Equazioni, disequazioni e altri problemi
Una domanda ed una richiesta ai docenti che bazzicano il forum, pur sapendo che l'anno scolastico volge al termine...
Potreste provare a chiedere ai vostri studenti se sanno dare una definizione (più o meno precisa) di equazione, disequazione, studio del segno, studio di funzione e cose di questo tipo?
Cosa vi rispondono?
Avete mai spiegato ai vostri studenti il significato di tali parole/locuzioni?
E voi cosa rispondereste se loro ve lo chiedessero?
Potreste provare a chiedere ai vostri studenti se sanno dare una definizione (più o meno precisa) di equazione, disequazione, studio del segno, studio di funzione e cose di questo tipo?
Cosa vi rispondono?
Avete mai spiegato ai vostri studenti il significato di tali parole/locuzioni?
E voi cosa rispondereste se loro ve lo chiedessero?
Risposte
Equazione: un'uguaglianza tra due espressioni di cui almeno una letterale
Grazie gio.
Una definizione simile è stata presentata anche a me durante gli anni del liceo: si parlava di "uguaglianza condizionata", se non mi ricordo male... Ma siamo lì.
Tuttavia questa definizione non mi ha mai convinto del tutto, nemmeno ai tempi del liceo.
Col passare degli anni ho capito anche il perché: essa non coglie la natura della "equazione", bensì si limita a descrivere la sua manifestazione fenomenologica, cioé a descrivere (alquanto sommariamente) il simbolo che denota la "equazione" (cioé una formula del tipo \(3x-2=0\)).
Quindi riformulo un po' meglio la domanda originale: lasciando perdere i simboli, che cos'è un'equazione?
"gio73":
Equazione: un'uguaglianza tra due espressioni di cui almeno una letterale
Una definizione simile è stata presentata anche a me durante gli anni del liceo: si parlava di "uguaglianza condizionata", se non mi ricordo male... Ma siamo lì.
Tuttavia questa definizione non mi ha mai convinto del tutto, nemmeno ai tempi del liceo.
Col passare degli anni ho capito anche il perché: essa non coglie la natura della "equazione", bensì si limita a descrivere la sua manifestazione fenomenologica, cioé a descrivere (alquanto sommariamente) il simbolo che denota la "equazione" (cioé una formula del tipo \(3x-2=0\)).
Quindi riformulo un po' meglio la domanda originale: lasciando perdere i simboli, che cos'è un'equazione?
Non puoi eliminare l'uguaglianza: è ciò che contraddistingue l'equazione. E non si tratta puramente di un simbolo ma di una relazione. Si potrebbe di fatto sostituire l'uguale con una qualsiasi relazione di equivalenza. Di fatto si tratta di stabilire se due espressioni sono compatibili in termini di una particolare relazione di equivalenza, o meglio per quali valori l'uguaglianza viene mantenuta. Può essere comunque espresso tutto in termini di annullamento di una particolare espressione.
"vict85":
Non puoi eliminare l'uguaglianza: è ciò che contraddistingue l'equazione.
Infatti non ho detto di voler eliminare l'uguaglianza, dato che so bene che quella è una delle "caratteristiche" dell'oggetto "equazione".
Tuttavia, trovo che non sia esattamente quello il punto, perché una "equazione" non è una relazione che sta lì bella e ferma come una comune uguaglianza, ma richiede un'attenzione particolare (vedi fine post).
Quello che chiedevo è, semplicemente: è possibile dare una definizione[nota]Vorrei notare esplicitamente che mi sto riferendo ad una definizione basata non su una proprietà formale, bensì sul senso comune. Il che è quello che veramente mi interessa in questa sede e che può interessare gli studenti di una scuola secondaria.[/nota] di equazione il cui scopo non sia quello della descrizione del simbolo usato per denotarla?
La domanda non è insensata, vict.
Da Matematico dovresti sapere che i simboli si usano solo per esprimere concetti già definiti in maniera più sincopata e semplice; quindi, una definizione che si rispetti non dovrebbe basarsi sulla descrizione di un simbolo, perché l'introduzione del simbolo viene dopo (ed a volte è conseguenza di) una definizione.
"vict85":
E non si tratta puramente di un simbolo ma di una relazione. Si potrebbe di fatto sostituire l'uguale con una qualsiasi relazione di equivalenza. Di fatto si tratta di stabilire se due espressioni sono compatibili in termini di una particolare relazione di equivalenza, o meglio per quali valori l'uguaglianza viene mantenuta. Può essere comunque espresso tutto in termini di annullamento di una particolare espressione.
Tutte considerazioni sensate, nelle quali scorgo il seme di quella definizione cui sono arrivato e ritengo (per il momento) abbastanza soddisfacente: in particolare, questo passaggio:
"vict85":
Di fatto si tratta di stabilire [...] per quali valori l'uguaglianza viene mantenuta.
è ottimo.
Tuttavia, non posso far altro che constatare che, così come nella definizione à la gio73, anche in tale passaggio è presente quell'elemento di disturbo che non mi convinceva da ragazzo.
Insomma, per me una "uguaglianza" è un'uguaglianza, sempre e comunque; non è che un po' lo è, un po' non lo è, a seconda di quello che succede al contorno (un po' come il gatto vivo/morto di Schroedinger).
In altre parole, trovo quello di "uguaglianza" è un concetto statico, che poco si addice a descrivere a chi ascolta il processo mentale, l'attività che sta alla base del concetto di "equazione".
Non è difficile capire a quale attività mi riferisco, poiché basta chiedersi: che cosa ci si fa con le equazioni, usualmente?
Scusami gugo ma, secondo me, un'uguaglianza è un affermazione in cui dico che due espressioni sono "legate" da una relazione di equivalenza. Però questa mia proposizione può essere vera o falsa, a posteriori verificherò (o verificheranno); a priori invece è un'uguaglianza, e perciò uso quella parola. Non so se son riuscito a spiegarmi ... 
Da grande mi son fatto talvolta la domanda che hai posto ma da studente no ...
Cordialmente, Alex
Da grande mi son fatto talvolta la domanda che hai posto ma da studente no ...
Cordialmente, Alex
Il simbolo di uguaglianza e il suo concetto non è però a rigore appartenente alla teoria delle equazioni ma a quella degli insiemi. Di per se uno potrebbe definire un'equazione come l'appartenenza all'intersezione dei grafici di due funzioni. Ma cambia poco. Tutto sommato l'importanza delle equazione sta nelle operazioni che la mantengono invariata. Insomma non siamo interessati ad una particolare formula del primo ordine ma alla sua rappresentazione concreta e alla classe delle formule del primo ordine che si rappresentano concretamente nello stesso modo.
Sì, vabbé, ma stiamo divagando troppo...
Prima di condividere qualche mia proposta aspetto di sentire qualche docente che bazzica il forum, anche per sapere se ha fatto il test con i propri studenti che dicevo nell'OP.
Prima di condividere qualche mia proposta aspetto di sentire qualche docente che bazzica il forum, anche per sapere se ha fatto il test con i propri studenti che dicevo nell'OP.
Scusate se mi intrometto non essendo un'insegnante di matematica, ma solo di economia, anche se con un debole per la matematica, per una volta vorrei spezzare una lancia in favore degli economisti (in quanto mediamente abbastanza caproni in matematica).
All'università, ai corsi di economia, ci insegnavano la distinzione tra 'equazione' e 'identità' (che aveva importanza in diversi argomenti di economia)':
Un'equazione è un'uguaglianza che si verifica soltanto per alcuni valori della (o delle) variabili incognite.
Un'identità è un'uguaglianza che si verifica per qualsiasi valore delle variabili incognite.
$5+x=3$ è equazione,
$5+2x=1+4+3x-x$ è identità (se non ho sbagliato i calcoli
)
Mi sembra una definizione di equazione molto chiara, da dire a un ragazzo, (anche se forse andrebbe completata con una descrizione formale/simbolica, come avete detto prima). E', per citare gugo, effettivamente è un'eguaglianza che un po' c'è e un po' non c'è
All'università, ai corsi di economia, ci insegnavano la distinzione tra 'equazione' e 'identità' (che aveva importanza in diversi argomenti di economia)':
Un'equazione è un'uguaglianza che si verifica soltanto per alcuni valori della (o delle) variabili incognite.
Un'identità è un'uguaglianza che si verifica per qualsiasi valore delle variabili incognite.
$5+x=3$ è equazione,
$5+2x=1+4+3x-x$ è identità (se non ho sbagliato i calcoli
)Mi sembra una definizione di equazione molto chiara, da dire a un ragazzo, (anche se forse andrebbe completata con una descrizione formale/simbolica, come avete detto prima). E', per citare gugo, effettivamente è un'eguaglianza che un po' c'è e un po' non c'è
Provo a dare la risposta che darei ad un professore se mi facesse questa domanda.
Un'equazione/disequazione consta di un problema in cui si cerca l'insieme dei valori che rendono valida una determinata uguaglianza/disuguaglianza (l'impostazione/la proposizione del problema, viene a sovrapporsi con lo stesso concetto di equazione; il fatto che ciò sia improprio è evidente dal fatto che la stessa equazione porta a risultati diversi se proposta su insiemi numerici diversi).
Un'equazione/disequazione consta di un problema in cui si cerca l'insieme dei valori che rendono valida una determinata uguaglianza/disuguaglianza (l'impostazione/la proposizione del problema, viene a sovrapporsi con lo stesso concetto di equazione; il fatto che ciò sia improprio è evidente dal fatto che la stessa equazione porta a risultati diversi se proposta su insiemi numerici diversi).
Finalmente un po' di tempo per rispondere.
Non ho potuto verificarlo in classe perché non avevo più lezione regolare.
Un'equazione, secondo quanto insegno, è l'uguaglianza tra due espressioni algebriche, a una o più variabili, che può essere verificata per
- un numero finito di valori (equazione determinata)
- nessun valore (equazione impossibile)
- infiniti valori (equazione indeterminata)
Un caso particolare tra le equazioni indeterminate sono le identità, che sono verificate per tutti i valori delle variabili ammessi dal dominio dell'equazione.
Una stessa equazione a seconda dell'insieme in cui è definita può avere diversi insiemi soluzione:
$x^2+1=0$ in $RR$ è impossibile, mentre in $CC$ ammette due soluzioni
$x=3$ in $RR$ è determinata, mentre in $RR^2$ è indeterminata.
Non ho potuto verificarlo in classe perché non avevo più lezione regolare.
Un'equazione, secondo quanto insegno, è l'uguaglianza tra due espressioni algebriche, a una o più variabili, che può essere verificata per
- un numero finito di valori (equazione determinata)
- nessun valore (equazione impossibile)
- infiniti valori (equazione indeterminata)
Un caso particolare tra le equazioni indeterminate sono le identità, che sono verificate per tutti i valori delle variabili ammessi dal dominio dell'equazione.
Una stessa equazione a seconda dell'insieme in cui è definita può avere diversi insiemi soluzione:
$x^2+1=0$ in $RR$ è impossibile, mentre in $CC$ ammette due soluzioni
$x=3$ in $RR$ è determinata, mentre in $RR^2$ è indeterminata.
Premetto che non sono né docente né laureato in matematica, ma provo ad esprimere la mia opinione:
la parola equazione ed il formalismo sono la facies moderna di un procedimento antico di risoluzione di problemi attinenti alle quantità (esprimibili con numeri).
L'etimologia evidenzia solo l'uguaglianza che distingue una equazione da una disequazione.
Per me le caratteristiche più importanti sono:
1) l'obiettivo: uno strumento potente per formulare e risolvere problemi.
2) i mezzi: una notazione sintetica e standardizzata per esprimere le relazioni tra incognite e dati noti, fissi o variabili, e le operazioni sulle variabili nonché sulle funzioni (derivate, integrali, limiti, etc...).
3) i metodi risolutivi: le regole meccaniche di trasformazione delle espressioni simboliche e la raccolta delle soluzioni per i casi più frequenti o importanti.
Navigando ho trovato alcune cose che mi sono piaciute:
http://parolematematiche.wikispaces.com/equazione
http://www.treccani.it/enciclopedia/equazioni_(Enciclopedia_dei_ragazzi)/
http://www.dti.unimi.it/~citrini/MD/equazioni/index.htm
la parola equazione ed il formalismo sono la facies moderna di un procedimento antico di risoluzione di problemi attinenti alle quantità (esprimibili con numeri).
L'etimologia evidenzia solo l'uguaglianza che distingue una equazione da una disequazione.
Per me le caratteristiche più importanti sono:
1) l'obiettivo: uno strumento potente per formulare e risolvere problemi.
2) i mezzi: una notazione sintetica e standardizzata per esprimere le relazioni tra incognite e dati noti, fissi o variabili, e le operazioni sulle variabili nonché sulle funzioni (derivate, integrali, limiti, etc...).
3) i metodi risolutivi: le regole meccaniche di trasformazione delle espressioni simboliche e la raccolta delle soluzioni per i casi più frequenti o importanti.
Navigando ho trovato alcune cose che mi sono piaciute:
http://parolematematiche.wikispaces.com/equazione
http://www.treccani.it/enciclopedia/equazioni_(Enciclopedia_dei_ragazzi)/
http://www.dti.unimi.it/~citrini/MD/equazioni/index.htm
[ot]
Io sono uscito da pochissimo dalle scuole superiori, e questa distinzione mi è naturalmente stata insegnata e ripetuta più volte, eppure né allora riuscii a capire, né tuttora capisco, per quale ragione si distinguano questi due casi. Dal mio punto di vista un'equazione o ha soluzioni, o non ne ha, non capisco cosa ci si guadagni, matematicamente o "concretamente", a discriminare sulla finitezza o meno di esse.[/ot]
"@melia":
- un numero finito di valori (equazione determinata)
(...)
- infiniti valori (equazione indeterminata)
Io sono uscito da pochissimo dalle scuole superiori, e questa distinzione mi è naturalmente stata insegnata e ripetuta più volte, eppure né allora riuscii a capire, né tuttora capisco, per quale ragione si distinguano questi due casi. Dal mio punto di vista un'equazione o ha soluzioni, o non ne ha, non capisco cosa ci si guadagni, matematicamente o "concretamente", a discriminare sulla finitezza o meno di esse.[/ot]
"veciorik":
Premetto che non sono né docente né laureato in matematica, ma provo ad esprimere la mia opinione:
la parola equazione ed il formalismo sono la facies moderna di un procedimento antico di risoluzione di problemi attinenti alle quantità (esprimibili con numeri).
L'etimologia evidenzia solo l'uguaglianza che distingue una equazione da una disequazione.
Per me le caratteristiche più importanti sono:
1) l'obiettivo: uno strumento potente per formulare e risolvere problemi.
2) i mezzi: una notazione sintetica e standardizzata per esprimere le relazioni tra incognite e dati noti, fissi o variabili, e le operazioni sulle variabili nonché sulle funzioni (derivate, integrali, limiti, etc...).
3) i metodi risolutivi: le regole meccaniche di trasformazione delle espressioni simboliche e la raccolta delle soluzioni per i casi più frequenti o importanti.
Qui non si sta discutendo di caratteristiche importanti o non, ma della sostanza della nozione di "equazione": infatti, la domanda è:
Che cos'è una "equazione"?
e non:
Qual è l'obiettivo di una "equazione"?
Com'è fatta una "equazione"? Qual è la sua fenomenologia?
Come si risolve una "equazione"?
Com'è fatta una "equazione"? Qual è la sua fenomenologia?
Come si risolve una "equazione"?
"veciorik":
Navigando ho trovato alcune cose che mi sono piaciute:
http://parolematematiche.wikispaces.com/equazione
http://www.treccani.it/enciclopedia/equazioni_(Enciclopedia_dei_ragazzi)/
http://www.dti.unimi.it/~citrini/MD/equazioni/index.htm
Nessuno dei link è entusiasmante, anzi... Ritrovo in ognuno una certa superficialità nell'affrontare la questione (delicatissima, in realtà) della definizione del termine, poiché ognuno si concentra sull'analizzare aspetti del concetto, piuttosto che il concetto in sé.
@ @melia: Siamo sempre lì; usi la stessa definizione à la gio73 che non mi convince, perché concentra l'attenzione sulla facies del concetto piuttosto che sul suo significato.
@ Epimenide:
"Epimenide93":
Provo a dare la risposta che darei ad un professore se mi facesse questa domanda.
Un'equazione/disequazione consta di un problema in cui si cerca l'insieme dei valori che rendono valida una determinata uguaglianza/disuguaglianza (l'impostazione/la proposizione del problema, viene a sovrapporsi con lo stesso concetto di equazione; il fatto che ciò sia improprio è evidente dal fatto che la stessa equazione porta a risultati diversi se proposta su insiemi numerici diversi).
Nel tuo intervento trovo germi di quel che penso anch'io (e che ho scritto più volte sul forum per quanto riguarda le EDO).
Dato che l'attività principale di uno studente di Matematica (e dei Matematici in generale) è risolvere equazioni e dato che "ciò che deve esser risolto" nel linguaggio comune è detto problema, non vedo perché nel definire "equazione" non debba esser fatto cenno al fatto che esse sono problemi (da risolvere)... Insomma, pare che venga sempre preferito focalizzare l'attenzione su "com'è fatta" un'equazione, cioé sulla sua fenomenologia[nota]Approccio à la gio73/@melia: "Un'equazione è un'uguaglianza tra quantità che contengono almeno una variabile".[/nota], piuttosto che sul "cosa ci devo fare con un'equazione", cioé con l'attività connessa con l'oggetto "equazione".
Dante scrisse che nomina sunt consequentia rerum (parafrasando Giustiniano); un Matematico a maggior ragione dovrebbe parlare in modo che definitiones sint consequentia rerum (le definizioni siano conseguenza delle cose), perché altrimenti non si può lamentare se i propri studenti si comportano in modo che agenda non sunt consequentia definitiones.
Per certi versi però la logica è puramente fenomenologica. Una formula è definita a partire dai termini ed entrambi sono definiti ricorsivamente utilizzando “formule di composizione”. Una formula è a tutti gli effetti una successione di simboli costruita in particolari modalità. Per la logica, o meglio per la poca logica matematica che ho studiato io, un'equazione è puramente un particolare tipo di formula.
D'altra parte bisognerebbe in questo senso determinare se un'equazione è la pura espressione grafica oppure la sua interpretazione all'interno dell'insieme dato o ancora se è dato dalla coppia dei due elementi. Probabilmente la comune interpretazione è la terza. Bisogna comunque dire che l'interpretazione di una equazione non la rappresenta univocamente, cioè esistono più equazione equivalenti ma graficamente differenti. In alcuni casi non sono sicuro si possa passare da una all'altra di queste equazioni equivalenti usando funzioni elementari (anzi probabilmente è quasi sempre falso). Detto questo sarebbe anche possibile definire una equazione come una classe di equivalenza sull'insieme delle equazioni formali in base a particolari operazioni elementari sui termini (sempre che sia possibile farlo senza usare equazioni).
Comunque, ammesso che l'insieme sia un gruppo abeliano rispetto alla somma ogni equazione non è altro che il problema di trovare gli zeri di una funzione o equivalentemente la controimmagine di questo zero. Ma è possibile che la definizione formale di questi concetti richieda ad un certo punto di usare il concetto di equazione o uno equivalente. Non ho approfondito troppo la questione.
Il punto è che fondamentalmente per la logica una equazione è puramente forma e, volendo, la sua potenza e flessibilità sta proprio in questo.
D'altra parte bisognerebbe in questo senso determinare se un'equazione è la pura espressione grafica oppure la sua interpretazione all'interno dell'insieme dato o ancora se è dato dalla coppia dei due elementi. Probabilmente la comune interpretazione è la terza. Bisogna comunque dire che l'interpretazione di una equazione non la rappresenta univocamente, cioè esistono più equazione equivalenti ma graficamente differenti. In alcuni casi non sono sicuro si possa passare da una all'altra di queste equazioni equivalenti usando funzioni elementari (anzi probabilmente è quasi sempre falso). Detto questo sarebbe anche possibile definire una equazione come una classe di equivalenza sull'insieme delle equazioni formali in base a particolari operazioni elementari sui termini (sempre che sia possibile farlo senza usare equazioni).
Comunque, ammesso che l'insieme sia un gruppo abeliano rispetto alla somma ogni equazione non è altro che il problema di trovare gli zeri di una funzione o equivalentemente la controimmagine di questo zero. Ma è possibile che la definizione formale di questi concetti richieda ad un certo punto di usare il concetto di equazione o uno equivalente. Non ho approfondito troppo la questione.
Il punto è che fondamentalmente per la logica una equazione è puramente forma e, volendo, la sua potenza e flessibilità sta proprio in questo.
Ma a che pro tutte queste pippe mentali?
Ce n'è davvero bisogno?
Uno studente medio non capirebbe mai le distinzioni sottili che fa vict nel suo post e, d'altra parte, il thread è proprio collegato a come gli insegnanti definiscono il termine "equazione" ad una classe (di secondaria, ma anche ai primi anni di università).
Insomma, non mi interessa una definizione astratta/logica/asettica/definitiva del termine "equazione"; mi interessa una definizione che spieghi il senso di "equazione".
E dire che un'equazione è una formula (alla maniera dei logici) non mi pare aiuti, perché le formule si leggono, non si risolvono. O no?
P.S.: Mi sembra ovvio che non mi sto riferendo al termine equazione nel senso (parzialmente improprio) che si usa, ad esempio, in locuzioni come "equazione della retta", "equazione della parabola" o "equazione del moto".
Ce n'è davvero bisogno?
Uno studente medio non capirebbe mai le distinzioni sottili che fa vict nel suo post e, d'altra parte, il thread è proprio collegato a come gli insegnanti definiscono il termine "equazione" ad una classe (di secondaria, ma anche ai primi anni di università).
Insomma, non mi interessa una definizione astratta/logica/asettica/definitiva del termine "equazione"; mi interessa una definizione che spieghi il senso di "equazione".
E dire che un'equazione è una formula (alla maniera dei logici) non mi pare aiuti, perché le formule si leggono, non si risolvono. O no?
P.S.: Mi sembra ovvio che non mi sto riferendo al termine equazione nel senso (parzialmente improprio) che si usa, ad esempio, in locuzioni come "equazione della retta", "equazione della parabola" o "equazione del moto".
Non penso che sia possibile evitare l'uso del termine uguaglianza, e approcciare il tutto in modo diverso da gio e amelia. Anche perché \(\displaystyle x+2 = 3 \) e \(\displaystyle x = 1 \) sono spesso indicate come equazioni differenti seppur equivalenti sotto ogni punto di vista ad eccezione di quello puramente grafico.
Nei primi anni di matematica comunque si introducono già le cose a cui ho fatto riferimento io. Il concetto di soluzione non viene visto ma si può costruire (e in un certo senso l'ho considerato implicitamente quando ho parlato di interpretazione[nota]Non mi sembra sia il termine tecnico, ma penso che sia sufficientemente esplicativo per gli scopi della mia risposta.[/nota]). Insomma ogni formula è associata al massimo sottoinsieme per cui \(\displaystyle \forall x,y,\dotsc [\phi(x,y,\dotsc)] \) è vera. Quello è l'insieme delle soluzioni nel caso delle equazioni, disequazioni &co.
Nei primi anni di matematica comunque si introducono già le cose a cui ho fatto riferimento io. Il concetto di soluzione non viene visto ma si può costruire (e in un certo senso l'ho considerato implicitamente quando ho parlato di interpretazione[nota]Non mi sembra sia il termine tecnico, ma penso che sia sufficientemente esplicativo per gli scopi della mia risposta.[/nota]). Insomma ogni formula è associata al massimo sottoinsieme per cui \(\displaystyle \forall x,y,\dotsc [\phi(x,y,\dotsc)] \) è vera. Quello è l'insieme delle soluzioni nel caso delle equazioni, disequazioni &co.
"Epimenide93":
... non capisco cosa ci si guadagni, matematicamente o "concretamente", a discriminare sulla finitezza o meno del numero di soluzioni
@Epimenide93
Come spiegavo ai miei geometri quando facevo i sistemi di equazioni in più variabili:
Un'equazione è un vincolo, se il sistema è indeterminato significa che ti puoi muovere lungo una certa curva-soluzione, altrimenti sei bloccato in uno o più punti, ma resti bloccato solo in quelli. Se vuoi costruire una porta devi mettere solo due vincoli (ulteriori vincoli devono essere combinazioni lineari dei precedenti) altrimenti la porta non si può aprire. Se, invece, vuoi mettere un divisorio fisso tra due ambienti i vincoli devono essere almeno 3 e non incompatibili, così starà fermo.
Forse non mi sono spiegato bene, quindi riformulo il mio pensiero con altre parole:
Identificare i problemi con le equazioni secondo me è riduttivo perché spesso i problemi reali sono espressi in un linguaggio informale, a meno che il problema non nasca già all'interno del mondo matematico. In tal caso una equazione può essere il problema solo per chi:
Una equazione è la traduzione di un problema in un linguaggio formale.
Identificare i problemi con le equazioni secondo me è riduttivo perché spesso i problemi reali sono espressi in un linguaggio informale, a meno che il problema non nasca già all'interno del mondo matematico. In tal caso una equazione può essere il problema solo per chi:
- la deve risolvere così come gli viene presentata. (studente ?) [/list:u:bzai8f89]
- la propone ad altri. (insegnante ?)[/list:u:bzai8f89]
- la codifica e se la risolve da solo. O la scambia con colleghi. (matematico ?)[/list:u:bzai8f89]
Le caratteristiche costitutive di una equazione sono, in ordine di priorità:
- 1) la presenza di incognite, altrimenti non rappresenta un problema.[/list:u:bzai8f89]
- 2) la presenza di una relazione di uguaglianza, se la soluzione richiesta è di uguaglianza tra le incognite ed valori che devono assumere per soddisfare l'equazione. Questo non esclude che l'incognita possa assumere un solo valore anche in una disequazione, dove in generale la soluzione darà intervalli di valori.[/list:u:bzai8f89]
- 3) la presenza di almeno un dato e/o di almeno una operazione, altrimenti non rappresenta un problema degno di questo nome.[/list:u:bzai8f89]
- 4) l'auspicata codifica in un linguaggio formale concordato tra chi propone il problema e chi lo risolvere. Il formalismo non è obbligatorio ma riduce la probabilità di incomprensioni dovute alla diversa interpretazione dei linguaggi informali (si veda ad esempio il vespaio sollevato da alcuni quiz nella gara QLM 2014 appena conclusa).[/list:u:bzai8f89]
- 5) la facoltativa specifica dei domini delle incognite e dei dati, per ridurre eventuali ambiguità (rif. 4).[/list:u:bzai8f89]
Nella classificazione in base al numero di soluzioni ammesse (determinata / indeterminata / impossibile) può essere utile distinguere le identità dalle equazioni indeterminate: nelle identità le soluzioni coincidono con l'intero dominio, nelle indeterminate le infinite soluzioni non esauriscono il dominio.
Quanto sopra naturalmente va adeguato alla natura dei domini, ad esempio nel caso in cui le incognite sono funzioni forse anche i dati saranno funzioni e le operazioni trasformano funzioni in altre funzioni.
@Epimenide93
IMHO considero inutile una equazione che si riduce ad una identità. Più in generale una equazione indeterminata, con infinite soluzioni, è poco "soddisfacente" oppure un indizio che il problema è stato formulato male o non è stato compreso; a meno che si tratti di funzioni.
[ot]
È già un contesto diverso. Stando alle definizioni, l'equazione reale \(\displaystyle \sin{x}=0 \) è un'equazione indeterminata. Inoltre, in maniera più o meno velata fai riferimento a dei gradi di libertà, concetto che trova la sua sistemazione nelle varie definizioni di dimensione (vettoriale, affine, topologica...). Non apprezzo particolarmente la scelta (che non so se sia del Ministero, o di chi pubblica i libri, ma certo non è dei professori) di accennare a questo fatto sapendo benissimo che non potrà essere trattato neanche nel caso più semplice (quello vettoriale). Tanto vale sorvolare completamente sulla questione, oppure formalizzarla quel minimo in più che basta per poter parlare di (co)dimensione. In ogni caso, tornando all'esempio iniziale, se l'idea è quella di dare a tutti i costi un cenno alle questioni dimensionali senza trattarle con rigore, rimane una cosa sensata per equazioni in più variabili/sistemi, ma guardando all'esempio che ho riportato, e molti altri, continuo a trovare poco convincente questa distinzione.[/ot]
"@melia":
se il sistema è indeterminato significa che ti puoi muovere lungo una certa curva-soluzione(...)
È già un contesto diverso. Stando alle definizioni, l'equazione reale \(\displaystyle \sin{x}=0 \) è un'equazione indeterminata. Inoltre, in maniera più o meno velata fai riferimento a dei gradi di libertà, concetto che trova la sua sistemazione nelle varie definizioni di dimensione (vettoriale, affine, topologica...). Non apprezzo particolarmente la scelta (che non so se sia del Ministero, o di chi pubblica i libri, ma certo non è dei professori) di accennare a questo fatto sapendo benissimo che non potrà essere trattato neanche nel caso più semplice (quello vettoriale). Tanto vale sorvolare completamente sulla questione, oppure formalizzarla quel minimo in più che basta per poter parlare di (co)dimensione. In ogni caso, tornando all'esempio iniziale, se l'idea è quella di dare a tutti i costi un cenno alle questioni dimensionali senza trattarle con rigore, rimane una cosa sensata per equazioni in più variabili/sistemi, ma guardando all'esempio che ho riportato, e molti altri, continuo a trovare poco convincente questa distinzione.[/ot]
Scusa se rispondo, pur essendo non solo un non professore ma un analfabeta in senso pieno, in matematica.
E’ proprio perché molto povero in quest’ambito, la mia risposta potrebbe essere interessante.
Equazione => attrezzo che il matematico usa per tentare di rendere uguali due cose che uguali non sono.
E’ proprio perché molto povero in quest’ambito, la mia risposta potrebbe essere interessante.
Equazione => attrezzo che il matematico usa per tentare di rendere uguali due cose che uguali non sono.
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