Domanda sui fondamenti della matematica
Salve leggendo qualche libro che parla del pensiero (in generale) nel novecento, mi sono ritrovato a leggere parti che riguardano della "crisi delle fondamenta" e mi è venuto un dubbio: attualmente esiste una teoria, o si sta costruendo una teoria, per fondare la matematica, che sia rigorosa come la teoria assiomatica degli insiemi, ma non sia "limitata" dai teoremi di incompletezza?
Se non vi reca disturbo, potreste rispondere alla mia domanda?
Se non vi reca disturbo, potreste rispondere alla mia domanda?
Risposte
In piccolo, è un po' quello che succede con la geometria euclidea (che fino al diciottesimo secolo era ritenuta "La Geometria", intesa come l'unica possibile) e quelle ottenute negandone il quinto postulato.
@Indrjo: Il discorso sulla fragilità sarebbe il caso di approfondirlo meglio.
Scrivine un po', quando hai tempo e se ne hai voglia, non lasciarlo penzolare lì...
Non fare come qualcun altro che ogni volta: eh, la "distruzione"; eh, "se incontri un buddha, uccidilo"; eh, lo "struggimento"; eh, la "falegnameria tradizionale giapponese"; etc. Poi qualcuno gli chiede di spiegare meglio la sua posizione (il che, se comprendo il grego, vorrebbe dire "istanziare" in un linguaggio appropriato il proprio pensiero) e non riesce a scegliere le parole per farsi comprendere.
Questo comportamento, in un certo modo, mi ricorda una canzone di Daniele Silvestri di tanti anni fa... Ma no, non sono accurato. In realtà, mi sà tanto di abdicazione del logos, il linguaggio che spiega attraverso il discorso ed ha il potere di trascendere, proprio della cultura greca, al linguaggio che è convenzione e descrive l'immanente, di derivazione asiatica.
P.S.: Ma tutte 'ste citazioni le insegnano in un corso di CT?
Scrivine un po', quando hai tempo e se ne hai voglia, non lasciarlo penzolare lì...
Non fare come qualcun altro che ogni volta: eh, la "distruzione"; eh, "se incontri un buddha, uccidilo"; eh, lo "struggimento"; eh, la "falegnameria tradizionale giapponese"; etc. Poi qualcuno gli chiede di spiegare meglio la sua posizione (il che, se comprendo il grego, vorrebbe dire "istanziare" in un linguaggio appropriato il proprio pensiero) e non riesce a scegliere le parole per farsi comprendere.
Questo comportamento, in un certo modo, mi ricorda una canzone di Daniele Silvestri di tanti anni fa... Ma no, non sono accurato. In realtà, mi sà tanto di abdicazione del logos, il linguaggio che spiega attraverso il discorso ed ha il potere di trascendere, proprio della cultura greca, al linguaggio che è convenzione e descrive l'immanente, di derivazione asiatica.
P.S.: Ma tutte 'ste citazioni le insegnano in un corso di CT?
Potrebbe tornare utile il capitolo sul fallibilismo (di Lakatos) presente nel libro di Gabriele Lolli (Filosofia della matematica - L'eredita' del Novecento).
@Vidocq: Lo lessi anni fa... Lo commentammo un po' anche qui sul forum (qui un'impressione istantanea di Sergio... Di 11 anni fa!).
Scritto coi piedi, proprio.
Scritto coi piedi, proprio.
@gugo82: [ot]Ti ringrazio per il tuo teorema 
Siano T e H spazi topologici. Se T è connesso e $f: T\rightarrow H$ è una applicazione continua, l'immagine f(T) è connessa.[/ot]
@Vidocq: [ot]Scusa?[/ot]
@gugo82: [ot]Il sostegno (della curva).
Solo una battuta. Cancella tutto[/ot]
Solo una battuta. Cancella tutto
[/ot]
@Vidocq:
[ot]:lol: Non vevo capito...
Ad ogni buon conto, scusa. Non è che non ti supportassi nel suggerire letture, però la brutta sensazione che ho di quel testo è ancora troppo vivida (e sono passati più di 11 anni da quando l'ho letto). Diciamo che la risposta "No, è scritto coi piedi" ormai è proprio un riflesso incondizionato.[/ot]
Tra l'altro, ti ho visto l'altra notte in tv.
[ot]:lol: Non vevo capito...
Ad ogni buon conto, scusa. Non è che non ti supportassi nel suggerire letture, però la brutta sensazione che ho di quel testo è ancora troppo vivida (e sono passati più di 11 anni da quando l'ho letto). Diciamo che la risposta "No, è scritto coi piedi" ormai è proprio un riflesso incondizionato.[/ot]
Tra l'altro, ti ho visto l'altra notte in tv.
Poi qualcuno gli chiede di spiegare meglio la sua posizione (il che, se comprendo il grego, vorrebbe dire "istanziare" in un linguaggio appropriato il proprio pensiero) e non riesce a scegliere le parole per farsi comprendere.
Quali parole non comprendi, o fingi di non comprendere?
P.S.: Ma tutte 'ste citazioni le insegnano in un corso di CT?
No, ci insegnano la matematica.
Scherzi a parte, non capisco quale sia il problema. Mi sembra di avere introdotto dei concetti non particolarmente profondi, e delle parole che a questo livello di approssimazione possono essere prese nel loro significato intuitivo ("linguaggio", "interpretare", etc.): se vuoi sapere qualcosa, o se temi che OP non abbia capito qualcosa (come potrebbe averlo capito? Il punto non è comunicare competenza, se la farà lui se vuole; il punto è stimolare una suggestione, far notare che qualcosa esiste), fai una domanda.
Se vuoi capire tu, fai una domanda, ma la tua incompetenza non è una mia colpa, hai semplicemente deciso di non studiare, o di guardare le cose da un altro punto di vista. Legittimo, ma è ridicolo che ora sia "colpa" mia se non capisci cos'è una categoria e a cosa serve.
@fmnq: Non parlavo con te.
P.S.: I nickname sono fatti (anche, o proprio) per non farsi riconoscere, mantenere un alone di mistero, fingersi qualcun altro... Se proprio volevi farti riconoscere, come nick potevi scegliere, che so, Vikhammer.
P.S.: I nickname sono fatti (anche, o proprio) per non farsi riconoscere, mantenere un alone di mistero, fingersi qualcun altro... Se proprio volevi farti riconoscere, come nick potevi scegliere, che so, Vikhammer.
Non ho scelto io il nome, purtroppo.
[ot]Comunque stai evitando la domanda a cui ti lamenti non ho risposto, e che non ho visto. Il punto è semplice, sempre il solito: quanto so, io, della matematica che fai tu? Quanto sai, tu, della matematica che faccio io? Perché tu sei autorizzato a sminuirla, e io non posso farlo, né con lei né, a maggior ragione dato che anche il tuo atteggiamento è abbastanza supponente, con te?
OP sembra più interessato di te alla questione, ma non ha (da che ricordi) le competenze adatte per formulare un quesito. Fai tu una domanda allora. Forse è una buona opportunità per imparare qualcosa che ancora non sai.[/ot]
[ot]Comunque stai evitando la domanda a cui ti lamenti non ho risposto, e che non ho visto. Il punto è semplice, sempre il solito: quanto so, io, della matematica che fai tu? Quanto sai, tu, della matematica che faccio io? Perché tu sei autorizzato a sminuirla, e io non posso farlo, né con lei né, a maggior ragione dato che anche il tuo atteggiamento è abbastanza supponente, con te?
OP sembra più interessato di te alla questione, ma non ha (da che ricordi) le competenze adatte per formulare un quesito. Fai tu una domanda allora. Forse è una buona opportunità per imparare qualcosa che ancora non sai.[/ot]
@fmnq: "Purtroppo"! 
[ot]Il problema è che tu senti la Matematica che fai sminuita da un meme (raccattato in giro) seguito da uno smile.
Chiaramente, scherzavo. Come scherzo sulla questione del nick e della falegnameria. Probabilmente, cerco di farti uscire un po' dal personaggio ed a farti parlare come senti, non come ti hanno insegnato a sentire le cose.
Ad ogni buon conto, su una cosa hai ragione: conosco vagamente quello che fate. Ogni tanto provo anche a studiarne un po'. Tuttavia il mio approccio allo studio non è militaresco, non lo è mai stato; devo trovare qualcosa che veramente mi interessi per cominiciare a studiare. E da un po' di anni a questa parte, il semplice gioco formale non mi soddisfa più (seppure mi è mai piaciuto)... Figurati lanciare freccette come in CT.[/ot]
[ot]Il problema è che tu senti la Matematica che fai sminuita da un meme (raccattato in giro) seguito da uno smile.
Chiaramente, scherzavo. Come scherzo sulla questione del nick e della falegnameria. Probabilmente, cerco di farti uscire un po' dal personaggio ed a farti parlare come senti, non come ti hanno insegnato a sentire le cose.
Ad ogni buon conto, su una cosa hai ragione: conosco vagamente quello che fate. Ogni tanto provo anche a studiarne un po'. Tuttavia il mio approccio allo studio non è militaresco, non lo è mai stato; devo trovare qualcosa che veramente mi interessi per cominiciare a studiare. E da un po' di anni a questa parte, il semplice gioco formale non mi soddisfa più (seppure mi è mai piaciuto)... Figurati lanciare freccette come in CT.
[/ot]
Grazie a tutti nuovamente per le risposte.
@fmnq:sembra essere qualcosa di incredibilmente interessante, non vedo di studiarla all'università, dopo aver appreso tutto il pregresso necessario e dopo aver raggiunto la giusta maturità (e non ricordi male, non ho e non avrò per ancora un bel pò le conoscenze per capire a pieno e formulare bene le domande). Una domanda, dato che la teoria delle categorie è sempre fondata su assiomi, come fa a raggruppare diversi sistemi di assiomi. Nel senso come permette di trovare un morfismo (si dice così?) fra ZFC e una teoria degli insiemi alternativa, se essa stessa è costruita a partire da un sistema di assiomi (che penso sia o ZFC o NGB)? Non è come se la matematica "parlasse" di se stessa, invece di metamatematica che "parla" di matematica? Non è forse questa l'autoreferenzialità che portò alla "crisi dei fondamenti"? Scusa le tante domande, ma sono curioso.
@Videocq:proverò a leggere quella parte, anche se l'esposizione dei concetti precedenti l'ho trovata poco interessante (non so se è la filosofia della matematica o il libro a non piacermi)
@fmnq:sembra essere qualcosa di incredibilmente interessante, non vedo di studiarla all'università, dopo aver appreso tutto il pregresso necessario e dopo aver raggiunto la giusta maturità (e non ricordi male, non ho e non avrò per ancora un bel pò le conoscenze per capire a pieno e formulare bene le domande). Una domanda, dato che la teoria delle categorie è sempre fondata su assiomi, come fa a raggruppare diversi sistemi di assiomi. Nel senso come permette di trovare un morfismo (si dice così?) fra ZFC e una teoria degli insiemi alternativa, se essa stessa è costruita a partire da un sistema di assiomi (che penso sia o ZFC o NGB)? Non è come se la matematica "parlasse" di se stessa, invece di metamatematica che "parla" di matematica? Non è forse questa l'autoreferenzialità che portò alla "crisi dei fondamenti"? Scusa le tante domande, ma sono curioso.
@Videocq:proverò a leggere quella parte, anche se l'esposizione dei concetti precedenti l'ho trovata poco interessante (non so se è la filosofia della matematica o il libro a non piacermi)
[ot]
No, il problema è gettare sul piatto una illazione che ridicolizza una parte della Matematica sminuendola agli occhi di chi non ha gli strumenti per comprenderla, e quindi rimane fregato dalle tue parole. Peggio ancora, questa illazione non è sottolineata da nessuno: non sai di cosa parli, ne parli lo stesso, e va bene così.
C'è un motivo per cui tu puoi dire che la teoria delle categorie è "il gioco di lanciare freccette" e io non posso dire altrettanto dell'analisi numerica, o meglio ingegneria fatta decentemente? Lo facessi, sarei ridicolizzato da chi ha le competenze per farlo. Tu, però, puoi dire quel che ti pare, tanto qui dentro chi ti controlla? Chi c'è che conosce la matematica strutturale?
Alla luce di questo, tu cosa sei? Il tuo commento contiene almeno tre illazioni distinte: le mie posizioni sono posturali, il "gioco formale" -pratica che non hai definito- è semplice -avessi la minima idea di quanto ti sbagli!-, la teoria delle categorie è il gioco di chi lancia freccette -e l'analisi allora è passare in coordinate polari, c'è davvero altro?-.
Il tutto condito dall'idea che sia "meglio" trovare "qualcosa che veramente mi interessi per cominiciare a studiare". Io non ho fatto così, ho studiato cose che non mi servivano né mi piacevano perché fare altrimenti mi avrebbe tolto credibilità,e mi avrebbe impedito una abilità linguistica che reputo essenziale ad arrogarmi il diritto di parlare della matematica nella sua totalità.
Però hey, l'arrogante ero/sono io, non tu che non hai idea di cos'è un funtore e sembri, pure, vantartene o trattarla come una lacuna dappoco.[/ot]
Questo commento non è davvero OT, ma lo metto lo stesso altrimenti vi arrabbiate (non sia mai!); o almeno credo non lo sia: OP avrà modo di capire che i fondamenti della matematica sono una questione irrisolta e irrisolvibile, perché la risposta a "come si fa matematica?" è, sempre, conseguente a una posizione filosofica e ideologica, proprio quella che stiamo scontrando adesso.
Il problema è che tu senti la Matematica che fai sminuita da un meme (raccattato in giro) seguito da uno smile.
No, il problema è gettare sul piatto una illazione che ridicolizza una parte della Matematica sminuendola agli occhi di chi non ha gli strumenti per comprenderla, e quindi rimane fregato dalle tue parole. Peggio ancora, questa illazione non è sottolineata da nessuno: non sai di cosa parli, ne parli lo stesso, e va bene così.
C'è un motivo per cui tu puoi dire che la teoria delle categorie è "il gioco di lanciare freccette" e io non posso dire altrettanto dell'analisi numerica, o meglio ingegneria fatta decentemente? Lo facessi, sarei ridicolizzato da chi ha le competenze per farlo. Tu, però, puoi dire quel che ti pare, tanto qui dentro chi ti controlla? Chi c'è che conosce la matematica strutturale?
Alla luce di questo, tu cosa sei? Il tuo commento contiene almeno tre illazioni distinte: le mie posizioni sono posturali, il "gioco formale" -pratica che non hai definito- è semplice -avessi la minima idea di quanto ti sbagli!-, la teoria delle categorie è il gioco di chi lancia freccette -e l'analisi allora è passare in coordinate polari, c'è davvero altro?-.
Il tutto condito dall'idea che sia "meglio" trovare "qualcosa che veramente mi interessi per cominiciare a studiare". Io non ho fatto così, ho studiato cose che non mi servivano né mi piacevano perché fare altrimenti mi avrebbe tolto credibilità,e mi avrebbe impedito una abilità linguistica che reputo essenziale ad arrogarmi il diritto di parlare della matematica nella sua totalità.
Però hey, l'arrogante ero/sono io, non tu che non hai idea di cos'è un funtore e sembri, pure, vantartene o trattarla come una lacuna dappoco.[/ot]
Questo commento non è davvero OT, ma lo metto lo stesso altrimenti vi arrabbiate (non sia mai!); o almeno credo non lo sia: OP avrà modo di capire che i fondamenti della matematica sono una questione irrisolta e irrisolvibile, perché la risposta a "come si fa matematica?" è, sempre, conseguente a una posizione filosofica e ideologica, proprio quella che stiamo scontrando adesso.
@fmnq:Non capisco cosa c'entra con la filosofia, la mia domanda era solo fine a sapere se usare un sistema di assiomi per valutarne altri non fosse un problema logico. Se questo ricade nel campo della filosofia o dell'ideologia, potresti spiegarmelo dato che non riesco a capire?
[ot]Dal basso della mia giuliva ignoranza permettetemi di dire
che siete proprio dei sacerdoti.
Ingessati ma pugnaci.[/ot]
Ite, missa est.
che siete proprio dei sacerdoti.
Ingessati ma pugnaci.[/ot]
Ite, missa est.
Ok, sono tornato. Andiamo con ordine.
E' una buona domanda: sì, probabilmente lo è; ma non importa a nessun matematico, perché questo è visto come un problema di filosofia della matematica; questo dovrebbe farti capire
Per il resto, torniamo alla tua domanda originaria:
Con le categorie è la stessa cosa: la domanda quale teoria degli insiemi si può fare in CT? è interessante e piuttosto complessa da esaurire: c'è una fondazione, che si chiama ETCS che cerca di rispondere al meglio che si può; è un sistema assiomatico strettamente meno potente di ZF, ma abbastanza potente da implementare la teoria della ricorsione -se ben ricordo, fu proprio per questo che Lawvere la inventò e diede quegli assiomi, e non altri- e quindi l'aritmetica. Quindi anche qui, incompletezza di qualche sorta.
Che si possa fare "tutta" l'aritmetica elementare semplicemente con una manciata di funzioni definite per ricorsione, è un teorema, che credo dimostrò Church, ti posso trovare un riferimento o ancora meglio -spero- un video di youtube dove viene implementata praticamente in functional Java tutta l'aritmetica degli interi "partendo dall'insieme vuoto".
Ci sono altre scelte, oltre a ZF ed ETCS: algebraic set theory, teoria dei tipi, teoria intuizionistica dei tipi, semantica categoriale (che sarebbe la vera risposta alla tua domanda, ma richiede più spazio e tempo di quel che posso dedicare alla faccenda), basic picture, etc.
L'invito, ora è molteplice: a studiare molto, perché questi non sono problemi da poco; a non fidarti di chi li conclude in poche parole perché "sono seghe"; a non studiare solo logica, altrimenti la tua matematica non parla più di nulla; ad avere pazienza, perché prima di avere visto un po' di matematica, questi discorsi non hai modo di capire davvero di cosa parlino; e infine, quando li hai capiti, parlane ai filosofi, che ne hanno un bisogno cane.
La mia domanda era solo fine a sapere se usare un sistema di assiomi per valutarne altri non fosse un problema logico.
E' una buona domanda: sì, probabilmente lo è; ma non importa a nessun matematico, perché questo è visto come un problema di filosofia della matematica; questo dovrebbe farti capire
Non capisco cosa c'entra con la filosofia
Per il resto, torniamo alla tua domanda originaria:
attualmente esiste una teoria, o si sta costruendo una teoria, per fondare la matematica, che sia rigorosa come la teoria assiomatica degli insiemi, ma non sia "limitata" dai teoremi di incompletezza?Qualsiasi teoria che sia abbastanza potente da esprimere l'aritmetica dei numeri interi subisce le conseguenze dei teoremi di incompletezza. Hai allora due scelte: o parli solo di cose talmente semplici da non descrivere nulla, o ti becchi l'incompletezza. Chiaramente, accettare la seconda cosa pur di parlare è un prezzo molto piccolo da pagare. Tanto più che l'incompletezza non è un limite, come ti hanno già spiegato (è quanto di più vicino all'ordine delle cose, se sposi una visione "linguistica" della matematica: va così e non puoi farci molto). Quando dico "visione linguistica" intendo che la filosofia -senza troppa distinzione tra est e ovest- ha riflettuto abbondantemente sul problema se esista un linguaggio capace di parlare compiutamente di sé; la matematica è arrivata a una sorta di risposta.
Una domanda, dato che la teoria delle categorie è sempre fondata su assiomi, come fa a raggruppare diversi sistemi di assiomi.Conosci la differenza tra linguaggio e metalinguaggio, e tra teoria e metateoria? La matematica, oggi, 2019, si fa così: si scrive una lista di assiomi, che sono ZF, e poi si decide di credere all'esistenza di un modello per questa teoria. Praticamente, decidi che esiste qualcosa che soddisfa quegli assiomi, che quindi vivono "da un'altra parte"; questa parte è la metateoria, laddove invece la teoria che ti metti a studiare è "più piccola". Si può fare di meglio? Si può cioè dimostrare che esiste un modello di ZF invece di crederci? No, purtroppo non si può, perlomeno non nel senso che speri quando lo chiedi. Il meglio che si può fare è prendere "tutte le cose che hai" e sperare che quello sia un modello di ZF; ops, però: ci sono problemi.
Con le categorie è la stessa cosa: la domanda quale teoria degli insiemi si può fare in CT? è interessante e piuttosto complessa da esaurire: c'è una fondazione, che si chiama ETCS che cerca di rispondere al meglio che si può; è un sistema assiomatico strettamente meno potente di ZF, ma abbastanza potente da implementare la teoria della ricorsione -se ben ricordo, fu proprio per questo che Lawvere la inventò e diede quegli assiomi, e non altri- e quindi l'aritmetica. Quindi anche qui, incompletezza di qualche sorta.
Che si possa fare "tutta" l'aritmetica elementare semplicemente con una manciata di funzioni definite per ricorsione, è un teorema, che credo dimostrò Church, ti posso trovare un riferimento o ancora meglio -spero- un video di youtube dove viene implementata praticamente in functional Java tutta l'aritmetica degli interi "partendo dall'insieme vuoto".
Ci sono altre scelte, oltre a ZF ed ETCS: algebraic set theory, teoria dei tipi, teoria intuizionistica dei tipi, semantica categoriale (che sarebbe la vera risposta alla tua domanda, ma richiede più spazio e tempo di quel che posso dedicare alla faccenda), basic picture, etc.
L'invito, ora è molteplice: a studiare molto, perché questi non sono problemi da poco; a non fidarti di chi li conclude in poche parole perché "sono seghe"; a non studiare solo logica, altrimenti la tua matematica non parla più di nulla; ad avere pazienza, perché prima di avere visto un po' di matematica, questi discorsi non hai modo di capire davvero di cosa parlino; e infine, quando li hai capiti, parlane ai filosofi, che ne hanno un bisogno cane.
Grazie per la risposta esaustiva, penso che quando entrerò all'università, frequenterò il corso di teoria delle categorie ( sperando che ci sia).
"mklplo":Oltre al fatto che
Non capisco cosa c'entra con la filosofia, la mia domanda era solo fine a sapere se usare un sistema di assiomi per valutarne altri non fosse un problema logico.
"fmnq":la filosofia ti serve perché impari, prima di tutto, a dubitare (sacrosanto diritto) e di conseguenza a domandarti. E ma «la matematica fornisce risposte»... le (ci) piacerebbe tanto... col cavolo... o meglio, sì più si sta lontani dalle sua fondamenta (non è un errore questa volta, eh) più si è sicuri e la matematica funziona (sembra) in virtù del fatto che un minimo riscontro di qualche tipo c'è da qualche parte. Laggiù invece la situazione è fosca. La sintesi del post precedente è «ci si prova, ma il problema c'è sempre» e che si sceglie qualcosa in virtù di quanto serve per i nostri scopi, rinunciando ad altro (sicuramente).
Conosci la differenza tra linguaggio e metalinguaggio, e tra teoria e metateoria? La matematica, oggi, 2019, si fa così: si scrive una lista di assiomi, che sono ZF, e poi si decide di credere all'esistenza di un modello per questa teoria. Praticamente, decidi che esiste qualcosa che soddisfa quegli assiomi, che quindi vivono "da un'altra parte"; questa parte è la metateoria, laddove invece la teoria che ti metti a studiare è "più piccola". Si può fare di meglio? Si può cioè dimostrare che esiste un modello di ZF invece di crederci?
"fmnq":Hanno un bisogno cane di cosa? Se i matematici non sentono il bisogno di struggersi e lacerarsi per questa fondamenta cedevoli, perché un filosofo ne avrebbe un bisogno cane? Non sarebbe invece che i matematici hanno bisogno di pensare senza vincoli e senza paura, invece di farsi sacerdoti di qualcosa? Ma io non giudico le scelte degli altri, ognuno vive come crede e agisce come vuole. Non sono qui per convincere nessuno (non è mai stato il mio obiettivo), ma sono qui per presentare uno dei tanti modi di vedere, che potete liberamente cestinare, disprezzare, odiare, aborrire.
[...] e infine, quando li hai capiti, parlane ai filosofi, che ne hanno un bisogno cane.
"mklplo":A quanto pare non c'è tanto il bisogno di aspettare l'università... Anzi! Incomincia ad allontanarti da quella matematichetta da quattro soldi del liceo, perché potresti apprezzare in un modo nuovo la teoria delle categorie prima di sentirne la necessità.
penso che quando entrerò all'università, frequenterò il corso di teoria delle categorie (sperando che ci sia)
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