M.C.D. e m.c.m di numeri non interi

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti,
mi è stato posto il problema di trovare il M.C.D. e il m.c.m. tra alcuni numeri non interi, nel mio caso: $\frac{1}{4}, 5$ e $\frac{2}{3}$. Personalmente devo dire di non aver mai fatto una cosa del genere, in quanto tutti gli esercizi che ho visto sino ad ora chiedevano di trovare il M.C.D. e il m.c.m. di numeri naturali...
Ho provato un po' a pensarci, e allora mi sono ricordato del fatto che, nel caso dei numeri naturali, sappiamo che ci sarà sempre un valore per il M.C.D. (ovvero 1) e anche un valore per il m.c.m. (ovvero il prodotto di tutti i numeri dati).
Ragionando in questo modo otterrei:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
Cercando sui libri e sul web ho però trovato che, in un caso del genere, dovrei scrivere:
$M.C.D.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
e:
$m.c.m.(\frac{1}{4}, 5, \frac{2}{3}) = 1$
La mia domanda è la seguente: per quale motivo dobbiamo scrivere che il m.c.m. è pari a uno?

[@melia]

Possiamo anche parlarne direttamente, ma allora sposto in Docenti e riporto la risposta che ho mandato a Davonit, che mi ha chiesto proprio una spiegazione a tale proposito.

In linea generale operiamo come se $NN subsetZZ subset QQ$, ma l'insieme dei numeri naturali è un insieme di numeri assoluti (senza segno), mentre $ZZ$ è un insieme di numeri relativi, cioè con segno, non è possibile perciò dire che i numeri assoluti sono un sottoinsieme dei numeri relativi. D'altra parte le operazioni in $ZZ$ vengono definite in modo tale che il loro comportamento nei numeri positivi sia uguale al comportamento nei numeri assoluti. Questo equivale a dire che $NN$ è isomorfo all'insieme $ZZ^+$. Quindi $NN$ non è un sottoinsieme di $ZZ$, ma è isomorfo, ossia equivalente, al sottoinsieme di $ZZ$ che sono i numeri interi positivi. Prova solo a pensare al comportamento uno studente delle superiori o di un bambino delle elementari che vedono scritto il numero $+5$, il primo lo riconosce come equivalente a $5$, il secondo cercherà il primo addendo dell'addizione perché non riconosce il segno $+$ come parte del numero, ma solo come simbolo di operazione.

Più complicato è il discorso quando si tirano in ballo i numeri razionali. Gli elementi di $QQ$ sono delle classi di equivalenza di frazioni, mi spiego meglio il numero razionale $+3/4$ non è la sola frazione $+3/4$, ma l'insieme di tutte le frazioni equivalenti a $+3/4$, cioè $+3/4, +6/8, +9/12, ...$, anche in questo caso dire che $NN subset QQ$ è un po' improprio. Però possiamo dire che esiste un sottoinsieme di $QQ$ che si comporta come $NN$, perché le operazioni in $QQ$ sono state introdotte in modo tale da creare questa possibilità.

Per il legame tra $RR$ e $QQ$ la questione è del come viene introdotto $RR$, se lo si fa con tutti i crismi la questione è complicata, ma generalmente si introducono i reali solo come completamento di $QQ$ per rendere la retta continua e allora è possibile indicare $QQ subset RR$.

La cosa più importante è quella dei segni, cioè il legame tra numeri assoluti a numeri relativi positivi.