sono appena tornato dall'ASL per un controllo e non ho avuto il tempo di eseguire geometria, mi date una mano?
Preciso che il migliore verrà ricompensato col massimo dei voti + 5 domande stella + pollice in su.

1 Un parallelepipedo rettangolo P ha le dimensioni di 15 cm, 20 cm e 60 cm. Una piramide regolare quadrangolare P' è equivalente ai 3/5 di P ed ha l'altezza di 36 cm.Calcola la diagonale del parallelepipedo e l'apotema della piramide.
Risultati 65 cm ; 39 cm.

2 Una piramide regolare quadrangolare P ha lo spigolo della base di 30 cm e l'area della superficie laterale di 2340 cm . Calcola la diagonale e l'area della superficie laterale di un parallelepipedo rettangolo P' che è equivalente ai 5/4 di P ed ha le dimensioni di base lunghe 18 e 30 cm.
Risultati 43 cm : 2400 cm quadrati

[Ali Q]

Soluzioni:

1) Un parallelepipedo rettangolo P ha le dimensioni di 15 cm, 20 cm e 60 cm. Una piramide regolare quadrangolare P' è equivalente ai 3/5 di P ed ha l'altezza di 36 cm.Calcola la diagonale del parallelepipedo e l'apotema della piramide.

Calcoliamo la diagonale di base del parallelepipedo utilizzando il teorema di Pitagora. Essa è infatti l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti i lati del rettangolo di base del parallelepipedo.
d

[math] = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25 cm[/math]

Determiniamo ora la diagonale del parallelepipedo.
Essa è l'ipotenusa di un traingolo rettangolo che ha per cateti l'altezza del parallelepipedo (60 cm) e la diagonale di base (25 cm).
Utilizzo nuovamente il teorema di Pitagora:
D

[math] = \sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} =\sqrt{4225} = 65 cm[/math]

Veniamo alla piramide.
Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume. Calcoliamo duqnue il volume del parallelepipedo.

[math]V (parallelepipedo) = 15*20*60 = 18000 cm^3[/math]

I 3/5 di questo valore rappresentano il volume della piramide:

[math]V (piramide) = V(pallelepiepdo)*3/5 = 18000 * 3/5 = 10800 cm^3[/math]

Il volume della piramide è pari a:

[math]V (pir) = Area base * altezza/3[/math]

Quindi

[math]Area base = V*3/altezza = 10800*3/36 = 900[/math]

Poichè la base è un quadrato, e nel quadrato

[math]Area = l^2[/math]

, possimao ricavare il lato del quadrato di base:

[math]l= \sqrt{900} = 30 cm[/math]

Ora, nella piramide l'apotema è l'ipotenusa di un traingolo che ha per cateti l'altezza (

[math]36 cm[/math]

) e l'apotema di base. Nel quadrato l'apoetma di base è pari a metà del lato (quindi

[math]30:2 = 15 cm[/math]

)
Applico ancora una volta il teorema di Pitagora:

[math]a = \sqrt{36^2 + 15^2}= \sqrt{1296 + 225}= \sqrt{1521}= 39 cm[/math]

2) Una piramide regolare quadrangolare P ha lo spigolo della base di 30 cm e l'area della superficie laterale di 2340 cm . Calcola la diagonale e l'area della superficie laterale di un parallelepipedo rettangolo P' che è equivalente ai 5/4 di P ed ha le dimensioni di base lunghe 18 e 30 cm.

Calcoliamo il volume della piramide.

[math]Area base = l^2 = 30^2 = 900 cm^2[/math]

L'area della superficie laterale nella piramide è pari a:

[math]Perimetro * apotema/2[/math]

Quindi

[math]apotema = Area(lat)*2 /Perimetro = 2340*2/(4*30) = 39 cm[/math]

Nella piramide l'apotema è l'ipotenusa di un triangolo che ha per cateti l'altezza (

[math]h[/math]

) e l'apotema di base. Nel quadrato l'apotema di base è pari a metà del lato (quindi

[math]30:2 = 15 cm[/math]

)
Applico il teorema di Pitagora per trovare

[math]h[/math]

:

[math]a = \sqrt{39^2 + 15^2}= 36 cm[/math]

[math]V(piramide) = Area base*altezza/3 = 900*36/3 = 10800 cm^3[/math]

Il volume del parallelepipedo è pari ai 5/4 di questo valore:

[math]V (parallelepipedo) V (pir) * 5/4 = 10800*5/4 = 13500 cm^3[/math]

Note le dimensioni di base, posso ricavare l'altezza:

[math]V = b*l*h[/math]

[math]h = V/(b*l) = 13500/(18*30) = 25 cm[/math]

Calcoliamo la diagonale di base del parallelepipedo utilizzando il teorema di Pitagora. Essa è infatti l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti i lati del rettangolo di base del parallelepipedo.
d

[math] = \sqrt{18^2 + 30^2} =\sqrt{324 + 900} = \sqrt{1224} =35 cm (circa)[/math]

Determiniamo ora la diagonale del parallelepipedo.
Essa è l'ipotenusa di un traingolo rettangolo che ha per cateti l'altezza del parallelepipedo (25 cm) e la diagonale di base (35 cm).
Utilizzo nuovamente il teorema di Pitagora:
D

[math] = \sqrt{35^2 + 25^2} = \sqrt{1225 + 625} =\sqrt{1850} = 43 cm[/math]

[math]A lat = 2*h* (b+l) = 2*25* (18+30)= 2*25*48 = 2400 cm^2[/math]

Fine esercizio. Ciao!