V Postulato di Euclide. Dimostrazione Impossibile?
Sto studiando una delle ultime materie, Storia della Matematica, veramente bella ed affascinante.
Chiaramente si studiano gli Elementi di Euclide, all'interno di questi suscita particolare attenzione il V Postulato la cui dimostrazione ha impegnato i matematici per migliaia di anni. E quindi ho osservato questo postulato con grande attenzione misto a fascino.
In testa studiando mi è balenata una possibile dimostrazione, che so già essere sbagliata ma non trovo l'errore logico, pertanto chiedo a voi dove sto sbagliando nei passaggi.
Euclide era molto disturbato da questo postulato perchè non lo riteneva essere appunto un postulato, pertanto evita di utilizzarlo sino alla $28°$ proposizione, in particolare alla $13°$ proposizione dimostra che due angoli, comunque presi, interni di un triangolo sono inferiori a due retti.
Il $V$ postulato afferma che se una retta cade su altre due rette e da una parte forma angoli interni minori di due retti, le due rette venendo prolungate illimitatamente si incontreranno in punto dal lato in cui gli angoli sono minori di due retti.
Ora io pensavo, supponiamo per assurdo che esista un punto $p$ in cui le due rette (chiamiamole) $a$ e $b$ si incontrano dal lato in cui gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, siano inoltre $c$ e $d$ i punti in cui la retta che cade sopra incontra $a$ e $b$. Si viene a formare il triangolo $pcd$, ma la proposizione $13$ dice che comunque presi due angoli interni al triangolo questi sono inferiori a due retti. Assurdo perchè avevamo detto che il punto $p$ si trovava dal lato in cui gli angoli erano maggiori o uguali a due retti.
Non riesco a capire dove sto sbagliando.
Suggerimenti.
Grazie.
Chiaramente si studiano gli Elementi di Euclide, all'interno di questi suscita particolare attenzione il V Postulato la cui dimostrazione ha impegnato i matematici per migliaia di anni. E quindi ho osservato questo postulato con grande attenzione misto a fascino.
In testa studiando mi è balenata una possibile dimostrazione, che so già essere sbagliata ma non trovo l'errore logico, pertanto chiedo a voi dove sto sbagliando nei passaggi.
Euclide era molto disturbato da questo postulato perchè non lo riteneva essere appunto un postulato, pertanto evita di utilizzarlo sino alla $28°$ proposizione, in particolare alla $13°$ proposizione dimostra che due angoli, comunque presi, interni di un triangolo sono inferiori a due retti.
Il $V$ postulato afferma che se una retta cade su altre due rette e da una parte forma angoli interni minori di due retti, le due rette venendo prolungate illimitatamente si incontreranno in punto dal lato in cui gli angoli sono minori di due retti.
Ora io pensavo, supponiamo per assurdo che esista un punto $p$ in cui le due rette (chiamiamole) $a$ e $b$ si incontrano dal lato in cui gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, siano inoltre $c$ e $d$ i punti in cui la retta che cade sopra incontra $a$ e $b$. Si viene a formare il triangolo $pcd$, ma la proposizione $13$ dice che comunque presi due angoli interni al triangolo questi sono inferiori a due retti. Assurdo perchè avevamo detto che il punto $p$ si trovava dal lato in cui gli angoli erano maggiori o uguali a due retti.
Non riesco a capire dove sto sbagliando.
Suggerimenti.
Grazie.
Risposte
Forse che tu dai per scontato che si incontrino. Così avresti solo dimostrato che non si possono incontrare dall'altro lato
"kobeilprofeta":
Forse che tu dai per scontato che si incontrino. Così avresti solo dimostrato che non si possono incontrare dall'altro lato
Beh, puoi sempre riformulare il $V$ postulato dicendo che la tesi è che le due rette non si incontreranno dal lato in cui gli angoli sono maggiori di due retti e quindi procedere per assurdo affermando che invece si incontrano.
In ogni caso, avresti sempre dimostrato il fatto che se vuoi che due rette si incontrino gli angoli devono essere minori di due retti, che è la tesi del $V$ postulato.
Per me rimane ancora valida quell'impostazione. Penso che il problema sia da qualche parte, ma non riesco a capire dove.
Il problema della tua impostazione è che postulare l'assenza di parallele produce in effetti una geometria incoerente, perché è possibile dimostrare, usando gli altri assiomi di Hilbert (quelli di Euclide hanno vari problemi ben peggiori di introdurre il V postulato), che le rette parallele per un punto esistono. Quindi la geometria ellittica richiede che vengano cambiati gli altri assiomi per essere coerente. Il tuo problema è che ciò che non può essere dimostrato è che si incontrano per forza dall'altro lato (rispetto a quello che tu prendi in considerazione).
Sinceramente io sconsiglierei di studiare troppo su Euclide e passerei a libri scritti dopo Hilbert.
Sinceramente io sconsiglierei di studiare troppo su Euclide e passerei a libri scritti dopo Hilbert.
Ringrazio, Sergio e Vict85 per i preziosi consigli e letture.
Tra l'altro vuoi per curiosità vuoi perchè il programma di questa materia è praticamente basato sulla confutazione del V postulato e la nascita delle geometrie non euclidee, sono andato avanti nella comprensione del problema. Tuttavia permangono ancora dei dubbi, che vorrei esporvi e sui quali vorrei approfondire.
Effettivamente con il tentativo di dimostrazione assurdo che ho enunciato (che poi è un tentativo banale come tanti) si dimostra che se gli angoli che si formano sono maggiori o eguali a $90°$ allora le rette certamente non si incontreranno. (quando mi riferisco agli angoli mi sto riferendo a quelli creati da una ipotetica 3° retta che cade sulle altre due)
Ora posto questo risultato ci si chiede il $V$ postulato è equivalente a dimostrare che se gli angoli sono maggioi o uguali a $90°$ le rette non si incontrano.? Si e No, tra l'altro questo aspetto è proprio citato in un passaggio della lettura consigliata da Sergio e che riporto:
"Euclid did not postulate the converse of his fifth postulate, which is one way to distinguish Euclidean geometry from elliptic geometry. The Elements contains the proof of an equivalent statement (Book I, Proposition 27): If a straight line falling on two straight lines make the alternate angles equal to one another, the straight lines will be parallel to one another. As De Morgan[19] pointed out, this is logically equivalent to (Book I, Proposition 16). These results do not depend upon the fifth postulate, but they do require the second postulate[20] which is violated in elliptic geometry."
Passi il fatto che la dimostrazione che due rette che hanno angoli interni uguali non si incontrano, non sia equivalente a dimostrare che si incontrano laddove sono minori di due retti, cioè che non riusciamo a dimostrare il $V$ postulato
Ma ciò che veramente non riesco a capire è la seguente consecutio logica. Una delle geometrie non euclidee quella sferica (cito questa perchè l'esempio è evidente) http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_sferica, supera il problema del $V$ postulato ed è evidente che nonostante gli angoli siano uguali a $90°$ le rette si incontrano in un punto. (nel link c'è subito un esempio)
Ma non si era dimostrato senza utilizzare il $V$ postulato che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti le rette non si incontrano?
Se i primi quattro postulati valgono in ogni geometria e grazie a questi si dimostra che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, le rette non si incontrano come possono le altre geometrie superare questo problema che si è dimostrato indipendentemente dal $V$ non superabile?
Tra l'altro vuoi per curiosità vuoi perchè il programma di questa materia è praticamente basato sulla confutazione del V postulato e la nascita delle geometrie non euclidee, sono andato avanti nella comprensione del problema. Tuttavia permangono ancora dei dubbi, che vorrei esporvi e sui quali vorrei approfondire.
Effettivamente con il tentativo di dimostrazione assurdo che ho enunciato (che poi è un tentativo banale come tanti) si dimostra che se gli angoli che si formano sono maggiori o eguali a $90°$ allora le rette certamente non si incontreranno. (quando mi riferisco agli angoli mi sto riferendo a quelli creati da una ipotetica 3° retta che cade sulle altre due)
Ora posto questo risultato ci si chiede il $V$ postulato è equivalente a dimostrare che se gli angoli sono maggioi o uguali a $90°$ le rette non si incontrano.? Si e No, tra l'altro questo aspetto è proprio citato in un passaggio della lettura consigliata da Sergio e che riporto:
"Euclid did not postulate the converse of his fifth postulate, which is one way to distinguish Euclidean geometry from elliptic geometry. The Elements contains the proof of an equivalent statement (Book I, Proposition 27): If a straight line falling on two straight lines make the alternate angles equal to one another, the straight lines will be parallel to one another. As De Morgan[19] pointed out, this is logically equivalent to (Book I, Proposition 16). These results do not depend upon the fifth postulate, but they do require the second postulate[20] which is violated in elliptic geometry."
Passi il fatto che la dimostrazione che due rette che hanno angoli interni uguali non si incontrano, non sia equivalente a dimostrare che si incontrano laddove sono minori di due retti, cioè che non riusciamo a dimostrare il $V$ postulato
Ma ciò che veramente non riesco a capire è la seguente consecutio logica. Una delle geometrie non euclidee quella sferica (cito questa perchè l'esempio è evidente) http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_sferica, supera il problema del $V$ postulato ed è evidente che nonostante gli angoli siano uguali a $90°$ le rette si incontrano in un punto. (nel link c'è subito un esempio)
Ma non si era dimostrato senza utilizzare il $V$ postulato che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti le rette non si incontrano?
Se i primi quattro postulati valgono in ogni geometria e grazie a questi si dimostra che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, le rette non si incontrano come possono le altre geometrie superare questo problema che si è dimostrato indipendentemente dal $V$ non superabile?
"emanuele78":
Se i primi quattro postulati valgono in ogni geometria e grazie a questi si dimostra che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, le rette non si incontrano come possono le altre geometrie superare questo problema che si è dimostrato indipendentemente dal $V$ non superabile?
Come già detto prima la geometria sferica fa delle modifiche anche agli altri assiomi. Ma vorrei anche puntualizzare nuovamente sul fatto che dovresti davvero buttare quei 4 postulati nel cestino e leggerti una assiomatizzazione seria (non che i geometri moderni si occupino più di tanto di geometria sintetica). Non è una questione di preferenza, è che gli assiomi di Euclide hanno molte falle. Anche le varie dimostrazioni che seguono non sempre sono formalmente corrette. Tieni conto che la prima falla la conosceva persino già Archimede (assiomi di continuità).
"vict85":
[quote="emanuele78"]Se i primi quattro postulati valgono in ogni geometria e grazie a questi si dimostra che se gli angoli sono maggiori o uguali a due retti, le rette non si incontrano come possono le altre geometrie superare questo problema che si è dimostrato indipendentemente dal $V$ non superabile?
Come già detto prima la geometria sferica fa delle modifiche anche agli altri assiomi. Ma vorrei anche puntualizzare nuovamente sul fatto che dovresti davvero buttare quei 4 postulati nel cestino e leggerti una assiomatizzazione seria (non che i geometri moderni si occupino più di tanto di geometria sintetica). Non è una questione di preferenza, è che gli assiomi di Euclide hanno molte falle. Anche le varie dimostrazioni che seguono non sempre sono formalmente corrette. Tieni conto che la prima falla la conosceva persino già Archimede (assiomi di continuità).[/quote]
quello della continuità è un problema pure fatto osservare dal professore, ma ho visto che lo riportano altri.
Però dagli appunti che gentilmente mi hanno dato (essendo uno studente lavoratore non frequento), il professore o sarebbe meglio dire professoressa, fa una netta distinzione tra le prime 28 proposizioni e la 31 che sono dimostrate senza il $V$ postulato e le altre. Ora secondo gli appunti Lei afferma che quelli dimostrati senza il $V$ sono da considerarsi come afferenti alla Geometria Assoluta, ne segue che dovrebbero essere validi in tutte le geometrie, mentre quelli che utilizzando il $V$ postulato sono afferenti alla Geometria Euclidea.
Da ciò che invece mi sembra di capire, tu affermi che (a prescindere da una correttezza formale) i 4 postulati non sono validi nella formulazione di Euclide nelle altre Geometrie Non Euclidee.
Qualcuno sta sbagliando nel dirmi qualcosa
Effettivamente da Wikipedia alla voce Geometria Non Euclidea, si legge subito che questa scaturisce dal non accettare o negare alcuni postulati euclidei e quindi non solo il $V$, http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea, questo significa due cose:
1) Non esiste una geometria assoluta;
2) La Professoressa ha sbagliato
Francamente non so cosa sia peggio
. Purtroppo non posso buttarli quei 4 postulati (nei fatti lo sto facendo arrivandoci da solo e grazie ai vostri consigli) perchè sono oggetto dell'Esame. Forse mi farò una materia a scelta che si chiama Fondamenti. Adesso ho questa e Geometria 2 (Pesante)
PS.
Hai citato Archimede, davvero impressionante il suo lavoro. Ho letto il Metodo Meccanico, unisce concetti di Matematica e Fisica Matematica con una limpidezza stupefacente, per non parlare della approssimazione di Pi-Greco. Praticamente pone le basi del concetto di Limite e quindi dell'Analisi Matematica.
"emanuele78":
Effettivamente da Wikipedia alla voce Geometria Non Euclidea, si legge subito che questa scaturisce dal non accettare o negare alcuni postulati euclidei e quindi non solo il $V$, http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea, questo significa due cose:
1) Non esiste una geometria assoluta;
2) La Professoressa ha sbagliato
Francamente non so cosa sia peggio
Purtroppo non posso buttarli quei 4 postulati (nei fatti lo sto facendo arrivandoci da solo e grazie ai vostri consigli) perchè sono oggetto dell'Esame. Forse mi farò una materia a scelta che si chiama Fondamenti. Adesso ho questa e Geometria 2 (Pesante)
La geometria assoluta esiste ed è la geometria euclidea senza il V postulato. Geometria Euclidea e Iperbolica ne sono una specializzazione. La professoressa quindi non sbaglia, semplicemente la geometria ellittica non si basa sulla geometria assoluta. Tieni conto che la geometrie proiettive e affini hanno anche loro una assiomatizzazione.
Quello che intendo dire è che se vuoi studiarti seriamente la geometria sintetica devi usare e studiare da libri più moderni e formalmente più corretti. Mentre se studi il punto di vista storico è diverso ma dovresti studiarli nella consapevolezza dei limiti della trattazione usata. Siccome immagino tu stia studiando storia usare i postulati è ok, ma se vuoi andare a lavorare su questi concetti in modo serio allora devi rafforzare la tua impostazione logica e studiare perché gli assiomi di Hilbert sono stati introdotti in quel modo.
Dovresti comunque ragionare un po' sul concetto di assioma. Anche se probabilmente il tuo problema consiste nel comprendere che cosa sia una "geometria". La domanda penso sia tutt'altro che banale.
il problema, come hai correttamente formulato, si concretizza in ultima analisi nel definire cosa sia Geometria.
Perchè, consentimi, se i primi 4 postulati definiscono una Geometria Assoluta, allora sono validi anche nelle altre, compresa quella ellittica. E credo non sia sufficiente dire che quella Ellittica sia altra Geometria, perchè l'aggettivo Assoluta definisce un concetto Ab Origine che viene prima e quindi è valido Erga Omnes.
Pertanto delle due l'una:
1) Ho quella definita dai primi 4 postulati è una Geometria diversa ma comunque non Assoluta e si è sbagliato a chiamarla così,
oppure
2) Quella Ellittica è una Geometria sbagliata.
Ovviamente opto per la 1° delle due opzioni.
Perchè, consentimi, se i primi 4 postulati definiscono una Geometria Assoluta, allora sono validi anche nelle altre, compresa quella ellittica. E credo non sia sufficiente dire che quella Ellittica sia altra Geometria, perchè l'aggettivo Assoluta definisce un concetto Ab Origine che viene prima e quindi è valido Erga Omnes.
Pertanto delle due l'una:
1) Ho quella definita dai primi 4 postulati è una Geometria diversa ma comunque non Assoluta e si è sbagliato a chiamarla così,
oppure
2) Quella Ellittica è una Geometria sbagliata.
Ovviamente opto per la 1° delle due opzioni.
Il termine geometria assoluta è improprio e autori, come per esempio Greenberg, non usano quel termine. Lui parla di geometria naturale. In ogni caso è ormai decisamente riduttivo considerare geometria solo quello che ha fatto Euclide e le limitate generalizzazioni assiomatiche che si sono fatte. Ora rientrano nella geometria oggetti decisamente poco ‘geometrici’.
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