Certe formule sulle rette sono superflue?
Sto leggendo un libro delle superiori e mi sembra che si insegnino delle formule che possono essere facilmente sostituite con il ragionamento.
Ad esempio, non mi sembra che in quinta me le ricordassi, eppure ragionavo sulle proprietà delle curve in generale e le risolvevo.
Ad esempio la retta che passa per due punti $(x_A, y_A); (x_b, y_b)$ ha come costanti le soluzioni del sistema delle rette generiche passanti per i due punti:
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q):}$
Se al sistema si aggiunge l'equazione generica della retta, ecco che si trova direttamente l'equazione della retta da trovare.
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q), (y=mx+q):}$
Per verificare se tre punti sono allineati, basta aggiungere l'equazione della retta generica generica passante per il terzo punto e il sistema viene VERO se e solo se sono allineati.
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q), (y_C=mx_C+q):}$
In modo simile, la retta $y=mq$ passante per un punto $(x_P, y_P)$ e con m noto $m_0$ ha come $q$ la soluzione dell'equazione:
$y_P=m_0x_P+q $
Per avere direttamente l'equazione della retta si aggiunge la retta generica, con l'm noto:
$\{(y_P=m_0x_P+q),(y=m_0x+q):}$
Mi sembrerebbe più utile insegnare a risolvere i problemi così, in questo modo lo studente è costretto a ragionare, a utilizzare la proprietà generale delle curve per cui $P=(x_P,y_P) in curva(x,y) iff curva(x_P,y_P)$, e ad impostare i problemi utilizzando i sistemi e quindi la logica in modo opportuno.
Ad esempio, non mi sembra che in quinta me le ricordassi, eppure ragionavo sulle proprietà delle curve in generale e le risolvevo.
Ad esempio la retta che passa per due punti $(x_A, y_A); (x_b, y_b)$ ha come costanti le soluzioni del sistema delle rette generiche passanti per i due punti:
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q):}$
Se al sistema si aggiunge l'equazione generica della retta, ecco che si trova direttamente l'equazione della retta da trovare.
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q), (y=mx+q):}$
Per verificare se tre punti sono allineati, basta aggiungere l'equazione della retta generica generica passante per il terzo punto e il sistema viene VERO se e solo se sono allineati.
$\{(y_A=mx_A+q),(y_B=mx_B+q), (y_C=mx_C+q):}$
In modo simile, la retta $y=mq$ passante per un punto $(x_P, y_P)$ e con m noto $m_0$ ha come $q$ la soluzione dell'equazione:
$y_P=m_0x_P+q $
Per avere direttamente l'equazione della retta si aggiunge la retta generica, con l'm noto:
$\{(y_P=m_0x_P+q),(y=m_0x+q):}$
Mi sembrerebbe più utile insegnare a risolvere i problemi così, in questo modo lo studente è costretto a ragionare, a utilizzare la proprietà generale delle curve per cui $P=(x_P,y_P) in curva(x,y) iff curva(x_P,y_P)$, e ad impostare i problemi utilizzando i sistemi e quindi la logica in modo opportuno.
Risposte
Su questo sfondi una porta aperta.
Sono d'accordo che il 70% delle formule di geometria analitica sono superflue, ma spesso alleggeriscono i calcoli.
Sono d'accordo che il 70% delle formule di geometria analitica sono superflue, ma spesso alleggeriscono i calcoli.
L'unica equazione da sapere di una retta è $y-y_0=m(x-x_0)$, il resto sono tutte cose inutili, e i libri delle superiori ne sono pieni
In realtà, l'unica formula da sapere non è quella, che non restituisce tutte le possibili equazioni delle rette (quelle verticali dove le mettiamo? sotto il tappeto?)...
Al massimo, l'equazione della retta passante per due punti in forma simmetrica "intera" (cioè senza frazioni che rompono le balle), tipo $(x_2-x_1)(y-y_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)$.
Ma ad ogni buon conto, non è affatto inutile conoscere tante formule oppure tanti modi diversi di rappresentare lo stesso oggetto!
Infatti, molte volte mi sono riuscito a districare velocemente dalle maglie di un problema sapendo quale tra le innumerevoli "formule di rappresentazione" (che conoscevo) fosse quella di uso più immediato e più semplice rispetto ai dati del problema.
Mia personalissima opinione: se si punta al solo ragionamento, oppure alla sola descrizione qualitativa degli oggetti, si corre il rischio di condannare gli studenti a calcoli immani oppure ad un eterno ritorno sulla dimostrazione di formule che dovrebbero essere mandate "a memoria"...
Mi si dirà: ormai i ragazzi si vanno a cercare le formule su internet e trovano di tutto.
Rispondo io: questo non è un argomento valido. Il web non è fonte di conoscenza, proprio come non era fonte di conoscenza chiedere un aiuto ad un proprio vicino di casa quando egli era del tutto incompetente. Insomma, proprio perchè in giro sul web si trova di tutto è meglio conoscere di più, così si riescono a distinguere le cose utili dalla spazzatura.
Al massimo, l'equazione della retta passante per due punti in forma simmetrica "intera" (cioè senza frazioni che rompono le balle), tipo $(x_2-x_1)(y-y_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)$.
Ma ad ogni buon conto, non è affatto inutile conoscere tante formule oppure tanti modi diversi di rappresentare lo stesso oggetto!
Infatti, molte volte mi sono riuscito a districare velocemente dalle maglie di un problema sapendo quale tra le innumerevoli "formule di rappresentazione" (che conoscevo) fosse quella di uso più immediato e più semplice rispetto ai dati del problema.
Mia personalissima opinione: se si punta al solo ragionamento, oppure alla sola descrizione qualitativa degli oggetti, si corre il rischio di condannare gli studenti a calcoli immani oppure ad un eterno ritorno sulla dimostrazione di formule che dovrebbero essere mandate "a memoria"...
Mi si dirà: ormai i ragazzi si vanno a cercare le formule su internet e trovano di tutto.
Rispondo io: questo non è un argomento valido. Il web non è fonte di conoscenza, proprio come non era fonte di conoscenza chiedere un aiuto ad un proprio vicino di casa quando egli era del tutto incompetente. Insomma, proprio perchè in giro sul web si trova di tutto è meglio conoscere di più, così si riescono a distinguere le cose utili dalla spazzatura.
@Vulplasir
Adesso non esageriamo ... sono arciconvinto che vadano insegnati soprattutto i concetti ma non si può sempre riscoprire l'acqua calda ...
Secondo il tuo ragionamento i prodotti notevoli sono inutili ma, a parte il risparmio di tempo, voglio vedere scomporre, semplificare o risolvere un'espressione se non si ha un po' di dimestichezza con essi ... oppure non mi pare che i vari problemi di geometria che girano nelle sezioni qui attorno vengano risolti partendo dai postulati di Euclide, anzi vedo rispuntare teoremi nascosti chissà dove ...
Cordialmente, Alex
Adesso non esageriamo ... sono arciconvinto che vadano insegnati soprattutto i concetti ma non si può sempre riscoprire l'acqua calda ...
Secondo il tuo ragionamento i prodotti notevoli sono inutili ma, a parte il risparmio di tempo, voglio vedere scomporre, semplificare o risolvere un'espressione se non si ha un po' di dimestichezza con essi ... oppure non mi pare che i vari problemi di geometria che girano nelle sezioni qui attorno vengano risolti partendo dai postulati di Euclide, anzi vedo rispuntare teoremi nascosti chissà dove ...
Cordialmente, Alex
Vulplasir ha esagerato, ma non troppo.
Alla fine è molto meglio imparare a ragionare che imparare a risolvere problemi sulle rette. Se uno deve ricavarsi cinque o sei volte l'equazione della retta perpendicolare alla retta data e passante per un punto, alla fine non saprà la formula a memoria, ci metterà più tempo a risolvere i problemi, ma potrà ricavarsela ancora in futuro.
Inoltre avrà imparato a fare ragionamenti di geometria analitica in generale. Se uno studente al primo anno ragiona come Vulplasir, secondo me non avrà più difficoltà con le equazioni di luoghi geometrici.
Alla fine è molto meglio imparare a ragionare che imparare a risolvere problemi sulle rette. Se uno deve ricavarsi cinque o sei volte l'equazione della retta perpendicolare alla retta data e passante per un punto, alla fine non saprà la formula a memoria, ci metterà più tempo a risolvere i problemi, ma potrà ricavarsela ancora in futuro.
Inoltre avrà imparato a fare ragionamenti di geometria analitica in generale. Se uno studente al primo anno ragiona come Vulplasir, secondo me non avrà più difficoltà con le equazioni di luoghi geometrici.
Il punto non è quello, nessuno discute che sia fondamentale ragionare piuttosto che imparare solamente a memoria; purtroppo però NON puoi ricominciare ogni volta dall'alfabeto, volente o nolente ci sono tante cose che è opportuno ricordare altrimenti succede quello che dice gugo ...
"gugo82":
... se si punta al solo ragionamento, oppure alla sola descrizione qualitativa degli oggetti, si corre il rischio di condannare gli studenti a calcoli immani oppure ad un eterno ritorno sulla dimostrazione di formule che dovrebbero essere mandate "a memoria"...
Non si potrebbe fare un percorso di insegnamento ibrido? Si spiega il ragionamento, poi per un po' di tempo la perpendicolare che passa per un punto la si fa fare agli studenti. Successivamente si fa notare che si può generalizzare: "ragazzi vedete, se chiamiamo y=mx+q la retta e (a;b) il punto, la formula della perpendicolare che passa per (a;b) è sempre...".
Anche perché il tempo passato a rifare quegli esercizi senza aver generalizzato non è tempo perso, è tempo guadagnato. Secondo me imparare a procedere in modo rigoroso vale molto più che imparare a trovare velocemente la perpendicolare per un punto.
Anche perché il tempo passato a rifare quegli esercizi senza aver generalizzato non è tempo perso, è tempo guadagnato. Secondo me imparare a procedere in modo rigoroso vale molto più che imparare a trovare velocemente la perpendicolare per un punto.
E chi ti dice che non si faccia anche così? Non esiste un metodo unico per insegnare, ogni insegnante è diverso, ognuno ha il suo metodo, senza contare che le "cose" cambiano continuamente ...
Sinceramente non ho mai visto nessuno (almeno nelle superiori) limitarsi a "fornire" formule e basta (quantomeno sui punti fondamentali); anche i più "scarsi" almeno "tentano" di trasmettere concetti, non solo metodi e algoritmi.
Ci sarà sicuramente quell'insegnante che richiede si conoscano tutte le formule degli archi associati (IMHO inutili) ma sono altrettanto sicuro che avrà spiegato bene il cerchio goniometrico con relativi annessi (IMHO fondamentali) ...
Cordialmente, Alex
Sinceramente non ho mai visto nessuno (almeno nelle superiori) limitarsi a "fornire" formule e basta (quantomeno sui punti fondamentali); anche i più "scarsi" almeno "tentano" di trasmettere concetti, non solo metodi e algoritmi.
Ci sarà sicuramente quell'insegnante che richiede si conoscano tutte le formule degli archi associati (IMHO inutili) ma sono altrettanto sicuro che avrà spiegato bene il cerchio goniometrico con relativi annessi (IMHO fondamentali) ...
Cordialmente, Alex
Ok, per me è passato tanto tempo dal liceo. Mi sembra di ricordare che in quinta, riprendendo le funzioni per l'analisi, mi servivano delle formule che non ricordavo e allora facevo sempre il ragionamento del sistema di equazioni.
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