Sui teoremi di Rolle, Lagrange,Cauchy
Una domanda , storicamente in che ordine cronologico sono stati scoperti questi fondamentali teoremi?
Dai pochi testi che ho letto, sembrerebbe che il primo a comparire sia stato Rolle, dopo Lagrange, ed infine Cauchy, ma
potrebbe trattarsi solo una convenienza didattica, visto che supponendo vero uno dei tre si possono far discendere i rimanenti due, a mio parere, Cauchy deve sicuramente seguire Lagrange, in quanto puo' essere visto come una generalizzazione di quest'ultimo, dove la funzione ausiliaria e' costruita come combinazione lineare delle funzioni date $f (x) $ ed $g (x) $, da cui ponendo $g(x) =x $ se non erro, si ricava
Lagrange, che ha una evidente giustificazione geometrica, una cosa e' indubbia sicuramente l'intuizione di Cauchy e' stata notevole visto che la funzione ausiliaria non può essere ricavata da semplici considerazione geometriche, ma richiede un maggior grado di astrazione, inoltre ha dei risvolti considerevoli visto che la sua applicazione ed successiva iterazione conduce alla dimostrazione dei vari teoremi di Hopital, ed alla importantissima formula di Taylor
di Taylor, che ne pensate?
Dai pochi testi che ho letto, sembrerebbe che il primo a comparire sia stato Rolle, dopo Lagrange, ed infine Cauchy, ma
potrebbe trattarsi solo una convenienza didattica, visto che supponendo vero uno dei tre si possono far discendere i rimanenti due, a mio parere, Cauchy deve sicuramente seguire Lagrange, in quanto puo' essere visto come una generalizzazione di quest'ultimo, dove la funzione ausiliaria e' costruita come combinazione lineare delle funzioni date $f (x) $ ed $g (x) $, da cui ponendo $g(x) =x $ se non erro, si ricava
Lagrange, che ha una evidente giustificazione geometrica, una cosa e' indubbia sicuramente l'intuizione di Cauchy e' stata notevole visto che la funzione ausiliaria non può essere ricavata da semplici considerazione geometriche, ma richiede un maggior grado di astrazione, inoltre ha dei risvolti considerevoli visto che la sua applicazione ed successiva iterazione conduce alla dimostrazione dei vari teoremi di Hopital, ed alla importantissima formula di Taylor
di Taylor, che ne pensate?
Risposte
Per sapere l'ordine cronologico dei teoremi basta vedere le date di nascita e di morte dei 3
Rolle 1652-1719
Lagrange 1736 - 1813
Cauchy 1789 - 1857
Tra l'altro Cauchy fu anche allievo di Lagrange.
Rolle 1652-1719
Lagrange 1736 - 1813
Cauchy 1789 - 1857
Tra l'altro Cauchy fu anche allievo di Lagrange.
Un po' di storia.
Il cosiddetto teorema di Rolle fu dimostrato da Michel Rolle nel 1691 [1].
L'intenzione era quella di mostrare con tecniche algebriche che tra due radici consecutive di un polinomio giace sempre almeno una radice del polinomio derivato; questo è di grande aiuto nello studio delle equazioni algebriche, poiché consente di capire in quali intervalli localizzare gli zeri di un polinomio di grado $n$ una volta che siano noti gli zeri del polinomio derivato (che ha grado $n-1$!).
La dimostrazione originale non usava i metodi del Calcolo Infinitesimale (che Rolle credeva fallaci in quel periodo della sua vita) e copriva solo il caso delle funzioni polinomiali.
Fu Cauchy, dopo aver fondato le basi del Calcolo sulla definizione di limite, a dimostrare nel 1823 il teorema nel caso generale, facendolo discendere dal teorema di Lagrange come corollario [2].
Il nome "teorema di Rolle" fu imposto a questo risultato da manualisti tedeschi [3] ed italiani [4] nel secondo quarto del 1800.
La dimostrazione che viene proposta di solito nei testi moderni (e che fa uso del teorema di Fermat) è di Ulisse Dini [5].
Il teorema del valor medio di Lagrange, invece, è stato sicuramente dimostrato da Cauchy in [2] con un metodo corretto, ma funzionante (come fatto notare da Peano anni dopo) nell'ulteriore ipotesi di continuità della derivata prima.
L'enunciato corretto, in cui sulla derivata prima non si fanno ulteriori ipotesi oltre la sua esistenza in ogni punto dell'intervallo, e la dimostrazione che si usa ancora oggi sui manuali (quella con la funzione ausiliaria ottenuta sottraendo una funzione affine alla funzione dell'enunciato) è dovuta a Pierre-Ossian Bonnet e si trova esposta in [6], seppure con qualche imprecisione (rilevata sempre da Peano).
La dimostrazione di Bonnet, come si può intuire, si adatta a dimostrare anche il teorema di Cauchy.
Il terzo teorema, quello che porta il nome di Cauchy, fu dimostrato dallo stesso nei suoi corsi di Calcolo come generalizzazione dei risultati precedenti.
Una generalizzazione molto bella dei tre teoremi classici del Calcolo è stata dimostrata da Giuseppe Peano [7]:
Infatti, da questo risultato si ricava:
Il cosiddetto teorema di Rolle fu dimostrato da Michel Rolle nel 1691 [1].
L'intenzione era quella di mostrare con tecniche algebriche che tra due radici consecutive di un polinomio giace sempre almeno una radice del polinomio derivato; questo è di grande aiuto nello studio delle equazioni algebriche, poiché consente di capire in quali intervalli localizzare gli zeri di un polinomio di grado $n$ una volta che siano noti gli zeri del polinomio derivato (che ha grado $n-1$!).
La dimostrazione originale non usava i metodi del Calcolo Infinitesimale (che Rolle credeva fallaci in quel periodo della sua vita) e copriva solo il caso delle funzioni polinomiali.
Fu Cauchy, dopo aver fondato le basi del Calcolo sulla definizione di limite, a dimostrare nel 1823 il teorema nel caso generale, facendolo discendere dal teorema di Lagrange come corollario [2].
Il nome "teorema di Rolle" fu imposto a questo risultato da manualisti tedeschi [3] ed italiani [4] nel secondo quarto del 1800.
La dimostrazione che viene proposta di solito nei testi moderni (e che fa uso del teorema di Fermat) è di Ulisse Dini [5].
Il teorema del valor medio di Lagrange, invece, è stato sicuramente dimostrato da Cauchy in [2] con un metodo corretto, ma funzionante (come fatto notare da Peano anni dopo) nell'ulteriore ipotesi di continuità della derivata prima.
L'enunciato corretto, in cui sulla derivata prima non si fanno ulteriori ipotesi oltre la sua esistenza in ogni punto dell'intervallo, e la dimostrazione che si usa ancora oggi sui manuali (quella con la funzione ausiliaria ottenuta sottraendo una funzione affine alla funzione dell'enunciato) è dovuta a Pierre-Ossian Bonnet e si trova esposta in [6], seppure con qualche imprecisione (rilevata sempre da Peano).
La dimostrazione di Bonnet, come si può intuire, si adatta a dimostrare anche il teorema di Cauchy.
Il terzo teorema, quello che porta il nome di Cauchy, fu dimostrato dallo stesso nei suoi corsi di Calcolo come generalizzazione dei risultati precedenti.
Una generalizzazione molto bella dei tre teoremi classici del Calcolo è stata dimostrata da Giuseppe Peano [7]:
Siano $f,g,h:[a,b]\to \RR$ funzioni continue che risultano derivabili in $]a,b[$.
Posto:
\[
D(x) := \det \begin{pmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\f(b) & g(b) & h(b)\end{pmatrix}\; ,
\]
esiste almeno un punto $\xi \in ]a,b[$ tale che \(D^\prime (\xi) = 0\).
Infatti, da questo risultato si ricava:
- [*:1ejy9qnz] il teorema di Cauchy scegliendo $h(x) = 1$,
[/*:m:1ejy9qnz]
[*:1ejy9qnz] il teorema di Lagrange scegliendo $h(x)=1$ e $g(x)=x$,
[/*:m:1ejy9qnz]
[*:1ejy9qnz] il teorema di Rolle scegliendo $h(x)=1$ e $g(x)=x$ e richiedendo che $f(a)=f(b)$.[/*:m:1ejy9qnz][/list:u:1ejy9qnz]
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Riferimenti Bibliografici
[1] M. Rolle (1691) Démonstration d'une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez.
[2] A.-L. Cauchy (1823) Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal.
[3] M. W. Drobitsch (1834) Grundzüge der Lehre von den höheren numerischen Gleichungen nach ihren analytischen und geometrischen Eigenschaften.
[4] G. Bellavitis (1846) Sul più facile modo di trovare le radici reali delle equazioni algebriche e sopra un nuovo metodo per la determinazione delle radici immaginarie.
[5] U. Dini (1878) Fondamenti per la Teorica delle Funzioni di Variabili Reali.
[6] J.-A. Serret (1868) Cours de Calcul Infinitésimal.
[7] G. Peano (1881) Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale.
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