Come si insegnano i numeri reali?
In base alla mia (ormai lontana) esperienza di insegnate, l'introduzione dei numeri reali al liceo passa attraverso tre fasi:
1)Si mostra che esistono numeri, come $\sqrt {2}$ che non sono razionali. Bisogna quindi ampliare $\mathbb{Q}$ e lo si fa introducendo le radici ennesime e espressioni che le contengono, costruite con le usuali operazioni su $\mathbb{Q}$. Questo è (era) in sostanza il lavoro del secondo anno di liceo il cui risultato è in sostanza la definizione dell'insieme dei numeri algebrici $\mathbb{A}$.
2)Questo insieme numerico non basta per introdurre le funzioni esponenziali e trigonometriche, quindi si introducono i numeri trascendenti, citando come esempi $\pi$ o $e$ (ovviamente senza dimostrarne la trascendenza) , così il nostro sistema numerico si amplia ulteriormente fino a contenere, potenzialmente, tutti i numeri computabili con le usuali funzioni esponenziali e trigonometriche , oltre ai radicali . Chiamiamo $\mathbb{E}$ il campo numerico generato da questo insieme. Nel terzo e quarto anno si lavora essenzialmente su questo campo numerico, salvo il fatto che si comincia anche a utilizzare la corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta, introducendo quindi di fatto l'Assioma di Continuità. Qui la prima domanda: l' AC vine davvero introdotto esplicitamente e come viene spiegato?
3)quando si comincia con l'analisi matematica l'AC diventa indispensabile per dimostrare, in modo efficiente, diversi teoremi fondamentali e innanzi tutto l'esistenza dei limiti. Come viene introdotto a questo punto? Nei testi oggi in uso viene presentata qualcuna delle classiche costruzioni dei numeri reali (Cantor, Dedekind ?).
4)Non so se ai ragazzi viene spiegato che $\mathbb{R}$ è un insieme non numerabile e se questo fatto viene messo in relazione con l'AC, ma se questo fatto, che caratterizza i reali, vine presentato allora come si spiega che l'insieme $\mathbb{E}$ dei numeri usati effettivamente nei calcoli è invece numerabile? Come si risponde alla domanda (legittima): - quali sono i numeri che rendono $\mathbb{R}$ non numerabile e quindi ''continuo''?.
Occorrerebbe spiegare ai ragazzi che la ''continuità'' dei reali è dovuta essenzialmente all' esistenza di un insieme non numerabile di numeri non computabili, che cioè non siamo in grado di calcolare con una precisione data e nemmeno di definire, come invece possiamo fare con quelli computabili. Questo problema è presente nei libri testo e viene affrontato a livello liceale? O alla fine del liceo tutti gli allievi escono con la convinzione sbagliata che i numeri trascendenti sono tutti esprimibili con qualche formula matematica fatta da un numero finito di simboli e che si può quindi calcolare con la precisione voluta?
1)Si mostra che esistono numeri, come $\sqrt {2}$ che non sono razionali. Bisogna quindi ampliare $\mathbb{Q}$ e lo si fa introducendo le radici ennesime e espressioni che le contengono, costruite con le usuali operazioni su $\mathbb{Q}$. Questo è (era) in sostanza il lavoro del secondo anno di liceo il cui risultato è in sostanza la definizione dell'insieme dei numeri algebrici $\mathbb{A}$.
2)Questo insieme numerico non basta per introdurre le funzioni esponenziali e trigonometriche, quindi si introducono i numeri trascendenti, citando come esempi $\pi$ o $e$ (ovviamente senza dimostrarne la trascendenza) , così il nostro sistema numerico si amplia ulteriormente fino a contenere, potenzialmente, tutti i numeri computabili con le usuali funzioni esponenziali e trigonometriche , oltre ai radicali . Chiamiamo $\mathbb{E}$ il campo numerico generato da questo insieme. Nel terzo e quarto anno si lavora essenzialmente su questo campo numerico, salvo il fatto che si comincia anche a utilizzare la corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta, introducendo quindi di fatto l'Assioma di Continuità. Qui la prima domanda: l' AC vine davvero introdotto esplicitamente e come viene spiegato?
3)quando si comincia con l'analisi matematica l'AC diventa indispensabile per dimostrare, in modo efficiente, diversi teoremi fondamentali e innanzi tutto l'esistenza dei limiti. Come viene introdotto a questo punto? Nei testi oggi in uso viene presentata qualcuna delle classiche costruzioni dei numeri reali (Cantor, Dedekind ?).
4)Non so se ai ragazzi viene spiegato che $\mathbb{R}$ è un insieme non numerabile e se questo fatto viene messo in relazione con l'AC, ma se questo fatto, che caratterizza i reali, vine presentato allora come si spiega che l'insieme $\mathbb{E}$ dei numeri usati effettivamente nei calcoli è invece numerabile? Come si risponde alla domanda (legittima): - quali sono i numeri che rendono $\mathbb{R}$ non numerabile e quindi ''continuo''?.
Occorrerebbe spiegare ai ragazzi che la ''continuità'' dei reali è dovuta essenzialmente all' esistenza di un insieme non numerabile di numeri non computabili, che cioè non siamo in grado di calcolare con una precisione data e nemmeno di definire, come invece possiamo fare con quelli computabili. Questo problema è presente nei libri testo e viene affrontato a livello liceale? O alla fine del liceo tutti gli allievi escono con la convinzione sbagliata che i numeri trascendenti sono tutti esprimibili con qualche formula matematica fatta da un numero finito di simboli e che si può quindi calcolare con la precisione voluta?
Risposte
Mi avvicino, mi sono diplomato nel 2006 - lo stesso anno dell'Italia che ha vinto i mondiali e anche del film notte prima degli esami che richiama questo avvenimento.
Porto nel cuore il Lamberti-Mereu-Nanni usato al triennio dello scientifico PNI e in esso c'era spiegato qualcosa per quanto riguarda i numeri reali. In quarto anno la prof non si era nemmeno sognata di spiegarli accennando giusto per sfregio all'esistenza di $\sqrt(2)$ ma avevo studiato per conto mio il postulato di continuità di Dedekind e altre cose trovate sui libri.
Ricordo che nella successiva interrogazione ho citato tutto e la prof. m'ha detto che "sono cose molto importanti ma non si fanno alle superiori". Dalla serie, tanto per incoraggiare gli interessi personali.
Quando ho seguito io, dunque, non ho fatto praticamente un tubo di numeri reali di costruzioni dei reali e altre cose tranne qualche semplice proprietà.
Porto nel cuore il Lamberti-Mereu-Nanni usato al triennio dello scientifico PNI e in esso c'era spiegato qualcosa per quanto riguarda i numeri reali. In quarto anno la prof non si era nemmeno sognata di spiegarli accennando giusto per sfregio all'esistenza di $\sqrt(2)$ ma avevo studiato per conto mio il postulato di continuità di Dedekind e altre cose trovate sui libri.
Ricordo che nella successiva interrogazione ho citato tutto e la prof. m'ha detto che "sono cose molto importanti ma non si fanno alle superiori". Dalla serie, tanto per incoraggiare gli interessi personali.
Quando ho seguito io, dunque, non ho fatto praticamente un tubo di numeri reali di costruzioni dei reali e altre cose tranne qualche semplice proprietà.
Grazie Zero87. Quindi all'uscita dal liceo avevi una scarsa conoscenza dei numeri reali ( anch'io, quarant'anni prima). Ma è una situazione generalizzata? C'è qualche lavoro di ricerca sulla didattica di questo argomento o su come è affrontato nei libri di testo?
"eminova":
Grazie Zero87. Quindi all'uscita dal liceo avevi una scarsa conoscenza dei numeri reali ( anch'io, quarant'anni prima).
Sì, ma non so come vanno attualmente le cose perché i programmi sono molto cambiati (es. si insegnano l'induzione e le equazioni differenziali). Dovrebbe rispondere qualcuno più aggiornato di me che sia studente o professore.
Sul libro di testo che ho citato, ricordo comunque che qualcosa c'era scritto anche se in modo lontano da quanto visto all'università.
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