Domanda sui fondamenti della matematica

[mklplo751]

Salve leggendo qualche libro che parla del pensiero (in generale) nel novecento, mi sono ritrovato a leggere parti che riguardano della "crisi delle fondamenta" e mi è venuto un dubbio: attualmente esiste una teoria, o si sta costruendo una teoria, per fondare la matematica, che sia rigorosa come la teoria assiomatica degli insiemi, ma non sia "limitata" dai teoremi di incompletezza?
Se non vi reca disturbo, potreste rispondere alla mia domanda?

[gugo82]

“Fondamenta” sono quelle dei palazzi. Si dice fondamenti.

Per quanto riguarda la domanda: non si può costruire nessuna teoria del genere.

[mklplo751]

Grazie per la correzione, e per la risposta.
Per curiosità, qual è il motivo per cui una tale teoria non è costruibile?

[fmnq]

"mklplo":Grazie per la correzione, e per la risposta.
Per curiosità, qual è il motivo per cui una tale teoria non è costruibile?

Detta rozzamente, ogni teoria abbastanza espressiva deve soffrire dell'incompletezza. Per il fatto che puoi dire abbastanza cose, sei costretto a dire cose che non sai dimostrare o confutare.

[mklplo751]

Questa sarebbe una conseguenza dei teoremi di incompletezza che in qualche modo si estende a ogni teoria sui fondamenti, oppure è un risultato differente?
P.s: tempo fa lessi un libro divulgativo che parlava di una cosa strana detta teoria delle categorie, per curiosità, tale teoria è rigorosa come la teoria degli insiemi, oppure no?

[gugo82]

Tutte le teorie matematiche sono rigorose. L’incompletezza non inficia il rigore di nulla.
Tuttavia, in ogni teoria formale “sensatamente buona” ci sono proposizioni che non si possono né dimostrare né confutare.

[fmnq]

[fmnq]

"mklplo":Questa sarebbe una conseguenza dei teoremi di incompletezza che in qualche modo si estende a ogni teoria sui fondamenti, oppure è un risultato differente?

L'asserto per cui queste cose non dimostrabili esistono "è" il contenuto dei teoremi di incompletezza. Ci vuole, però, un anno o più di studio intenso per capire cosa dicono davvero i teoremi di incompletezza. Se hai la sensazione di averli capiti, probabilmente non li hai capiti.

P.s: tempo fa lessi un libro divulgativo che parlava di una cosa strana detta teoria delle categorie, per curiosità, tale teoria è rigorosa come la teoria degli insiemi, oppure no?

Questa è una storia affascinante (e ancora aperta), ma non c'entra molto con la crisi dei fondamenti.

[gugo82]

@fmnq:
[ot]

[/ot]

[fmnq]

Ci credo che non importa a nessuno, finché non avete la minima idea di cosa faccia.
Almeno c'è qualcuno che ne sente parlare e lo trova curioso, pur se tarato da altre forme di ignoranza.

[Indrjo Dedej]

"fmnq":

Caspita se è vero! (A parte il fatto che non si è mai felici.)

[Indrjo Dedej]

"mklplo":attualmente esiste una teoria, o si sta costruendo una teoria, per fondare la matematica, che sia rigorosa come la teoria assiomatica degli insiemi, ma non sia "limitata" dai teoremi di incompletezza?

Non devi vedere i teoremi di incompletezza come qualcosa di cattivo e che ti mette i bastoni tra le gambe, eh. Per questo ti ho chiesto quali limiti pensi impongano questi teoremi alla Matematica, perché di questi teoremi (oltre a non fregargliene nulla ai più dei matematici) sono senplicemente fraintendibili. Capirai che quelli sono i limiti del pensiero umano, che l'uomo quelle categorie mentali ha e che in conseguenza di ciò produce una certa matematica.
Anzi, ti propongo un esperimento mentale. Considera di mettere un bambino da quando è nato in una stanza che lo isoli in tutti i modi dall'esterno (ovviamente si farà in modo che respiri, se no non si va da nessuna parte). Questo produrrà della conoscienza (inteso in senso lato, per esempio di che colore sono le pareti) nella sua esistenza lì dentro. Cosa succede un bel giorno? Afferma che fuori c'è il prato. Mhhh... bene, costui non riuscirà mai (a meno di buttare giù le pareti della stanza) a stabilire una volta per tutte se fuori ci sia o meno il prato. A livello gnoseologico questa è la condizione umana, volenti o nolenti.
E la Matematica va così. Vuoi dimostrare un fatto, ma non ce la fai con le teorie esistenti? Ne crei una che sia più potente ("butti giù le pareti"). Ma resta che il limite è sempre lì che ti guarda insuperabile.

[StellaMartensitica]

L'inizio è quasi quello del Mito della caverna...

[mklplo751]

Grazie a tutti per aver risposto.
@Indrjo Dedej:quindi Godel fa per la matematica, ciò che Kant fece per la conoscenza?
@gug82 e fmnq: non riesco a capire cosa significano i meme che avete messo.

[Indrjo Dedej]

(Quello di gugo82 puoi risparmiartelo, campi meglio...) Con teorie come la teoria delle categorie ti rendi conto della fragilità della Matematica, cosa che non piace a molti. Se avevi qualche certezza o qualche visione idilliaca o positiva della Matematica, con queste teorie le perderai tutte. Ti può sembrare un passaggio drastico (ti sentirai lacerato), ma così sei cosciente e padrone di quello che fai.

[mklplo751]

[ot]Perché la matematica sarebbe fragile?
Va bene che non tutto si può dimostrare, e che un teorema è tale solo se dimostrato a partire da assiomi (arbitrariamente scelti) usando regole di inferenza (anche queste scelte arbitrariamente). Ma un teorema, rimane un teorema, e quindi non capisco dove si trova la fragilità. Non penso che usando la logica booleana e il modus ponents, partendo dagli assiomi ZFC, qualcuno potrebbe mai sognarsi di dire che "2+2=5", se con "2","+","=", e "5" si intende ciò che si intende convenzionalmete.[/ot]

[Indrjo Dedej]

Dovrai capirlo da te, col tempo, se vorrai scavare in profondo, lo capirai. Altrimenti puoi scegliere di bearti della Matematica come regina delle Scienze e sbandierare ai quattro venti la sua onnipotenza e le sue applicazioni alla realtà.

"mklplo":
Ma un teorema, rimane un teorema, e quindi non capisco dove si trova la fragilità. Non penso che usando la logica booleana e il modus ponents, partendo dagli assiomi ZFC, qualcuno potrebbe mai sognarsi di dire che "2+2=5", se con "2","+","=", e "5" si intende ciò che si intende convenzionalmente.

In pratica ti stai rispondendo da solo. E queste basi da dove vengono? sono solide? affidabili? Boh. E la critica può essere condotta in maniera ancora più lacerante. Sta a te scegliere che attegiamento avere: fai come la maggior parte che è tranquilla e sicura, oppure puoi renderti conto delle fragilità e acquisire coscienza di ciò. E se quest'ultimo può sembrarti un attegiamento nichilista, non lo è: da qui comprenderai che la Matematica è al tuo pari, se non una tua creazione e per questo un oggetto che ben puoi esplorare, manipolare, smontare, rimontare, creare e distruggere avendo perso il suo "alone divino" (Gott ist tot).
Studia, scaraventa i libri che hai fuori dalla finestra, non ti servono, perché ti indirizzano troppo, ti insegnano un'arte manuale. Piuttosto pensa da te, ogni domanda tira un'altra domanda, e non ti ritenere mai sazio di quanto in profondo sei andato. Non devi avere paura di perderti perché ti perderai, non avere paura di distruggere perché distruggerai, non avere paura di perdere certezze perché le perderai. È una manifesto intellettuale questo: ich bin kein Mensch, ich bin Dynamit.

[mklplo751]

[ot]Per quanto riguarda le basi della matematica come ho detto, penso siano totalmente arbitrarie e che l'intuizione umana ci faccia pensare ad alcune basi "più reali" rispetto ad altre, come il caso della geometria euclidea. Poi io ho sempre pensato che la matematica venisse creata da noi esseri umani non appena poniamo le basi e poi sta a noi esplorare questa nostra creazione. Infatti il platonismo in matematica atto a giustificare la corrispondenza tra realtà e matematica non mi convince, infatti il mio modo di vedere il mondo è quello esposto da Kant e poi ripreso e ampliato da Cassirer. Quindi se tu intendi dire che non esiste una matematica come realtà a noi esterna da scoprire siamo d'accordo, il punto è che non capisco come si colleghi ai meme di prima e alla teoria delle categorie.[/ot]

[fmnq]

Con teorie come la teoria delle categorie ti rendi conto della fragilità della Matematica

Semmai ti rendi conto che esistono diverse matematiche: una per ogni categoria. E che solitamente i matematici che non lo sanno abitano in una sola (vivendo, poi, felici: questo significa il meme).

[mklplo751]

Ok ora è chiaro. Quindi la teoria delle categorie "riunisce" tutte i diversi tipi di matematica che si vengono a creare se si cambiano gli assiomi o le regole di inferenza?

[fmnq]

In un certo senso sì; ogni categoria ha una cosa che si chiama "linguaggio interno". Nel suo linguaggio interno è possibile interpretare "la matematica", intesa come l'insieme di calcolo proposizionale e FOL che permette di interpretare le teorie matematiche (per esempio, diciamo, gli assiomi di gruppo, o più semplicemente le operazioni di intersezione/unione/complemento tra insiemi). Ogni categoria è un universo a sé stante all'interno del quale la matematica si può istanziare; del resto, allora, la scatola che contiene le categorie deve essere "più grande" di quella che contiene la (meglio, una) matematica.