Intervalli sui razionali (??)

[Maya18]

Avrei bisogno di un vostro consiglio.
Al corso di abilitazione mi è stato detto che non è possibile rappresentare sulla retta i seguenti insiemi:
$C ={x: x \in ZZ e 6 7}$

in quanto I punti della retta possono essere messi in corrispondenza biiettiva con i reali e gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di questi. Come indicare gli insiemi C e D che sono infiniti, D e’ addirittura denso nei reali?)

Oppure Tutti i numeri razionali negativi:
Non si può disegnare sulla retta perché i razionali negativi non si distinguerebbero dai reali negativi essendo densi in questi

Il problema si pone nel momento che trovo su di un libro di testo gli "intervalli in Q" per poi trattare le disequazioni in Q (Cosa ideale in quanto normalmente agli alunni non si è normalmente ancora fatta l'introduzione dei numeri reali!)

A me sembrava una cosa naturale, fare, in prima, esercizi con gli insiemi infiniti senza necessariamente dover già utilizzare i numeri reali (e lo stesso per le disequazioni di primo grado)

E' vero che al corso ci continuano a dire che i libri sono sbagliati e che noi docenti dobbiamo essere in grado di trovare gli errori con una "lettura critica" ma in questo caso mi sembra veramente difficile pensare che un libro si sia erroneamente inventato un intero capitolo.

Chi ha ragione secondo voi? Spero di essermi riuscita a spiegare.

Francesca

[Maya18]

Rappresentare sulla retta i razionali, ok.
Ma suoi sottoinsiemi (e quindi intervalli)?
Nel link segnalato gli intervalli sono a pagina 16 e SOLO su R.

[vict85]

"fra_":Avrei bisogno di un vostro consiglio.
Al corso di abilitazione mi è stato detto che non è possibile rappresentare sulla retta i seguenti insiemi:
C ={x: x appartiene a Z e 6
in quanto I punti della retta possono essere messi in corrispondenza biiettiva con i reali e gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di questi. Come indicare gli insiemi C e D che sono infiniti, D e’ addirittura denso nei reali?)

Oppure Tutti i numeri razionali negativi:
Non si può disegnare sulla retta perché i razionali negativi non si distinguerebbero dai reali negativi essendo densi in questi

Il problema si pone nel momento che trovo su di un libro di testo gli "intervalli in Q" per poi trattare le disequazioni in Q (Cosa ideale in quanto normalmente agli alunni non si è normalmente ancora fatta l'introduzione dei numeri reali!)

A me sembrava una cosa naturale, fare, in prima, esercizi con gli insiemi infiniti senza necessariamente dover già utilizzare i numeri reali (e lo stesso per le disequazioni di primo grado)

E' vero che al corso ci continuano a dire che ilibri sono sbagliati e che noi docenti dobbiamo essere in grado di trovare gli errori con una "lettura critica" ma in questo caso mi sembra veramente difficile pensare che un libro si sia erroneamente inventato un intero capitolo.

Chi ha ragione secondo voi? Spero di essermi riuscita a spiegare.

Francesca

Il problema qui è solo che $QQ$ non può essere messo in corrispondenza biunivoca con $RR$ e quindi con la retta.

Usare la retta potrebbe effettivamente creare confusione. Non credo sia strettamente necessario usarla per spiegare le disequazioni di primo grado. La soluzione si può benissimo scrivere come $x>a$ senza dover scrivere $x \in (a, \infty)$ che personalmente trovo anche meno intuitivo.


P.S: A rigore un intervallo deve essere in $RR$ o in un'altro insieme ordinato. In $QQ$ si parla sempre e solo di insiemi.

[Fioravante Patrone1]

Essendo un forum di matematica, i matematici zompano ratti ;-D
Ecco un matematico (scadente, però! Dice che $RR$ è compatto e poi dice che è un errore irrilevante).

Nulla vieta di parlare di intervalli in $QQ$ o in $ZZ$.
Un intervallo è una roba del tipo ${ x \in X : a < x \le b }$ e simili. Con $a,b \in X$, naturalmente. Ci sono anche i cosi del tipo $[a, \to [$, etc. Quello che importa è che $X$ sia un insieme ordinato.

Vorrei dire che, oltre agli aspetti/perplessità didattiche accennate, c'è un punto un po' delicato.
Gli intervalli di $RR$ godono di proprietà molto importanti (connessione, per dirne una; ma sono importanti anche per aspetti legati alla compattezza: Bolzano-Weiertrass e il teorema di Weierstrass; idem per l'aspetto di completezza). Queste proprietà cadono in $QQ$.
Ne va quindi fatto un uso accorto, quanto meno.

[Maya18]

Ok, ma allora in una classe prima è così sbagliato rappresentare un insieme infinito (non su $RR$) su di una retta per far comprendere come è formato un insieme infinito? per il quale tra l'altro mi è stato detto che non si devono usare i puntini nell'elencazione perchè non è chiaro di quale insieme si parla.

[Fioravante Patrone1]

"fra_":Ok, ma allora in una classe prima è così sbagliato rappresentare un insieme infinito (non su $RR$) su di una retta per far comprendere come è formato un insieme infinito? per il quale tra l'altro mi è stato detto che non si devono usare i puntini nell'elencazione perchè non è chiaro di quale insieme si parla.

Non è sbagliato rappresentare un insieme infinito su una retta. Non vedo perché lo dovrebbe essere.
Ma attenzione, che un insieme infinito lo si può rappresentare anche dentro al piano. Lo puoi vedere come una struttura arborescente. Possono essere le mille bolle blu...


Quanto ai puntini nell'elencazione, se ne è parlato a iosa nel forum.
Ultimo thread questo:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#200626

Interessante, e pepato quanto basta, questo:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#111029



PS: non capisco cosa vuoi dire con:
"un insieme infinito (non su $RR$) "

[Maya18]

"Fioravante Patrone":Non è sbagliato rappresentare un insieme infinito su una retta. Non vedo perché lo dovrebbe essere.

PS: non capisco cosa vuoi dire con:
"un insieme infinito (non su $RR$) "

Il docente che mi ha corretto la relazione mi ha contestato di aver richiesto la rappresentazione sulla retta di sottoinsiemi infiniti degli interi e dei razionali (insiemi C e D di cui parlavo all'inizio); tutto questo si può fare solo sui reali (per questo dicevo: non su $RR$)
Per esempio mi ha scritto:
$ZZ$-{0} non e’ ne’ finito ne’ limitato sicche’ il suo grafico non e’ rappresentabile sulla retta
oppure
${x: x \in QQ e 1/3Non si può disegnare sulla retta perché i razionali dell’intervallo con gli estremi dati non si distinguono dai reali dello stesso intervallo

Inoltre ha ritenuto assolutamente fuori luogo l'uso dei connettivi logici (che qui non ho riportato): peccato che il libro di testo degli alunni li utilizza!

Vorrei capire se queste sono solo delle sue opinioni personali oppure no...

[Fioravante Patrone1]

"fra_":
$ZZ$-{0} non e’ ne’ finito ne’ limitato sicche’ il suo grafico non e’ rappresentabile sulla retta
oppure
${x: x \in QQ e 1/3Non si può disegnare sulla retta perché i razionali dell’intervallo con gli estremi dati non si distinguono dai reali dello stesso intervallo

Inoltre ha ritenuto assolutamente fuori luogo l'uso dei connettivi logici (che qui non ho riportato): peccato che il libro di testo degli alunni li utilizza!

Vorrei capire se queste sono solo delle sue opinioni personali oppure no...

Per quanto mi riguarda tutte le rappresentazioni che si fanno di enti matematici sulla carta, sulla lavagna, su uno schermo di pc, handwaving, sulla sabbia, etc. sono da intendere come delle rappresentazioni suggestive, nel senso etimologico del termine. Suggeriscono, cercano di dare una idea di "come sono fatti" gli enti che si cerca di rappresentare.

Quindi le obiezioni portate per me non sono valide, anche se la rappresentazione di un intervallo razionale è certo un po' problematica.

C'è però poi, se ho ben capito, un discorso di opportunità e d efficacia didattica, sul quale non mi sento di entrare in merito.
Questo "lato del discorso" potrebbe valere anche per i connettivi logici.

Queste che ho espresso qui sopra sono, come è ovvio e come sempre, delle mie opinioni personali. IMHO, insomma.

[Maya18]

Grazie, ma sono opinioni molto autorevoli!

Ma il problema è proprio che sto iniziando a temere che la matematica "sia un'opinione".

A proposito di questo è vero che

$QQ = {x: x=n/d, n,d \in Z, d<>0}$?

oppure

questo e’ l’insieme delle frazioni tra interi e non dei razionali. Qui 2/3 e 4/6 sarebbero oggetti distinti, mentre sono lo stesso razionale.
I razionali sono opportune classi di equivalenza di frazioni

Ma i razionali sono tutti i numeri che posso rappresentare come frazione?

[Fioravante Patrone1]

"fra_":
questo e’ l’insieme delle frazioni tra interi e non dei razionali. Qui 2/3 e 4/6 sarebbero oggetti distinti, mentre sono lo stesso razionale.
I razionali sono opportune classi di equivalenza di frazioni

Ma i razionali sono tutti i numeri che posso rappresentare come frazione?

Da quello che dici mi pare che sia stato introdotto l'insieme delle frazioni, ovvero l'insieme delle coppie ordinate di interi t.c. ... bla bla...
Cosa che, in quanto tale, è diversa da $QQ$ che può essere ottenuto come insieme quoziente da tale insieme.

Insomma, il discorso che riporti mi sembra corretto. Sono cose che si fanno normalmente nel corso di laurea in matematica.

[Maya18]

Mi spiego meglio. Dire che

$QQ = {x: x=n/d, n,d \in ZZ, d<>0} $

è sufficiente nel primo biennio della scuola superiore?

Altra domanda da niente: cos'è un numero?

[vict85]

"fra_":Mi spiego meglio. Dire che

$QQ = {x: x=n/d, n,d \in ZZ, d<>0} $

è sufficiente nel primo biennio della scuola superiore?

Altra domanda da niente: cos'è un numero?

Secondo me se usi il linguaggio “corrente” sei più chiara che usando quella notazione... Secondo me sì è più che sufficiente (e non solo in un biennio).

Sulla seconda credo che non ci sia una definizione vera e propria. Forse qualcosa di autoreferenziale come i numeri sono gli elementi degli insiemi numerici. Non credo di avere una definizione più precisa. Il fatto è che numero è un termine nato quando ancora non esisteva la matematica (come scienza). Sono come retta o cerchio: è un “concetto primitivo”.

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":[quote="Fioravante Patrone"]Nulla vieta di parlare di intervalli in $QQ$ o in $ZZ$.
Un intervallo è una roba del tipo ${ x \in X : a < x \le b }$ e simili. Con $a,b \in X$, naturalmente. Ci sono anche i cosi del tipo $[a, \to [$, etc. Quello che importa è che $X$ sia un insieme ordinato.

Ok. Ma come definisci l'intervallo in $QQ$ cui appartengono le soluzioni della disequazione $p+1>4$?[/quote]
C'è qualcosa che mi sfugge, o la domanda va riformulata, perché la risposta mi sembra straightforward.

$]3, \to[$ per usare la deliziosa notazione di Choquet che proponevo sopra
oppure il più banale:
$]3,+oo[$

Se poi ci fosse rischio di confusione, si può sottolineare che si lavora in $QQ$, aggiungendo $QQ$ come pedice alle formule scritte sopra.
Magari così (se "MathML" funzionasse bene come LaTeX... ma spero si capisca):
$]3, \to[ _QQ$

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":[quote="Fioravante Patrone"]C'è qualcosa che mi sfugge, o la domanda va riformulata, perché la risposta mi sembra straightforward.

Sarà straightforward per te, professor che non sei altro [/quote]
Sono un professore che ha stima dei suoi "allievi"

[Maya18]

Non volevo creare problemi.... ma mi par di capire che quando ci sono gli insiemi di mezzo tutto è più complicato.
Ringrazio vict85 per il consiglio, in effetti quando sono di fronte agli alunni anch'io preferiisco introdurre in prima i razionali con il linguaggio “corrente”, ma ad un esame di abilitazione viene preteso di più.
Per la domanda su cosa è un numero penso che "qualcosa di autoreferenziale come i numeri sono gli elementi degli insiemi numerici" non andrebbe bene al mio professore di Padova.... mi direbbe "non puoi definire un numero dicendo che è un numero!" (Tutto quanto ho messo in corsivo fin'ora sono veramente parole sue!!!)

Sempre in tema di insiemi vi chiedo se la seguente è una grandiosa corbelleria:

$A ={2=3, 2 \le 0, 2 \ne 2}$

Poichè un insieme è una qualsiasi collezione di oggetti potrebbe A essere l'insieme di tre affermazioni false corrispondenti quindi al valore di verità FALSE della logica proposizionale e per cui potrei dire che $A={FALSE}$ poichè elimino gli elementi ripetuti?

Che dite, l'ho sparata grossa?

[vict85]

"fra_":Non volevo creare problemi.... ma mi par di capire che quando ci sono gli insiemi di mezzo tutto è più complicato.
Ringrazio vict85 per il consiglio, in effetti quando sono di fronte agli alunni anch'io preferiisco introdurre in prima i razionali con il linguaggio “corrente”, ma ad un esame di abilitazione viene preteso di più.
Per la domanda su cosa è un numero penso che "qualcosa di autoreferenziale come i numeri sono gli elementi degli insiemi numerici" non andrebbe bene al mio professore di Padova.... mi direbbe "non puoi definire un numero dicendo che è un numero!" (Tutto quanto ho messo in corsivo fin'ora sono veramente parole sue!!!)

Sempre in tema di insiemi vi chiedo se la seguente è una grandiosa corbelleria:

$A ={2=3, 2 \le 0, 2 \ne 2}$

Poichè un insieme è una qualsiasi collezione di oggetti potrebbe A essere l'insieme di tre affermazioni false corrispondenti quindi al valore di verità FALSE della logica proposizionale e per cui potrei dire che $A={FALSE}$ poichè elimino gli elementi ripetuti?

Che dite, l'ho sparata grossa?

Io credo sia solo un sottoinsieme dell'insieme delle proposizioni false.

[antoniopalladino]

Forse semplifico troppo, ma non si può anticipare l'esistenza dei Reali prima di affrontare lo studio delle disequazioni e parlare solo ed unicamente di intervalli in R? Del resto le disequazioni in Analisi si usano per i domini, i segni ecc. delle funzioni reali di variabile reale.
Dopo aver spiegato Q, uno può dire che Q non esaurisce tutti i numeri in quanto esistono "oggetti" come la radice quadrata di 2 che non sono razionali. Poi si passa ad equazioni, disequazioni e tutto il resto, lavorando sempre ed esclusivamente su R.
Troppo semplice?
Antonio