Equazioni, disequazioni e altri problemi
Una domanda ed una richiesta ai docenti che bazzicano il forum, pur sapendo che l'anno scolastico volge al termine...
Potreste provare a chiedere ai vostri studenti se sanno dare una definizione (più o meno precisa) di equazione, disequazione, studio del segno, studio di funzione e cose di questo tipo?
Cosa vi rispondono?
Avete mai spiegato ai vostri studenti il significato di tali parole/locuzioni?
E voi cosa rispondereste se loro ve lo chiedessero?
Potreste provare a chiedere ai vostri studenti se sanno dare una definizione (più o meno precisa) di equazione, disequazione, studio del segno, studio di funzione e cose di questo tipo?
Cosa vi rispondono?
Avete mai spiegato ai vostri studenti il significato di tali parole/locuzioni?
E voi cosa rispondereste se loro ve lo chiedessero?
Risposte
Lieto di aver innescato la discussione.
@ veciorick: Il problema è "a monte", perché leggi nella mia definizione cose che non ci sono (probabilmente, ciò è dovuto ad una tua formazione Fisico/Ingegneristica).
Quando dico che un'equazione è un problema, non intendo affatto suggerire che essa rimpiazzi o sia totalmente sovrapponibile ad un "problema pratico"[nota]Qui uso l'aggettivo "pratico", piuttosto che "reale". L'aggettivo "reale" non è che mi piaccia più di tanto, perché per usarlo dovrei avere un'idea precisa di cosa sia (e se esista) una realtà... E su questo non mi va di esprimermi.
[/nota]. In tal senso il punto di partenza del tuo post:
dice una cosa che io non ho mai pensato, né ho mai inteso scrivere su questo forum.
Nella parte di post citato, ti stai riferendo al processo di "creazione di un modello matematico di un problema pratico", modello che (usualmente) si concretizza in una "equazione" e, mi pare di capire, per te la parola problema andrebbe riferita al "processo di creazione di un modello", piuttosto che al concetto di "equazione".
Ebbene, non vedo perché debba esserci questa esclusiva. Non potrebbero essere, quello della "creazione di un modello" e quello della "equazione in sé", due problemi con caratteristiche differenti?
Tutto il resto è abbastanza condivisibile... Però, non capisco questo:
... E chi lo dice?
Non potrebbe appresentare un "problema di banale risoluzione"?
***
Per il resto, formalizzo un po' la mia idea.
A mio modesto parere, ritengo più sensata una definizione del genere:
che chiarisce diversi concetti:
@ veciorick: Il problema è "a monte", perché leggi nella mia definizione cose che non ci sono (probabilmente, ciò è dovuto ad una tua formazione Fisico/Ingegneristica).
Quando dico che un'equazione è un problema, non intendo affatto suggerire che essa rimpiazzi o sia totalmente sovrapponibile ad un "problema pratico"[nota]Qui uso l'aggettivo "pratico", piuttosto che "reale". L'aggettivo "reale" non è che mi piaccia più di tanto, perché per usarlo dovrei avere un'idea precisa di cosa sia (e se esista) una realtà... E su questo non mi va di esprimermi.
[/nota]. In tal senso il punto di partenza del tuo post:"veciorik":Una equazione è la traduzione di un problema in un linguaggio formale.
Identificare i problemi con le equazioni secondo me è riduttivo perché spesso i problemi reali sono espressi in un linguaggio informale, a meno che il problema non nasca già all'interno del mondo matematico.
dice una cosa che io non ho mai pensato, né ho mai inteso scrivere su questo forum.
Nella parte di post citato, ti stai riferendo al processo di "creazione di un modello matematico di un problema pratico", modello che (usualmente) si concretizza in una "equazione" e, mi pare di capire, per te la parola problema andrebbe riferita al "processo di creazione di un modello", piuttosto che al concetto di "equazione".
Ebbene, non vedo perché debba esserci questa esclusiva. Non potrebbero essere, quello della "creazione di un modello" e quello della "equazione in sé", due problemi con caratteristiche differenti?
Tutto il resto è abbastanza condivisibile... Però, non capisco questo:
"veciorick":
Le caratteristiche costitutive di una equazione sono, in ordine di priorità:
1) la presenza di incognite, altrimenti non rappresenta un problema.[/list:u:25ajxc95]
... E chi lo dice?
Non potrebbe appresentare un "problema di banale risoluzione"?
***
Per il resto, formalizzo un po' la mia idea.
A mio modesto parere, ritengo più sensata una definizione del genere:
Siano \(f:\operatorname{Dom} f \to B\) una funzione e \(b\) un qualsiasi elemento di \(B\).
Si chiama equazione nella variabile \(x\) il problema di stabilire se esistono ed, eventualmente, determinarli esplicitamente elementi \(x\in \operatorname{Dom} f\) per i quali valga l'uguaglianza \(f(x)=b\).
Il suddetto problema si indica sinteticamente col simbolo \(f(x)=b\).
che chiarisce diversi concetti:
- [*:25ajxc95] innanzitutto, l'equazione è un problema che va risolto;
[/*:m:25ajxc95]
[*:25ajxc95] la distinzione tra "equazione" ed "uguaglianza" diventa più netta: un'uguaglianza è una relazione esistente tra due o più elementi (di un insieme, ad esempio), mentre un'equazione è il problema di stabilire per quali valori della variabile un'uguaglianza è valida;
[/*:m:25ajxc95]
[*:25ajxc95] la risoluzione, usualmente, passa per due fasi: una dimostrazione di esistenza ed, eventualmente, una formula di rappresentazione esplicita delle soluzioni (che poi, nei casi elementari, il primo passo si fa discendere dal secondo, come fa ogni bravo ingegnere[nota]Mi riferisco al ben noto teorema di esistenza dell'ingegnere: "Se so calcolare una soluzione, allora una soluzione esiste".[/nota]);
[/*:m:25ajxc95]
[*:25ajxc95] si capisce perché, prima di svolgere un'equazione numerica elementare si calcola il cosiddetto "campo di esistenza": infatti, esso coincide col dominio \(\operatorname{Dom} f\) della funzione a primo membro;
[/*:m:25ajxc95]
[*:25ajxc95] si capisce perché le soluzioni "tentativo" che vengono fuori risolvendo "meccanicamente" un'equazione vanno messe a sistema col "campo di esistenza": infatti, sono costretto dalla definizione a cercare soluzioni dentro il \(\operatorname{Dom} f\);
[/*:m:25ajxc95]
[*:25ajxc95] la classificazione delle equazioni diviene più facile (e.g., un'equazione è detta razionale se la \(f\) è una funzione razionale, etc...).[/*:m:25ajxc95][/list:u:25ajxc95]
Inoltre, noto che un'impostazione del genere[nota]A parte la generalità, perché ogni tipo di equazione a me noto mi pare possa essere incasellato in una definizione del tipo di quella di sopra.[/nota] avrebbe il pregio di recuperare alla vita il concetto di "funzione", il quale, dopo essere stato introdotto durante la prima classe delle superiori (almeno, così mi ricordo), cade nell'oblio più totale fino al quinto anno (ricomparendo nella locuzione studio della funzione).
Le equazioni vengono introdotte per la prima volta in terza media, quindi quando si cerca di spiegare in modo intuitivo questo concetto non si possono certo tirare in ballo nozioni troppo astratte/complesse/formali.
Io quando devo spiegare ad un ragazzino di 13/14 anni cosa sia un'equazione, gli dico che è un indovinello formulato in termini matematici e la cui soluzione non è un oggetto ma è un numero.
Così come un normale indovinello fornisce alcuni indizi tramite i quali bisogna capire di quale oggetto si sta parlando (esempio: cos'è che ha una testa ma non ha un corpo?) così un'equazione esprime una proprietà che possiede il numero che si deve indovinare. Ad esempio: quale è quel numero $x$ che se si sottrae 3 al suo doppio si ottiene 5? $2x-3=5$
Io quando devo spiegare ad un ragazzino di 13/14 anni cosa sia un'equazione, gli dico che è un indovinello formulato in termini matematici e la cui soluzione non è un oggetto ma è un numero.
Così come un normale indovinello fornisce alcuni indizi tramite i quali bisogna capire di quale oggetto si sta parlando (esempio: cos'è che ha una testa ma non ha un corpo?) così un'equazione esprime una proprietà che possiede il numero che si deve indovinare. Ad esempio: quale è quel numero $x$ che se si sottrae 3 al suo doppio si ottiene 5? $2x-3=5$
"mathbells":
Io quando devo spiegare ad un ragazzino di 13/14 anni cosa sia un'equazione, gli dico che è un indovinello formulato in termini matematici e la cui soluzione non è un oggetto ma è un numero.
Che è una parafrasi della definizione usata sopra (nel caso \(f\) sia una funzione numerica).
Mi infiltro nella discussione consapevole di essere un pivellino e di poter dire una grande sciocchezza 
Suppongo che per $ b $ tu intenda un numero preciso, non una variabile, dunque come potrebbe rientrare nella tua definizione un'equazione come $ sqrt(x+1)=x-3 $ ? So che si potrebbe portare la $ x $ all'altro membro, cosicché diventi $ f(x)=sqrt(x+1)-x $ e $ b=-3 $, ma fare questo passaggio non implica l'uso del primo principio di equivalenza ("aggiungendo ad entrambi i membri di un'equazione la stessa quantità, l'equazione risultante è equivalente a quella precedente, ossia ha le stesse soluzioni"), presupponendo già l'idea di equazione?
Suppongo che per $ b $ tu intenda un numero preciso, non una variabile, dunque come potrebbe rientrare nella tua definizione un'equazione come $ sqrt(x+1)=x-3 $ ? So che si potrebbe portare la $ x $ all'altro membro, cosicché diventi $ f(x)=sqrt(x+1)-x $ e $ b=-3 $, ma fare questo passaggio non implica l'uso del primo principio di equivalenza ("aggiungendo ad entrambi i membri di un'equazione la stessa quantità, l'equazione risultante è equivalente a quella precedente, ossia ha le stesse soluzioni"), presupponendo già l'idea di equazione?
Quello è un problema minimo perché basterebbe usare due funzioni e l'intersezione dei loro domini. Comunque l'uso delle funzioni aiuta relativamente perché il dominio di una funzione di quel tipo viene vista in analisi al 5° anno e viene trovato usando disequazioni. Inoltre è probabilmente più utile usare definizioni di complessità crescente piuttosto che una unica completa ma più difficile.
"gugo82":
Che è una parafrasi della definizione usata sopra (nel caso f sia una funzione numerica)
sì, infatti. Parafrasi che però ha il vantaggio di poter essere propinata ad un bambino di terza media senza causargli gravi mal di testa
"gugo82":
...recuperare alla vita il concetto di "funzione", il quale, dopo essere stato introdotto durante la prima classe delle superiori (almeno, così mi ricordo), cade nell'oblio più totale fino al quinto anno (ricomparendo nella locuzione studio della funzione).
Parole sante! Noto spesso che studenti del biennio delle superiori hanno grosse difficoltà a maneggiare il concetto di funzione, che nei problemi di fisica è utilissimo (fondamentale direi...)
Bello indovinello, allegro e giocoso 
, ma perché no enigma, misterioso, oppure sfida, stimolante, oppure quiz, di moda, breve, internazionale, premiante, ci si gioca dicendo che deriva da "eQUIZione" 
.
Meglio di problema che ha le connotazioni negative di disagio, difficoltà, ostacoli
.
Bando alle amenità, mi pare che includere una funzione nella definizione di equazione abbia aspetti positivi ma pone anche vincoli perché rompe la simmetria nelle semplici equazioni algebriche e costringe ad anticipare nella fase di composizione lo spostamento delle variabili a sinistra del "=", mentre questo di solito si fa durante la risoluzione.
Ribadisco che IMHO le incognite sono l'elemento costitutivo primario di una equazione, comunque sia battezzata (indovinello o enigma o problema), perché senza incognite non c'è niente da indovinare o svelare o risolvere e non serve nessuna abilità e nessun impegno.
@gugo82
L'aggettivo "reale" di problema non ha valenza filosofica, lungi da me, ma si contrappone ad "apparente" ed "immaginario".
Un problema banale non è un "vero/reale problema" nel senso suddetto.
Hai azzeccato: sono un fisico come studi, un informatico come lavoro, un solutore di problemi come hobby, quasi un "rottame arruginito" come età(60), un pensionato come stato sociale, un anti-filosofo nella interpretazione delle parole.
, ma perché no enigma, misterioso, oppure sfida, stimolante, oppure quiz, di moda, breve, internazionale, premiante, ci si gioca dicendo che deriva da "eQUIZione" .Meglio di problema che ha le connotazioni negative di disagio, difficoltà, ostacoli
.Bando alle amenità, mi pare che includere una funzione nella definizione di equazione abbia aspetti positivi ma pone anche vincoli perché rompe la simmetria nelle semplici equazioni algebriche e costringe ad anticipare nella fase di composizione lo spostamento delle variabili a sinistra del "=", mentre questo di solito si fa durante la risoluzione.
Ribadisco che IMHO le incognite sono l'elemento costitutivo primario di una equazione, comunque sia battezzata (indovinello o enigma o problema), perché senza incognite non c'è niente da indovinare o svelare o risolvere e non serve nessuna abilità e nessun impegno.
@gugo82
L'aggettivo "reale" di problema non ha valenza filosofica, lungi da me, ma si contrappone ad "apparente" ed "immaginario".
Un problema banale non è un "vero/reale problema" nel senso suddetto.
Hai azzeccato: sono un fisico come studi, un informatico come lavoro, un solutore di problemi come hobby, quasi un "rottame arruginito" come età(60), un pensionato come stato sociale, un anti-filosofo nella interpretazione delle parole.
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