Derivata $a^x$

[francicko]

Perdonatemi se la domanda è obsoleta, mi sono sempre chiesto in che ordine cronologico sono avvenute le scoperte in matematica, stavo dando un occhiata alla derivata di una funzione esponenziale e logaritmica, nel caso $a^x$, so che la sua derivata è $(a^x)log_(e)a$, e mi chiedevo da profano, se non sapessi dell'esistenza del numero $e$ e del logaritmo neperiano,il calcolo di questa derivata sarebbe risultato impossibile? ed ugualmente quella del logaritmo?

[@melia]

Per calcolare la derivata di $a^x$ attraverso la definizione, arrivi ad un punto in cui devi calcolare il limite di una forma indeterminata che, con un cambio di variabile, diventa $lim_(x-> +oo) (1+1/x)^x$, si può dimostrare che quel limite dà un risultato finito, maggiore di 2 e minore di 3, che non è un numero razionale e dovendo dargli un nome lo si è chiamato $e$.
La costante di Nepero è, quindi, stata definita come risultato del limite di una successione, precisamente $e=lim_(n-> +oo) (1+1/n)^n$, con $n in NN$. Si può dimostrare che l'affermazione è vera anche per un numero reale non intero.

[francicko]

Pertanto se non conoscessi che $lim_(n->infty)(1+1/n)^n$ dà come risultato un numero finito, e precisamente il numero di nepero $e$, ad un certo punto mi bloccherei e non riuscirei a terminare i calcoli per la determinazione della derivata $a^x$,
mi sbaglio?
Quindi la determinazione della derivata di $a^x$ è possibile eseguirla grazie alla conoscenza di $e$?

[@melia]

Quindi è possibile calccolare la derivata di $a^x$ grazie alla conoscenza di $e$.