Analisi Reale e Analisi Funzionale: quale prima?
È una domanda che ammette una risposta soggettiva e opinabile. La propongo qui per sentire i vari pareri.
Parliamo di Analisi Reale (Misura e Integrazione Astratta, Spazi $L^p$) e di Analisi Funzionale classica (Spazi di Banach, di Hilbert, cenni agli Spazi vettoriali topologici in generale). Se foste voi a doverne scegliere l'ordine, quale scegliereste prima? E, soprattutto, perché?
Dico la mia:
Secondo il mio gusto personale preferirei mettere prima AF, che in qualche modo estende l'algebra lineare al caso infinito dimensionale, per poi, una volta formate le idee e concetti "usarle" in AR nella teoria degli spazi $L^p$. Su questa linea[nota]In realtà la teoria della misura è il primo capitolo, ma la teoria degli spazi $L^p$ viene fatta dopo i capitoli sulla topologia e AF[/nota] c'è ad esempio il magnifico (non smetterò mai di elogiarlo) testo di Folland, "Real Analysis". Chiaramente argomenti di AF più avanzati rimandarli successivamente. Inoltre, e qui esprimo un'opinione strettamente personale, trovo l'AR ben più difficile e piena di cavilli che l'AF elementare che mi sembrerebbe naturale fare prima.
D'altro canto capisco che prima vedere la teoria degli spazi $L^p$ possa fungere, per chi è particolarmente vicino alle idee dell'analisi, da "appiglio" per le idee astratte proprie dell'AF. Mi sembra di notare che molti rimandano lo studio dell'AF solo dopo aver fatto AR e spazi $L^p$. Rudin è su questa linea, anche se subito dopo il capitolo sugli spazi $L^p$ recupera con due capitoletti su Banach e Hilbert.
Voi che ne dite?
Vi ringrazio anticipatamente per la partecipazione
Parliamo di Analisi Reale (Misura e Integrazione Astratta, Spazi $L^p$) e di Analisi Funzionale classica (Spazi di Banach, di Hilbert, cenni agli Spazi vettoriali topologici in generale). Se foste voi a doverne scegliere l'ordine, quale scegliereste prima? E, soprattutto, perché?
Dico la mia:
Secondo il mio gusto personale preferirei mettere prima AF, che in qualche modo estende l'algebra lineare al caso infinito dimensionale, per poi, una volta formate le idee e concetti "usarle" in AR nella teoria degli spazi $L^p$. Su questa linea[nota]In realtà la teoria della misura è il primo capitolo, ma la teoria degli spazi $L^p$ viene fatta dopo i capitoli sulla topologia e AF[/nota] c'è ad esempio il magnifico (non smetterò mai di elogiarlo) testo di Folland, "Real Analysis". Chiaramente argomenti di AF più avanzati rimandarli successivamente. Inoltre, e qui esprimo un'opinione strettamente personale, trovo l'AR ben più difficile e piena di cavilli che l'AF elementare che mi sembrerebbe naturale fare prima.
D'altro canto capisco che prima vedere la teoria degli spazi $L^p$ possa fungere, per chi è particolarmente vicino alle idee dell'analisi, da "appiglio" per le idee astratte proprie dell'AF. Mi sembra di notare che molti rimandano lo studio dell'AF solo dopo aver fatto AR e spazi $L^p$. Rudin è su questa linea, anche se subito dopo il capitolo sugli spazi $L^p$ recupera con due capitoletti su Banach e Hilbert.
Voi che ne dite?
Vi ringrazio anticipatamente per la partecipazione
Risposte
"Emar":Che per costruire gli spazi \(\displaystyle L^p\) ed \(\displaystyle\ell^p\) (con \(\displaystyle p\in[1,+\infty[\cup\{\infty\}\)) hai bisogno solo della teoria della misura.
...Voi che ne dite?...
Se li vuoi studiare come spazi di Banach, hai bisogno della AF!, e comunque in AF è richiesta almeno la conoscenza della teoria della misura di Lebesgue e di alcuni teoremi sulla convergenza in misura...
io invece farei prima analisi reale, per motivi di continuità dei corsi di analisi.
Diciamo che fai due corsi di analisi base (1 e 2), e che nel due vedi gli integrali multipli secondo riemann e le forme differenziali. E' una diretta espansione studiare l'integrale astratto e la teoria della misura correlata, introducendo alla fine gli spazi Lp. Partendo da questi poi inizi analisi funzionale.
In realtà poi la divisione non è cosi marcata nella pratica, ci sono corsi di analisi reale dove si fanno gli spazi di Hilbert e corsi di analisi funzionale dove si vede la teoria della misura astratta.
La cosa migliore secondo me sarebbe poi poterli fare in parallelo (sempre come due corsi separati), ma sono pochi i posti dove si può fare (es. alla statale di milano)
Diciamo che fai due corsi di analisi base (1 e 2), e che nel due vedi gli integrali multipli secondo riemann e le forme differenziali. E' una diretta espansione studiare l'integrale astratto e la teoria della misura correlata, introducendo alla fine gli spazi Lp. Partendo da questi poi inizi analisi funzionale.
In realtà poi la divisione non è cosi marcata nella pratica, ci sono corsi di analisi reale dove si fanno gli spazi di Hilbert e corsi di analisi funzionale dove si vede la teoria della misura astratta.
La cosa migliore secondo me sarebbe poi poterli fare in parallelo (sempre come due corsi separati), ma sono pochi i posti dove si può fare (es. alla statale di milano)
"sapo93":Idea condivisibile, ma non saprei dire cosa si guadagnerebbe se non si crea una sinergia tra i due corsi!
...La cosa migliore secondo me sarebbe poi poterli fare in parallelo (sempre come due corsi separati)...
"Emar":
È una domanda che ammette una risposta soggettiva e opinabile. La propongo qui per sentire i vari pareri.
Parliamo di Analisi Reale (Misura e Integrazione Astratta, Spazi $L^p$) e di Analisi Funzionale classica (Spazi di Banach, di Hilbert, cenni agli Spazi vettoriali topologici in generale). Se foste voi a doverne scegliere l'ordine, quale scegliereste prima? E, soprattutto, perché?
My two cents...
La risposta è: dipende da come si vuole impostare/è stato impostato il corso di AF.
Se AF ha un taglio molto astratto, ci si può accontentare di fornire esempi di spazi di Hilbert/di Banach/vettoriali-topologici "banali" (e.g., \(\mathbb{R}^N\), \(\mathbb{C}^N\) o \(C^k(\Omega)\)) e si può vedere il tutto come una bella (ma sterile) generalizzazione dei metodi dell'Algebra Lineare e dell'Analisi di base. In tal caso, AF può benissimo essere seguito prima di un corso di Analisi Reale.
Se, invece, AF ha un taglio applicativo (orientato, e.g., alla risoluzione di problemi di PDE o CdV) allora è estremamente necessario avere ben chiare le idee sull'integrale di Lebesgue, prima di cominciare a studiare le proprietà degli spazi funzionali "concreti" (e.g., \(L^p(\Omega)\) o \(W^{k,p}(\Omega)\)) che vengono fuori nella risoluzione di problemi applicativi. In tal caso, è necessario seguirsi un corso di Analisi Reale prima di AF.
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