OPERAZIONI IN COLONNA: PROPRIETA' FORMALI
Tra gli esercizi per l'esame di Didattica della Matematica per la Scuola Primaria, leggo:
"Svolgere in colonna le seguenti operazioni e argomentare i procedimenti svolti ricorrendo alle proprietà formali delle operazioni:
1234 + 1271; 154 - 69; 111111 * 11; 143 : 11, ecc...ecc..
Io non so argomentarli
"Svolgere in colonna le seguenti operazioni e argomentare i procedimenti svolti ricorrendo alle proprietà formali delle operazioni:
1234 + 1271; 154 - 69; 111111 * 11; 143 : 11, ecc...ecc..
Io non so argomentarli
Risposte
Non so esattamente cosa desiderano non essendomi mai occupato di didattica della scuola primaria comunque ipotizzo sfruttando la mia dimestichezza con l'algebra astratta.
\(\displaystyle 1234 + 1271 = (1000 + 200 + 30 + 4) + (1000 + 200 + 70 + 1) \)
Per la proprietà dissociativa della addizione (o equivalentemente per la proprietà associativa anche se nelle scuole inferiore si tende a distinguerle).
\(\displaystyle (1000 + 200 + 30 + 4) + (1000 + 200 + 70 + 1) = (1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4) + (1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1) \)
Per la proprietà dissociativa della moltiplicazione.
\(\displaystyle (1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4) + (1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1) = 1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4 + 1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1 \)
Per la proprietà associativa della addizione.
\(\displaystyle 1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4 + 1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1 = 4 + 1 + 3\times 10 + 7\times 10 + 2\times 100 + 2\times 100 + 1\times 1000 + 1\times 1000\)
Per la proprietà commutativa dell'addizione.
\(\displaystyle 4 + 1 + 3\times 10 + 7\times 10 + 2\times 100 + 2\times 100 + 1\times 1000 + 1\times 1000 = (4 + 1) + (3\times 10 + 7\times 10) + (2\times 100 + 2\times 100) + (1\times 1000 + 1\times 1000) \)
Per la proprietà associativa dell'addizione.
\(\displaystyle (4 + 1) + (3\times 10 + 7\times 10) + (2\times 100 + 2\times 100) + (1\times 1000 + 1\times 1000) = (4 + 1) + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione.
Questo di fatto solo per mostrare che ha senso fare la somma in colonna
. A questo punto iniziamo la vera e propria addizione in colonna.
Uso la proprietà "associativa" (in realtà risolvo semplicemente ciò che è tra parentesi, di fatto sfrutto la proprietà associativa usata in precedenza):
\(\displaystyle (4 + 1) + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Siccome \(\displaystyle 5 < 10 \) passo alla somma successiva.
\(\displaystyle 5 + (3+7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 11\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Siccome \(\displaystyle 11 > 10 \) allora uso la proprietà dissociativa:
\(\displaystyle 5 + 11\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (1 + 10)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
\(\displaystyle 5 + (1 + 10)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (1\times 10 + 10 \times 10) + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà associativa della moltiplicazione (2 volte)
\(\displaystyle 5 + (1\times 10 + 10 \times 10) + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà dissociativa della moltiplicazione
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 1\times 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà distributiva
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 1\times 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + \bigl[1 + (2 + 2)\bigr]\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà associativa e risolvo la somma relativa a \(\displaystyle 100 \) (o puoi anche non usare alcuna proprietà e prima risolvere \(\displaystyle 2+2 \) e poi aumentare il risultato di uno).
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + \bigl[1 + (2 + 2)\bigr]\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + (1 + 1)\times 1000\)
Fortunatamente 5 <10 e quindi posso concludere le somme in colonna risolvendo l'ultimo calcolo.
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + 2\times 1000\)
A questo punto risolvi tutte le moltiplicazioni (per l'ordine canonico della operazioni la moltiplicazione ha precedenza sulla somma) e poi sommi i risultati.
P.S.: È possibile che la mia interpretazione delle proprietà sia leggermente diversa da quella usata nelle scuole inferiori. La proprietà associativa è per me la proprietà che premette di spostare le parentesi o toglierle (quindi quando risolvo qualcosa tra parentesi non la sto usando). In questo senso la proprietà dissociativa non è per me una proprietà distinta ma solo un nome aggiuntivo per qualcosa che c'è già.
Il tuo lavoro va scritto in modo un po' diverso, ti ho solo mostrato che proprietà si usano nei vari passaggi.
\(\displaystyle 1234 + 1271 = (1000 + 200 + 30 + 4) + (1000 + 200 + 70 + 1) \)
Per la proprietà dissociativa della addizione (o equivalentemente per la proprietà associativa anche se nelle scuole inferiore si tende a distinguerle).
\(\displaystyle (1000 + 200 + 30 + 4) + (1000 + 200 + 70 + 1) = (1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4) + (1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1) \)
Per la proprietà dissociativa della moltiplicazione.
\(\displaystyle (1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4) + (1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1) = 1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4 + 1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1 \)
Per la proprietà associativa della addizione.
\(\displaystyle 1\times 1000 + 2\times 100 + 3\times 10 + 4 + 1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 1 = 4 + 1 + 3\times 10 + 7\times 10 + 2\times 100 + 2\times 100 + 1\times 1000 + 1\times 1000\)
Per la proprietà commutativa dell'addizione.
\(\displaystyle 4 + 1 + 3\times 10 + 7\times 10 + 2\times 100 + 2\times 100 + 1\times 1000 + 1\times 1000 = (4 + 1) + (3\times 10 + 7\times 10) + (2\times 100 + 2\times 100) + (1\times 1000 + 1\times 1000) \)
Per la proprietà associativa dell'addizione.
\(\displaystyle (4 + 1) + (3\times 10 + 7\times 10) + (2\times 100 + 2\times 100) + (1\times 1000 + 1\times 1000) = (4 + 1) + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione.
Questo di fatto solo per mostrare che ha senso fare la somma in colonna
. A questo punto iniziamo la vera e propria addizione in colonna.Uso la proprietà "associativa" (in realtà risolvo semplicemente ciò che è tra parentesi, di fatto sfrutto la proprietà associativa usata in precedenza):
\(\displaystyle (4 + 1) + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (3 + 7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Siccome \(\displaystyle 5 < 10 \) passo alla somma successiva.
\(\displaystyle 5 + (3+7)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 11\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Siccome \(\displaystyle 11 > 10 \) allora uso la proprietà dissociativa:
\(\displaystyle 5 + 11\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (1 + 10)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
\(\displaystyle 5 + (1 + 10)\times 10 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + (1\times 10 + 10 \times 10) + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà associativa della moltiplicazione (2 volte)
\(\displaystyle 5 + (1\times 10 + 10 \times 10) + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà dissociativa della moltiplicazione
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 1\times 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà distributiva
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 1\times 100 + (2 + 2)\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + \bigl[1 + (2 + 2)\bigr]\times 100 + (1 + 1)\times 1000 \)
Uso la proprietà associativa e risolvo la somma relativa a \(\displaystyle 100 \) (o puoi anche non usare alcuna proprietà e prima risolvere \(\displaystyle 2+2 \) e poi aumentare il risultato di uno).
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + \bigl[1 + (2 + 2)\bigr]\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + (1 + 1)\times 1000\)
Fortunatamente 5 <10 e quindi posso concludere le somme in colonna risolvendo l'ultimo calcolo.
\(\displaystyle 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + (1 + 1)\times 1000 = 5 + 1\times 10 + 5\times 100 + 2\times 1000\)
A questo punto risolvi tutte le moltiplicazioni (per l'ordine canonico della operazioni la moltiplicazione ha precedenza sulla somma) e poi sommi i risultati.
P.S.: È possibile che la mia interpretazione delle proprietà sia leggermente diversa da quella usata nelle scuole inferiori. La proprietà associativa è per me la proprietà che premette di spostare le parentesi o toglierle (quindi quando risolvo qualcosa tra parentesi non la sto usando). In questo senso la proprietà dissociativa non è per me una proprietà distinta ma solo un nome aggiuntivo per qualcosa che c'è già.
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Ciao Alex,
benvenuto sul forum!
Quale corso di laurea stai seguendo?
PS puoi editare il titolo in tutto minuscolo? (il maiuscolo è vietato dal regolamento)
Trovi il tasto modifica in alto a destra.
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