È più utile o dannoso dire di non fare un errore?
Ciao a tutti, alle superiori una volta mi era successo che la prof di matematica una volta ci stava per dire di stare attenti a non fare un certo errore ricorrente, ma poi ha cambiato idea e non ci ha detto qual'era perchè secondo lei in questo modo non ci veniva in mente da principio di farlo.
Secondo voi se ci sono degli errori molto comuni e molto diffusi è meglio dire quali sono con l'avvertenza di non farli o non dirli per non farli venire in mente?
Io penso che da una parte chi è un po' più attento ne gioverebbe da sapere quali sono così li evita, ma magari chi è meno attento si ricorda bene l'errore ma non si ricorderà se è quello o il suo opposto l'errore e si confonde e a volte sbaglia, quindi meglio non dirglielo.
Secondo voi se ci sono degli errori molto comuni e molto diffusi è meglio dire quali sono con l'avvertenza di non farli o non dirli per non farli venire in mente?
Io penso che da una parte chi è un po' più attento ne gioverebbe da sapere quali sono così li evita, ma magari chi è meno attento si ricorda bene l'errore ma non si ricorderà se è quello o il suo opposto l'errore e si confonde e a volte sbaglia, quindi meglio non dirglielo.
Risposte
Secondo me è ovviamente utile ma se lo studente è disattento o non interessato o non troppo acuto non farà molta differenza. Inoltre in queste cose quello che fa la differenza è la strategia globale, non questi dettagli. E se un dettaglio fa veramente la differenza vuol dire che probabilmente la conoscenza dello studente non è molto profonda. In altre parole se versi un litro d'acqua nell'oceano non si può negare che adesso ci sia più acqua ma è quasi irrilevante. Se invece versi un litro d'acqua in una vasca un po' di differenza la stai facendo ma solo perché la capacità totale è ridotta.
Beh, dipende; rispondere compiutamente significa scrivere una "fenomenologia dell'errore" e della sua capacità formativa.
- E' più istruttivo sentirsi dire che la dimostrazione "ingenua" del teorema di Hamilton-Cayley è sbagliata? E' più istruttivo scoprirlo da sé e capire il motivo? Dipende da quanto quel motivo è profondo; è una patologia o nasconde un fatto peculiare?
- E' più istruttivo sentirsi dire che alcune implicazioni sono vere solo in un verso, oppure no? Alcune volte è istruttivo trovare da soli dei controesempi (la serie armonica non converge, anche se il suo termine generale è infinitesimo), e altre non necessariamente (la funzione di Weierstraß).
- Alcune volte un fatto apparentemente ovvio (quante soluzioni ha questa diofantea? Gli zeri di questa funzione stanno su una retta? Una curva chiusa divide il piano in esattamente due regioni connesse?) è difficile ad arbitrio; in particolare per risolvere il primo sono stati fatti molti "errori" (supporre che ogni dominio sia un UFD), e oggi chiamiamo quegli errori "algebra commutativa".
Incorporare tutte queste declinazioni distinte del concetto di "errore" è abbastanza una pia illusione.
- E' più istruttivo sentirsi dire che la dimostrazione "ingenua" del teorema di Hamilton-Cayley è sbagliata? E' più istruttivo scoprirlo da sé e capire il motivo? Dipende da quanto quel motivo è profondo; è una patologia o nasconde un fatto peculiare?
- E' più istruttivo sentirsi dire che alcune implicazioni sono vere solo in un verso, oppure no? Alcune volte è istruttivo trovare da soli dei controesempi (la serie armonica non converge, anche se il suo termine generale è infinitesimo), e altre non necessariamente (la funzione di Weierstraß).
- Alcune volte un fatto apparentemente ovvio (quante soluzioni ha questa diofantea? Gli zeri di questa funzione stanno su una retta? Una curva chiusa divide il piano in esattamente due regioni connesse?) è difficile ad arbitrio; in particolare per risolvere il primo sono stati fatti molti "errori" (supporre che ogni dominio sia un UFD), e oggi chiamiamo quegli errori "algebra commutativa".
Incorporare tutte queste declinazioni distinte del concetto di "errore" è abbastanza una pia illusione.
"otta96":
Secondo voi se ci sono degli errori molto comuni e molto diffusi è meglio dire quali sono con l'avvertenza di non farli o non dirli per non farli venire in mente?
Io penso che la professoressa si riferisse a errori piuttosto marchiani, a livello di liceo.
Secondo me, se si tratta di errori ricorrenti e diffusi, è bene dirlo, ma dirlo con forza, in modo che si ricordi e lo sentano anche i più duri di orecchie, caso mai urlando, in modo che l'urlo e l'eventuale lesione del timpano lo facciano ricordare
.Ricordo un professore di analisi della Sapienza che raccontava che lui per un anno, durante il corso, ogni volta, prima di cominciare la lezione, scriveva alla lavagna $ sqrt(x^2)=|x|$. L'errore ricorrente era ovviamente $ sqrt(x^2)=x $.
Io in genere ho fatto così, per economia, ma è lo stesso, e mi sembrava che funzionasse. Certo per poche cose, non è che si può urlare spesso
.Per errori più sofisticati e 'avanzati' penso sia diverso, lì effettivamente l'errore può avere un senso didattico.
Detto questo, la professoressa non ha affatto torto a porsi il problema, si può istintivamente ricordare la cosa errata che prima non veniva in mente.
Un esempio tipico, che capitava a me, sono i false friends in inglese. Li ho sempre trovati pessimi, perché ti inducono a fare associazioni erronee che prima manco ti venivano in mente.
Ad esempio, a me non mi era mai venuto in mente che 'to demand' in inglese potesse significare 'domandare', ma una volta letto il false friend mi ritrovavo a fare una associazione che prima nel cervello non avevo.
Perciò dicevo che bisogna dirlo con forza, in modo che si ricordi e non ci si confonda.
Si comunque mi riferivo più che altro alla didattica delle superiori, con errori del tipo che ha detto gabriella127.
Abbastanza ricorrente è "qual" con l'apostrofo... 
"gugo82":
Abbastanza ricorrente è "qual" con l'apostrofo...
Ti aspettavo al varco quando ho letto “qual’ “ nella domanda.
Però va detto che su qual è e qual'è c'è un dibattito, alcuni vogliono che la grammatica sia modificata e sia accettato come corretto anche qual'è , che è diventato piuttosto frequente. Al momento non è stato modificato, ma qual'è viene considerato più accettabile che in passato, almeno in contesti non troppo formali.
Comunque qual'è è presente nella letteratura meno recente:
Qual’è il piacere che volete da me? (C. Collodi, Le avventure di Pinocchio)
Do un’occhiata alla casa e capisco qual’è la camera (F. Tozzi, Ricordi di un impiegato).
(dal dizionario Treccani).
E' possibile che sarà più in là accettato ufficialmente.
D'altra parte, ricordate che a scuola ti dicevano (almeno ai mei tempi) che non si doveva dire a me mi piace, ma a me piace? Invece adesso a me mi piace è corretto.
Qui sotto un link all'Accademia dell Crusca per il dibattito (non so quanto appassionante ) su qual è.
https://accademiadellacrusca.it/it/cont ... rafia/7435
Insomma, otta96, puoi non fare harakiri per il qual'era nella domanda
: puoi sempre dire che ti ispiri a Tozzi e Collodi, e sei del partito del qual'è con l'apostrofo, dopo approfonditi dibattiti con i cruscanti.
Comunque qual'è è presente nella letteratura meno recente:
Qual’è il piacere che volete da me? (C. Collodi, Le avventure di Pinocchio)
Do un’occhiata alla casa e capisco qual’è la camera (F. Tozzi, Ricordi di un impiegato).
(dal dizionario Treccani).
E' possibile che sarà più in là accettato ufficialmente.
D'altra parte, ricordate che a scuola ti dicevano (almeno ai mei tempi) che non si doveva dire a me mi piace, ma a me piace? Invece adesso a me mi piace è corretto.
Qui sotto un link all'Accademia dell Crusca per il dibattito (non so quanto appassionante
) su qual è.https://accademiadellacrusca.it/it/cont ... rafia/7435
Insomma, otta96, puoi non fare harakiri per il qual'era nella domanda
: puoi sempre dire che ti ispiri a Tozzi e Collodi, e sei del partito del qual'è con l'apostrofo, dopo approfonditi dibattiti con i cruscanti.
"otta96":
Io penso che da una parte chi è un po' più attento ne gioverebbe da sapere quali sono così li evita, ma magari chi è meno attento si ricorda bene l'errore ma non si ricorderà se è quello o il suo opposto l'errore e si confonde e a volte sbaglia, quindi meglio non dirglielo.
Il problema è: gli errori vanno ricordati o capiti?
"gugo82":
Abbastanza ricorrente è "qual" con l'apostrofo...
Ettepareva che lo sbagliavo
Cerco sempre di farci attenzione ma stavolta ci ho anche riflettuto lì per lì, ma alla fine ho sbagliato.
"gabriella127":
Insomma, otta96, puoi non fare harakiri per il qual'era nella domanda
Non farò harakiri ma non sapevo nemmeno di questa discussione, sarei più per il vecchio modo di pensare comunque.
"413":
Il problema è: gli errori vanno ricordati o capiti?
Meglio se capiti, ma non so quanto sia ragionevole sperare di farlo capire a tutti, già se a tutti si facesse almeno ricordare non mi sembrerebbe male.
Comunque mi riferivo più agli errori nella matematica, non mi era venuto in mente che il discorso si poteva applicare anche agli altri ambiti
Ma in effetti se ne può parlare anche negli altri ambiti.
"otta96":
Meglio se capiti, ma non so quanto sia ragionevole sperare di farlo capire a tutti, già se a tutti si facesse almeno ricordare non mi sembrerebbe male.
Ha senso dire a uno studente cosa deve fare e cosa non deve fare in un problema di "geometria analitica"? Secondo me, no. C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule". Inoltre il processo di apprendimento si basa sulla possibilità di commettere errori ed elaborare domande sugli aspetti non chiari.
Anticipare gli errori che non si devono commettere mi sembra un po' come andare in palestra a guardare gli altri fare esercizi.
Dopodiché capisco l'esigenza pratica di non bocciare 3/4 della classe...
[ot]Ma il 6 politico a chi "proprio per la matematica non è portato" non lo digerisco...
[/ot]
"413":
C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule".
Esempio?
Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3? Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale. Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.
"413":
Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3?
Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa" ti consiglio, innanzitutto, vivamente di prendere un po' in mano un buon testo di Storia della Matematica e rivedere i capitoli su Cartesio e Fermat. Poi, ti farei osservare che la teoria delle coniche può essere proprio il punto di partenza per introdurre argomenti di Algebra Lineare (e.g, trasformazioni del piano) e, insieme allo studio dei sistemi lineari, per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.
"413":
Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale.
Beh, non che serva necessariamente l'Algebra Lineare per questo...
"413":
Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.
Quando tenevo il corso di Analisi I agli ingegneri, le funzioni elementari io me le costruivo tutte... Certo, non insistevo troppo sulla teoria, ma su definizione e proprietà importanti sì.
"otta96":
Meglio se capiti, ma non so quanto sia ragionevole sperare di farlo capire a tutti, già se a tutti si facesse almeno ricordare non mi sembrerebbe male.
Non è pensabile far capire a tutti, matematica come qualsiasi altra disciplina. È pensabile far capire a molti. Per questi molti, forse dire di non fare un errore è almeno in prima battuta più dannoso, ma per gli altri è sicuramente utile (forse necessario).
Direi quindi che non esiste risposta, dipende dal soggetto: e dato che non possiamo creare classi di soli geni e classi di soli somarelli, la soluzione sta nel mezzo.
"gugo82":
per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.
Che forse è la cosa più importante che un ragazzo liceale dovrebbe portarsi a casa dallo studio delle coniche. Si tratta, di fatto, del primo approccio strutturato multidisciplinare (algebra+geometria) che si vede a scuola! Alla faccia di argomento secondario..! Al più potrei essere d'accordo sul ridurne la mole.
@gugo82 sei finito ampiamente OT, ti rispondo per correttezza, ma considerala una risposta conclusiva. Dopotutto non ho mai detto di volere, o sentirne la necessità, cambiare l'attuale programma delle scuole superiori. Non era quello il mio punto (e non m'interessa nemmeno più di tanto).
[ot]
Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.
Ti rimando a una provocazione fatta da qualcuno mooolto più autorevole di me
Nel caso non abbia mai letto un libro sulla storia e la filosofia del pensiero matematico, lo farò sicuramente.
O, al contrario, potrebbe essere il punto di arrivo dello studio dell'algebra lineare in dimensioni 2 e 3 , introducendo le coniche come luoghi degli zeri di polinomi a coefficienti reali di grado 2 in due indeterminate. Meglio? Probabilmente no. Infattibile? Sicuramente no.
Beh, non che serva necessariamente l'Algebra Lineare per questo...
[/quote]
Vero.
Non mi riferivo al corso che tenevi tu nello specifico. So per certo, ad esempio, che fino a qualche anno fa (non so se sia ancora così) spesso i corsi di Analisi 1 al PoliMi condensavano in 10 cfu sia gli argomenti di calcolo, sia le basi di algebra lineare, quindi non c'era materialmente il tempo di fare (diciamo abbozzare?) una costruzione dei numeri reali e riprendere la definizione delle funzioni elementari. Il fatto che tu sentitivi la necessità di richiamare quegli argomenti conferma indirettamente la mia sensazione che gli studenti delle superiori non escano con grandi certezze a riguardo, non penso che tu li richiamassi solo per "fissare il linguaggio".[/ot]
Ritornando on topic. Un errore comune che anticiperei agli studenti.
Un errore (o meglio due) comune che lascerei scoprire agli studenti.
[ot]
"gugo82":
Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa"
Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.
Ti rimando a una provocazione fatta da qualcuno mooolto più autorevole di me
"gugo82":
ti consiglio, innanzitutto, vivamente di prendere un po' in mano un buon testo di Storia della Matematica e rivedere i capitoli su Cartesio e Fermat.
Nel caso non abbia mai letto un libro sulla storia e la filosofia del pensiero matematico, lo farò sicuramente.
"gugo82":
Poi, ti farei osservare che la teoria delle coniche può essere proprio il punto di partenza per introdurre argomenti di Algebra Lineare (e.g, trasformazioni del piano) e, insieme allo studio dei sistemi lineari, per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.
O, al contrario, potrebbe essere il punto di arrivo dello studio dell'algebra lineare in dimensioni 2 e 3 , introducendo le coniche come luoghi degli zeri di polinomi a coefficienti reali di grado 2 in due indeterminate. Meglio? Probabilmente no. Infattibile? Sicuramente no.
"gugo82":
[quote="413"]Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale.
Beh, non che serva necessariamente l'Algebra Lineare per questo...
[/quote]
Vero.
"gugo82":
Quando tenevo il corso di Analisi I agli ingegneri, le funzioni elementari io me le costruivo tutte... Certo, non insistevo troppo sulla teoria, ma su definizione e proprietà importanti sì.
Non mi riferivo al corso che tenevi tu nello specifico. So per certo, ad esempio, che fino a qualche anno fa (non so se sia ancora così) spesso i corsi di Analisi 1 al PoliMi condensavano in 10 cfu sia gli argomenti di calcolo, sia le basi di algebra lineare, quindi non c'era materialmente il tempo di fare (diciamo abbozzare?) una costruzione dei numeri reali e riprendere la definizione delle funzioni elementari. Il fatto che tu sentitivi la necessità di richiamare quegli argomenti conferma indirettamente la mia sensazione che gli studenti delle superiori non escano con grandi certezze a riguardo, non penso che tu li richiamassi solo per "fissare il linguaggio".[/ot]
Ritornando on topic. Un errore comune che anticiperei agli studenti.
Determinare le soluzioni della disequazione [tex](x-1)(x+1)>x+1[/tex].
Soluzione (sbagliata):
[tex]\begin{align*}
(x-1)(x+1)&>x+1\\
x-1&>0\\
x&>1
\end{align*}[/tex]
Un errore (o meglio due) comune che lascerei scoprire agli studenti.
Dato il fascio di rette di equazione [tex]t(y-x+1)+(x+y)=0\lor y-x+1=0,\, t\in\mathbb{R}[/tex], determinare (se esistono) le rette del fascio tangenti alla circonferenza di equazione [tex]x^2+y^2-1/4=0[/tex].
Errore 1 (fatale durante un compito): partire in quarta senza fare prima il disegno.
Errore 2: impongo la condizione di tangenza alla circonferenza sulla retta di equazione [tex]y=\frac{t-1}{t+1}x-\frac{t}{t+1}[/tex] dipendente dal parametro [tex]t[/tex]. Soluzione (sbagliata): [tex]t=1[/tex], l'unica retta del fascio tangente alla circonferenza è [tex]y=-1/2[/tex].
Più che imporre la norma proibitiva "NON lo devi fare.", io affermerei "Questo è un errore, PERCHÉ..."
Dalla mia esperienza didattica vedo che un approccio simile è molto apprezzato, perché si sentono incoraggiate\i a riflettere.
P.S.: io al mini-corso di \(\LaTeX\) che tenni a Trieste, ho sempre scritto alla lavagna, che il comando giusto è \LaTeX, e feci vedere che nelle altre varianti il compilatore mi da errore... NON ha funzionato ovviamente.
Dalla mia esperienza didattica vedo che un approccio simile è molto apprezzato, perché si sentono incoraggiate\i a riflettere.
P.S.: io al mini-corso di \(\LaTeX\) che tenni a Trieste, ho sempre scritto alla lavagna, che il comando giusto è \LaTeX, e feci vedere che nelle altre varianti il compilatore mi da errore... NON ha funzionato ovviamente.
[ot]
Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.
Sai com'è, in queste frasi:
si parlava di "argomenti", mica di "particolare riferimento agli esercizi"... Sarà stata una svista o probabilmente il riferimento è saltato.
Ad ogni buon conto, visto che i "programmi" non esistono più (sono stati soppiantati dalle Indicazioni Nazionali, come certo saprai) il docente ha una gran libertà di scelta rispetto a cosa, e come, e quando proporre.[/ot]
"413":
@gugo82 sei finito ampiamente OT, ti rispondo per correttezza, ma considerala una risposta conclusiva. Dopotutto non ho mai detto di volere, o sentirne la necessità, cambiare l'attuale programma delle scuole superiori. Non era quello il mio punto (e non m'interessa nemmeno più di tanto).
[quote="gugo82"]
Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa"
Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.
[/quote]
Sai com'è, in queste frasi:
"413":
C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule".
"413":
Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3? Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale. Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.
si parlava di "argomenti", mica di "particolare riferimento agli esercizi"... Sarà stata una svista o probabilmente il riferimento è saltato.
Ad ogni buon conto, visto che i "programmi" non esistono più (sono stati soppiantati dalle Indicazioni Nazionali, come certo saprai) il docente ha una gran libertà di scelta rispetto a cosa, e come, e quando proporre.[/ot]
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