M.C.D. e m.c.m di numeri non interi
Buonasera a tutti,
mi è stato posto il problema di trovare il M.C.D. e il m.c.m. tra alcuni numeri non interi, nel mio caso: $\frac{1}{4}, 5$ e $\frac{2}{3}$. Personalmente devo dire di non aver mai fatto una cosa del genere, in quanto tutti gli esercizi che ho visto sino ad ora chiedevano di trovare il M.C.D. e il m.c.m. di numeri naturali...
Ho provato un po' a pensarci, e allora mi sono ricordato del fatto che, nel caso dei numeri naturali, sappiamo che ci sarà sempre un valore per il M.C.D. (ovvero 1) e anche un valore per il m.c.m. (ovvero il prodotto di tutti i numeri dati).
Ragionando in questo modo otterrei:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
Cercando sui libri e sul web ho però trovato che, in un caso del genere, dovrei scrivere:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
La mia domanda è la seguente: per quale motivo dobbiamo scrivere che il m.c.m. è pari a uno?
mi è stato posto il problema di trovare il M.C.D. e il m.c.m. tra alcuni numeri non interi, nel mio caso: $\frac{1}{4}, 5$ e $\frac{2}{3}$. Personalmente devo dire di non aver mai fatto una cosa del genere, in quanto tutti gli esercizi che ho visto sino ad ora chiedevano di trovare il M.C.D. e il m.c.m. di numeri naturali...
Ho provato un po' a pensarci, e allora mi sono ricordato del fatto che, nel caso dei numeri naturali, sappiamo che ci sarà sempre un valore per il M.C.D. (ovvero 1) e anche un valore per il m.c.m. (ovvero il prodotto di tutti i numeri dati).
Ragionando in questo modo otterrei:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
Cercando sui libri e sul web ho però trovato che, in un caso del genere, dovrei scrivere:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
La mia domanda è la seguente: per quale motivo dobbiamo scrivere che il m.c.m. è pari a uno?
Risposte
Nei razionali il numero $1$ è multiplo di qualsiasi altro razionale (quindi è un multiplo comune a tutti) cosa che evidentemente non accade con gli interi (ed inoltre è il minimo dei multipli INTERI mentre sarebbe impossibile trovare un minimo tra i razionali).
IMHO.
Cordialmente, Alex
IMHO.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Nei razionali il numero $1$ è multiplo di qualsiasi altro razionale (quindi è un multiplo comune a tutti) cosa che evidentemente non accade con gli interi
Non mi è molto chiaro il tuo ragionamento...
Intendi dire che $1$, nell'insieme dei numeri naturali, non è mai multiplo di qualsiasi numero $n \in \mathbb{N}$ con $n > 1$?
direi di sì
$1:n=0,..$
se $n>1$
$1:n=0,..$
se $n>1$
"gio73":
direi di sì
$ 1:n=0,.. $
se $ n>1 $
Ok, grazie per la conferma
Il problema che mi era stato posto consiste nel trovare il $m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3})$... Ora noto che, oltre ai due numeri razionali $\frac{1}{4}$ e $\frac{2}{3}$ abbiamo un numero naturale, il $5$. Però immagino che, nel caso in cui il m.c.m. non sia calcolato nell'insieme dei numeri naturali ma nell'insieme dei numeri razionali, allora non sia un problema
Beh, dato che hai $1/4$ e $2/3$ non sei nei naturali ... quindi $1$ è un multiplo di $5$ ...
Perciò nell'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ trovare il M.C.D. e il m.c.m. diventa "banale"... Questo a causa del fatto che ogni numero razionale diverso da zero è sia multiplo sia divisore di qualsiasi altro numero razionale diverso da zero... 
Ma, oltre al caso in cui si deve calcolare il M.C.D. e il m.c.m. tra i coefficienti di alcuni monomi, possono servire a qualcosa d'altro (sempre parlando del caso in $\mathbb{Q}$)?
Ma, oltre al caso in cui si deve calcolare il M.C.D. e il m.c.m. tra i coefficienti di alcuni monomi, possono servire a qualcosa d'altro (sempre parlando del caso in $\mathbb{Q}$)?
Il $mcm$ e il $MCD$ di numeri non interi, nel senso che diamo generalmente al concetto di multiplo e di divisore, non esistono. Tuttavia a volte viene chiesto di trovare il $mcm $ o il $MCD$ di alcuni monomi o polinomi, a coefficienti non interi.
Ad esempio, dato il polinomio $10/3x^2-5/6x^2y+15/4xy$ scomponi il polinomio raccogliendo il $MCD$. Per la perte letterale non ci sono problemi, è $x$ e non ci piove, ma per il coefficiente numerico? L'idea è arbitraria, ma molti libri la usano, si trova il denominatore comune delle frazioni, in questo caso $12$, si trasformano le frazioni in quelle equivalenti a denominatore $12$:
$10/3 = 40/12$
$5/6 = 10/12$
$15/4= 45/12$
A questo punto $10/3x^2-5/6x^2y+15/4xy=$ trasformo le frazioni
$=40/12x^2-10/12x^2y+45/12xy=$ raccolgo tutto il denominatore e a numeratore il $MCD$ dei numeratori
$= 5/12 x (8x-2xy+9y)$
Lo scopo di tutto l'ambaradan è di ottenere un polinomio a coefficienti interi.
Dire che $ 5/12$ è il massimo comun divisore tra $10/3, 5/6, 15/4$ mi pare una forzatura, comunque è l'unico caso in cui ho sentito parlare di $MCD$ tra numeri razionali.
Ad esempio, dato il polinomio $10/3x^2-5/6x^2y+15/4xy$ scomponi il polinomio raccogliendo il $MCD$. Per la perte letterale non ci sono problemi, è $x$ e non ci piove, ma per il coefficiente numerico? L'idea è arbitraria, ma molti libri la usano, si trova il denominatore comune delle frazioni, in questo caso $12$, si trasformano le frazioni in quelle equivalenti a denominatore $12$:
$10/3 = 40/12$
$5/6 = 10/12$
$15/4= 45/12$
A questo punto $10/3x^2-5/6x^2y+15/4xy=$ trasformo le frazioni
$=40/12x^2-10/12x^2y+45/12xy=$ raccolgo tutto il denominatore e a numeratore il $MCD$ dei numeratori
$= 5/12 x (8x-2xy+9y)$
Lo scopo di tutto l'ambaradan è di ottenere un polinomio a coefficienti interi.
Dire che $ 5/12$ è il massimo comun divisore tra $10/3, 5/6, 15/4$ mi pare una forzatura, comunque è l'unico caso in cui ho sentito parlare di $MCD$ tra numeri razionali.
"axpgn":
Beh, dato che hai $1/4$ e $2/3$ non sei nei naturali ... quindi $1$ è un multiplo di $5$ ...
Scusate, ma non ho capito un passaggio del ragionamento.
Come fa $1$ ad essere multiplo di $5$ ?
Grazie
arenite
$5*1/5=1$
Quindi 1 è multiplo SOLO grazie ai numeri razionali ?
Grazie
arenite
Grazie
arenite
Ti ricordo brevemente il concetto di multiplo: un numero $a$ si dice multiplo di $b$ se e solo se esiste un numero $c$ tale che $a = b \cdot c$.
Nel caso dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, ... n ...}$, il numero $1$ non sarà mai multiplo di tutti i numeri, proprio perché non esiste il numero $c$. Ad esempio:
$1 = 5 \cdot c$
Non esiste nessun numero $c \in \mathbb{N}$ che, moltiplicato per $5$, dia come risultato il numero $1$.
Nel caso dell'insieme dei numeri razionali (ovvero le frazioni) $\mathbb{Q}$, il numero $1$ sarà sempre multiplo di tutti i numeri, proprio perché esiste sempre il numero $c$. Ad esempio:
$1 = 5 \cdot c = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$
Esiste sempre un numero $c \in \mathbb{Q}$ che, moltiplicato per $5$, dia come risultato il numero $1$ (il reciproco).
Nel caso dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, ... n ...}$, il numero $1$ non sarà mai multiplo di tutti i numeri, proprio perché non esiste il numero $c$. Ad esempio:
$1 = 5 \cdot c$
Non esiste nessun numero $c \in \mathbb{N}$ che, moltiplicato per $5$, dia come risultato il numero $1$.
Nel caso dell'insieme dei numeri razionali (ovvero le frazioni) $\mathbb{Q}$, il numero $1$ sarà sempre multiplo di tutti i numeri, proprio perché esiste sempre il numero $c$. Ad esempio:
$1 = 5 \cdot c = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$
Esiste sempre un numero $c \in \mathbb{Q}$ che, moltiplicato per $5$, dia come risultato il numero $1$ (il reciproco).
Perfetto Davonit,
adesso è tutto chiarissimo.
Occore distinguere l'insieme dei numeri naturali (dove l' 1 non è multiplo di nulla) da quello dei numeri razionali (dove il numero 1 è sempre multiplo di tutti i numeri, razionali e non).
Grazie
arenite
adesso è tutto chiarissimo.
Occore distinguere l'insieme dei numeri naturali (dove l' 1 non è multiplo di nulla) da quello dei numeri razionali (dove il numero 1 è sempre multiplo di tutti i numeri, razionali e non).
Grazie
arenite
"arenite":
Perfetto Davonit,
adesso è tutto chiarissimo.
Occore distinguere l'insieme dei numeri naturali (dove l' 1 non è multiplo di nulla) da quello dei numeri razionali (dove il numero 1 è sempre multiplo di tutti i numeri, razionali e non).
Grazie
arenite
io faccio un po' fatica a capire i vostri discorsi:
l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dei razionali, voglio dire i naturali sono una parte dei razionali non un'altro insieme.
Forse è meglio lasciare i concetti di multiplo e divisore all'insieme $NN$ e non estenderlo a $QQ$, come suggeriva amelia qualche post fa...
Indubbiamente è più semplice e intuitivo lasciare il concetto di multiplo e divisore nell'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e non estendere il concetto nell'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$.
Personalmente non l'avrei mai fatto e non avrei mai neanche aperto una discussione del genere, ma sono stato "obbligato" a causa del problema del calcolo del m.c.m. dei monomi... E lì mi sono ritrovato a calcolare il m.c.m. tra dei numeri che non erano interi, ma razionali
Personalmente non l'avrei mai fatto e non avrei mai neanche aperto una discussione del genere, ma sono stato "obbligato" a causa del problema del calcolo del m.c.m. dei monomi... E lì mi sono ritrovato a calcolare il m.c.m. tra dei numeri che non erano interi, ma razionali
"gio73":
Forse è meglio lasciare i concetti di multiplo e divisore all'insieme $NN$ e non estenderlo a $QQ$, come suggeriva amelia qualche post fa...
Bene, ma allora cosa rispondiamo alla domanda secca: 1 (a) è multiplo di 5 (b) ?
Se un numero a si dice multiplo di b se e solo se esiste un numero c tale che a=b⋅c , è vero che $1=5⋅1/5$
Numero (c) si può intendere anche come razionale, o no ?
arenite
$1/5 !in NN$
$1/5inQQ$
$NN\subsetQQ$
$1/5inQQ$
$NN\subsetQQ$
Siamo nell'area dedicata alla scuola media, quindi ero un po' restia a scrivere qualcosa in merito. Eventualmente se vogliamo continuare con questo discorso sposto il tutto nell'area dedicata ai docenti.
Si parla di multipli e di divisori SOLO quando si parla di numeri interi.
Un numero $a in NN$ si dice multiplo di $b in NN$ se e solo se esiste un numero $c in NN$ tale che $a=b⋅c$, al massimo si può parlare di $ZZ$.
Come "licenza poetica" al concetto di multiplo è possibile considerare il concetto:
Un numero $a in QQ$ si dice multiplo di $b in QQ$ se e solo se esiste un numero $c in ZZ$ tale che $a=b⋅c$, ma $c$ deve assolutamente essere intero.
@giovanna
Non è esattamente che $ NN\subsetQQ $, ma $NN$ è isomorfo ad al sottoinsieme di $QQ$ delle frazioni con numeratore positivo e denominatore 1, ma qui andiamo a parlare di algebra astratta e neanche la sezione docenti è indicata per questo livello di discussione.
Si parla di multipli e di divisori SOLO quando si parla di numeri interi.
Un numero $a in NN$ si dice multiplo di $b in NN$ se e solo se esiste un numero $c in NN$ tale che $a=b⋅c$, al massimo si può parlare di $ZZ$.
Come "licenza poetica" al concetto di multiplo è possibile considerare il concetto:
Un numero $a in QQ$ si dice multiplo di $b in QQ$ se e solo se esiste un numero $c in ZZ$ tale che $a=b⋅c$, ma $c$ deve assolutamente essere intero.
@giovanna
Non è esattamente che $ NN\subsetQQ $, ma $NN$ è isomorfo ad al sottoinsieme di $QQ$ delle frazioni con numeratore positivo e denominatore 1, ma qui andiamo a parlare di algebra astratta e neanche la sezione docenti è indicata per questo livello di discussione.
"@melia":
Come "licenza poetica" al concetto di multiplo è possibile considerare il concetto:
Un numero $a in QQ$ si dice multiplo di $b in QQ$ se e solo se esiste un numero $c in ZZ$ tale che $a=b⋅c$, ma $c$ deve assolutamente essere intero.
Grazie Sara, ora tutto OK.
Per tornare al nostro esempio e semplificare: 1 non può essere multiplo di 5 perchè c ($1/5$ del nostro esempio) è un numero razionale.
Ho capito bene ?
arenite
Esattamente.
"@melia":
@giovanna
Non è esattamente che $ NN\subsetQQ $, ma $NN$ è isomorfo ad al sottoinsieme di $QQ$ delle frazioni con numeratore positivo e denominatore 1, ma qui andiamo a parlare di algebra astratta e neanche la sezione docenti è indicata per questo livello di discussione.
@Sara: grazie, non lo sapevo. Sui libri delle medie c'è scritto che $NN$ è un sottoinsieme di $QQ$ che a sua volta è un sottoinsieme di $RR$. Anche in questa seconda inclusione c'è da fare un distinguo?
Se mai proseguiamo la discussione in spoiler.
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