[EX] Un Problema di Minimo

[gugo82]

Ripropongo anche qui un esercizio che ho lasciato in English Corner ma che può essere preso come spunto per l'applicazione delle tecniche del Calcolo Differenziale a problemi provenienti da altre discipline.

***

Esercizio:

Siano $x_1 <= ... <= x_N$ numeri reali (non necessariamente distinti a due a due) ordinati in maniera non decrescente.

1. Dimostrare che la funzione $f(t) := 1/N sum_(n=1)^N |x_n - t|$ è convessa in $RR$ e dotata di minimo assoluto.

2. Determinare i valori $x^**$ che forniscono il minimo ad $f$ e calcolare $f(x^**) = min_(t in RR) f(t)$.

3. Dimostrare che la funzione $g(t) := 1/N sum_(n=1)^N (x_n - t)^2$ è strettamente convessa in $RR$ e dotata di un unico punto di minimo assoluto.

4. Determinare il valore $hat(x)$ che fornisce il minimo a $g$ e calcolare $g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t)$.

5. Confrontare i valori $f(x^**)$ e $g(hat(x))$: qual è più grande?

6. Le funzioni $f$ e $g$, nonché i valori $x^**$ ed $hat(x)$, hanno tutti immediati significati statistici: quali sono?

[mgrau]

Così, a occhio, non mi sembra la sezione giusta...
E mi pareva anche che il crossposting fosse vietato... (anche se non ho mai capito perchè)

[gugo82]

-.-"

Effettivamente, non sapevo se proporlo anche agli studenti in Secondaria o lasciarlo come spunto ai docenti in Didattica.
Lo sposto nella seconda.

Poi vorrei capire perché non sembrano le sezioni giuste... Sono problemi elementari di Calcolo Differenziale, adatti/adattabili all'ultimo anno di liceo; tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Per quanto riguarda il crossposting, è chiaro che l'intenzione del post nelle due sezioni è totalmente differente.

[Bokonon]

"gugo82":
tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Vale anche per il secondo

[gugo82]

"Bokonon":[quote="gugo82"]
tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Vale anche per il secondo[/quote]
Già, ma almeno non c’è il valore assoluto che rompe le scatole se proprio si vuole derivare…

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Siano $x_1 <= ... <= x_N$ numeri reali (non necessariamente distinti a due a due) ordinati in maniera non decrescente.

1. Dimostrare che la funzione $f(t) := 1/N sum_(n=1)^N |x_n - t|$ è convessa in $RR$ e dotata di minimo assoluto.

Ognuna delle funzioni $t |-> 1/N |x_n - t|$ è convessa, perché ottenuta dalla funzione valore assoluto $t |-> |t|$ mediante simmetria ($S_y : t = -t'$), traslazione ($T_(x_n): t' = t'' - x_n$) e riscalamento secondo una costante positiva ($R: y = Ny'$).
La $f$ è somma delle $N$ funzioni convesse $t |-> 1/N |x_n-t|$, quindi è convessa.

Visto che la funzione è convessa e che $lim_(t -> +- oo) f(t) = +oo$, la $f$ prende sicuramente minimo assoluto in qualche punto di $RR$.

"gugo82":2. Determinare i valori $x^**$ che forniscono il minimo ad $f$ e calcolare $f(x^**) = min_(t in RR) f(t)$.

Si potrebbero usare, con un po' di pazienza, i teoremi classici del Calcolo Differenziale... Tuttavia basta ragionare come segue.
Supponiamo per semplicità che i valori $x_1, ..., x_N$ non siano ripetuti, cioè che $x_m != x_n$ per ogni coppia di indici $m != n$. Preso un valore di $t < x_2$, la funzione $f$ calcolata in $t$ vale:

$f(t) = 1/N [ |x_1 - t| + sum_(n=2)^N (x_n - t)] = \{ (1/N [ (x_1 - t) + (x_2 - t) + ... + (x_N - t)], ", se " t < x_1), (1/N [ (t - x_1) + (x_2 - t) + ... + (x_N - t)], ", se " x_1 <= t < x_2):}$

e da ciò si vede che:

[*:3uli1aje] quando facciamo tendere $t -> x_1^-$, tutti gli addendi di cui è formata $f$ diminuiscono,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] quando $t=x_1$, il primo addendo è nullo e gli altri sono ancora diminuiti,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] quando $t>x_1$ e $t -> x_2^-$, i primi due addendi hanno somma costante (uguale a $x_2 - x_1 > 0$) e gli altri $N-2$ diminuiscono;[/*:m:3uli1aje][/list:u:3uli1aje]

ora, in maniera del tutto analoga, se prendiamo $x_2 <= t < x_3$ l'espressione di $f$ diventa:

$f(t) = 1/N [ (t-x_1) + (t - x_2) + (x_3 - t) + ... + (x_N-t)] = 1/N [(-x_1-x_2+x_3+...x_N) - (N-2) t]$

e quando facciamo tendere $t -> x_3^-$ la somma diminuisce...
Ragionando nell'altro verso, prendiamo $t >= x_(N-1)$ abbiamo:

$f(t) = \{ (1/N [(t-x_1) +... + (t-x_(N-1)) + (t - x_N)], ", se " t>= x_N), (1/N [(t-x_1) +... + (t-x_(N-1)) + (x_N - t)], ", se " x_(N-1) <= t < x_N):}$

osserviamo che:


[*:3uli1aje] quando facciamo tendere $t -> x_N^+$, tutti gli addendi di cui è formata $f$ diminuiscono,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] quando $t=x_N$, l'ultimo addendo è nullo e gli altri sono ancora diminuiti,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] quando $t x_(N-1)^+$, gli ultimi due addendi hanno somma costante (uguale a $x_N - x_(N-1) > 0$) e gli altri $N-2$ diminuiscono;[/*:m:3uli1aje][/list:u:3uli1aje]

ora, in maniera del tutto analoga, se prendiamo $x_(N-2) <= t < x_(N-1)$ l'espressione di $f$ diventa:

$f(t) = 1/N [ (t-x_1) + ... + (t - x_(N-2)) + (x_(N-1) - t) + (x_N-t)] = 1/N [(-x_1-... -x_(N-2)+ x_(N-1) + x_N) + (N-2) t]$

e quando facciamo tendere $t -> x_(N-2)^+$ la somma diminuisce...
Questo significa che il minimo della funzione $f$ è assunto nei valori di $t$ che si trovano "al centro" tra i punti $x_1, ..., x_N$, ossia in quei valori di $t$ che hanno alla loro sinistra tanti elementi dell'insieme $\{ x_1, ... , x_N\}$ quanti ne hanno alla loro destra.

Ora, se gli $x_n$ sono in numero dispari, i.e. se $N$ è dispari, allora l'unico punto $t$ che è "al centro" degli $x_1, ..., x_N$ è l'elemento centrale, quindi il punto che dà il minimo ad $f$ è:

$x^** = x_((N+1)/2)$

ed il minimo è:

$f(x^**) = 1/N [sum_(n<(N+1)/2) (x_((N+1)/2) - x_n) + sum_(n > (N+1)/2) (x_n - x_((N+1)/2))]$

e visto che le due somme contengono lo stesso numero di addendi si determina una semplificazione massiccia che fornisce:

$f(x^**) = min_(t in RR) f(t) = 1/N [- x_1 - ... - x_((N-1)/2) + x_((N+3)/2) + ... + x_N]$.

Se, invece, gli $x_n$ sono in numero pari, i.e. se $N$ è pari, il minimo di $f$ è assunto in qualche valore di $t$ che si trova tra i due elementi centrali, ossia per qualche $x_(N/2) <= t <= x_((N+2)/2)$. Fissato che sia un tale numero $t$, osserviamo che:

$f(t) = 1/N [sum_(n<= N/2) t-x_n + sum_(n>= (N+2)/2) x_n - t]$

e che le due somme hanno esattamente lo stesso numero di addendi, sicché i termini in $t$ semplificano e risulta:

$f(t) = 1/N [-x_1-...-x_(N/2) + x_((N+2)/2) + ... + x_N] = "costante"$;

ne viene che tutti i punti $x_(N/2) <= x^** <= x_((N+2)/2)$ danno il minimo ad $f$ e tale minimo è:

$f(x^**) = min_(t in RR) f(t) = 1/N [-x_1-...-x_(N/2) + x_((N+2)/2) + ... + x_N]$.

Quando tra gli $x_n$ ci sono elementi ripetuti, il ragionamento si può ripetere alla stessa maniera, avendo l'accortezza di riscrivere la legge di assegnazione di $f$ accorpando i termini simili.
Quindi in ogni caso il minimo di $f$ è preso nei valori "al centro" degli elementi $x_1, ..., x_N$.

"gugo82":3. Dimostrare che la funzione $g(t) := 1/N sum_(n=1)^N (x_n - t)^2$ è strettamente convessa in $RR$ e dotata di un unico punto di minimo assoluto.

La $g$ è somma di funzioni quadratiche strettamente convesse, dunque è anch'essa strettamente convessa.

Dato che $lim_(t -> +-oo) g(t) = +oo$, la $g$ è dotata di minimo assoluto.
Per stretta convessità, tale minimo è preso in un unico punto.

"gugo82":4. Determinare il valore $hat(x)$ che fornisce il minimo a $g$ e calcolare $g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t)$.

Questa cosa si può fare in molti modi.
Quello più elementare, forse, consiste nello sviluppare i quadrati e riordinare, in modo da rendersi conto che il grafico di $g$ è una parabola nella forma $g=at^2 + bt +c$ con:

[*:3uli1aje] $a := 1$,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] $b := - 2/N sum_(n=1)^N x_n$,

[/*:m:3uli1aje]
[*:3uli1aje] $c := 1/N sum_(n=1)^N x_n^2$;[/*:m:3uli1aje][/list:u:3uli1aje]

e, dato che una parabola convessa prende minimo nel vertice, troviamo:

$hat(x) = -b/(2a) = 1/N sum_(n=1)^N x_n$

ed anche:

$g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t) = 1/N sum_(n=1)^N x_n^2 - 1/N^2 sum_(n=1)^N x_n^2$.

"gugo82":6. Le funzioni $f$ e $g$, nonché i valori $x^**$ ed $hat(x)$, hanno tutti immediati significati statistici: quali sono?

Il valore $f(t)$ è il cosiddetto scarto medio, cioè la media degli errori assoluti che si commettono approssimando gli $x_1,...,x_n$ con un numero $t in RR$, mentre $g(t)$ è il quadrato dello scarto quadratico medio, cioè la media dei quadrati degli errori che si commettono approssimando gli $x_1,...,x_n$ con un $t in RR$.

I valori $x^**$ che danno il minimo ad $f$ sono le mediane degli $x_1,..,x_n$, mentre il valore $hat(x)$ che dà il minimo a $g$ è la media (aritmetica) degli $x_1,...,x_n$.

Conseguentemente, il valore $g(hat(x))$ è la varianza degli $x_1,...,x_n$ e la sua radice, i.e. $sqrt(g(hat(x)))$, è la deviazione standard.