Tommy e il porcellino

[axpgn]

Un giorno Tommy, il figlio del fattore, rubò il porcellino dello zio Henry.
Quando, nello stesso momento, i due iniziarono a correre, il ragazzo si trovava $250\ m$ a Sud dell'animale: il maialino scappo verso Est mentre la corsa di Tommy puntava sempre, in ogni istante, in direzione del maialino.
Assumendo che corressero a velocità costante e che la velocità del ragazzo fosse pari ai $4/3$ di quella dell'animale, quanto spazio percorse il porcellino prima di essere catturato?


Cordialmente, Alex

[nino_12]

Un amico ha fatto un programmino.

Lo spazio che percorre il porcellino prima di essere catturato è 428,571 metri

[axpgn]

Naaaaa .... così non vale ... ... non gioco più ...

Tornando seri ( ) esiste un metodo decisamente più semplice per arrivare alla soluzione, quale ?

Ah, per essere precisi precisi la soluzione è $3000/7$ ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Semplice quanto? Servono integrali?

[axpgn]

No, semplice semplice ...

[nino_12]

Ho trovato la formula (ma non ho capito perché è valida... )

Posto:

$ VT $ = velocità di Tommy
$ VP $ = velocità del porcellino
$ D $ = distanza iniziale

il porcellino verrà raggiunto dopo aver percorso:

$(D * VT * VP )/ (VT^2 - VP^2)$

Nel caso del quiz:
$ (250*4*3)/(16-9) = 3000/7 $

Ciao
Nino

[Erasmus_First]

"axpgn":No, semplice semplice ...

[size=150]|?!?[/size]
A me non risulta affatto semplice!
Anzi: a me pare che occorre trovare una curva come soluzione y = f(x) di una equazione differenziale piuttosto complicata che, suppongo, si potrebbe risolvere con l'uso delle Laplace trasformate (ma non certo con una quantità esigua di calcoli).
Oh: potrebbe anche darsi che alla fine l'espressione analitica della funzione cercata risulti semplice e che il rapporto tra la distanza percorsa dal porcellino e la distanza iniziale tra porcellino e ragazzo sia proprio 12/7.
Ma ... per ora resto scettico.
------------------
E' invece certo che il programmino che calcola la traiettoria punto per punto è semplicessimo ...
Ma è il numero di operazioni da fare (come quando si fa un integrale per via numerica) che non è piccolo se si vuole una buona approssimazione.

[axpgn]

Ciao nino ,
mi hai fatto fare un po' di calcoli ma ho visto che la tua formula coincide col mio procedimento (che riporto in spoiler); a voler essere pignoli nella tua occorre conoscere le velocità (lo so, lo so, essendo le velocità ignote e quindi qualsiasi è sufficiente appunto metterne due qualunque, basta che rispettino i vincoli: l'ho scritto solo per fare cagnara ... )

Per trovare lo spazio percorso dal porcellino prima si suppone che corrano entrambi nella stessa direzione e nello stesso verso e si calcola lo spazio percorso dal porcellino prima di esser catturato poi si suppone che corrano entrambi sempre nella stessa direzione ma l'un contro l'altro e di nuovo si calcola lo spazio percorso dal porcellino prima della cattura: la media delle due è la soluzione.

La traiettoria di Tommy è una cosiddetta "curva di inseguimento" (detta anche curva del cane o di caccia, per ovvi motivi ... ) e dovrebbe essere una variante della "trattrice": se qualcuno mi spiega come si passa dall'equazione alla formula ... ben venga ...

"Erasmus_First":... Oh: potrebbe anche darsi che alla fine l'espressione analitica della funzione cercata risulti semplice ...

Lo davo per scontato, siamo pur sempre nella stanza dei giochi e non pretendo la dimostrazione del teorema di Pitagora ogni volta che viene usato ...
Se poi qualcuno ci fa sopra una relazione ... beh, sono certamente contento ...

Per quanto riguarda invece l'uso di strumenti elettronici, per chi volesse, anche Excel (senza necessità di programmazione) è sufficiente per una simulazione che porti ad una buona approssimazione, senza una grande sforzo ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":Ciao nino ,
mi hai fatto fare un po' di calcoli ma ho visto che la tua formula coincide col mio procedimento

Mica tanti i calcoli!
E la velocità non serve. Serve solo sapere i rapporto tra le velocità (che, a parità di tempo, è lo stesso rapporto tra le lunghezze rispettivamente percorse).

Chiamo h la distanza iniziale tra Tommy ed il porcellino.
Penso che il porcellino fa p metri mentre Tommy ne fa q (ovviamente con q > p).
•Se Tommy insegue il porcellino (che ha un vantaggio h) e fa q metri fin che il porcellino ne fa p, fin che il porcellino fa il tratto x[size=85]1[/size] Tommy fa il tratto x[size=85]1[/size]+h e quindi
$(x_1+h)/q = x_1/p$ da cui $x_1 = p/(q-p) h$.
• Se Tommy va incontro al porcellino, mentre questi percorre il tratto x[size=85]2[/size] Tommy percorre il tratto h – x[size=85]2[/size] e quindi
$(h-x_2)/q = x_2/p$ da cui $x_2 = p/(q+p) h$.
Facciamo come dici la media [aritmetica] e chiamiamola X.
$X = p·h·(1/(q-p) + 1/(q + p))/2 = p·h·(2q/(q^2 - p^2))/2 = (p·q)/(q^2 - p^2)·h$.
Allora, per p=3 e q = 4 abbiamo
$X/h = (3·4)/(4^2 - 3^2) = 12/(16 - 9) = 12/7$. E quindi, per h = 250 m, viene X = 12·250/7 m = 3000/7 m$.

Resta però da capire perché iniziando il moto con direzioni a 90 gradi, la soluzione è la media aritmetica tra i valori che si troverebbero con direzioni a 0 gradi e a 180°. E non mi dire perché 90 è la media aritmetica tra 0 e 180, perché allora, con direzione a 45 gradi dovrei trovare la media pesata ei valori di prima con pesi rispettivi 3/4 e 1/4 .
_________



P.S.
Non c'è da dimostrare il teorema di Pitagora ogni volta che lo si adopera!
Ma una volta (una tantum !) SI'. Se no è lecito dubitare che vada sempre bene.
Per ora abbiamo un risultato facilissimo da calcolare ma ... piantato per aria dal punto di vista logico.

[axpgn]

"Erasmus_First":Mica tanti i calcoli!

Se permetti lo decido io se i "miei" calcoli sono tanti o pochi ... ... e poi non devi prendere sempre tutto alla lettera (a maggior ragione in questa stanza): quella battuta stava solo a significare che essendo le nostre due versioni diverse, ho dovuto fare un paio di conti (più o meno come i tuoi) per verificarne la corrispondenza ... tutto qui ...

"Erasmus_First":E la velocità non serve.

E io che ho detto?

"Erasmus_First":Resta però da capire perché iniziando il moto con direzioni a 90 gradi, la soluzione è la media aritmetica tra i valori che si troverebbero con direzioni a 0 gradi e a 180°. E non mi dire perché 90 è la media aritmetica tra 0 e 180, perché allora, con direzione a 45 gradi dovrei trovare la media pesata ei valori di prima con pesi rispettivi 3/4 e 1/4 .

E infatti non l'ho detto ma l'ho chiesto ... ... posso buttare lì il fatto che tra quegli angoli i seni e i coseni son sempre gli stessi mentre tra l'angolo di $45°$ e gli altri no.

"Erasmus_First":Non c'è da dimostrare il teorema di Pitagora ogni volta che lo si adopera!
Ma una volta (una tantum !) SI'.

Certamente, ma mica lo devi per forza fare tu ... è sufficiente che l'abbia fatto qualcuno, no? Anche secoli fa ...
Che ne so io dove tu hai dimostrato il teorema di Pitagora per la prima volta ... però mi fido di te ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":[[quote="Erasmus_First"]E la velocità non serve.

E io che ho detto? [/quote]Che nel metodo di cui ha riferito Nino [di trovare numericamente – con un programmino – la funzione cartesiana y = f(x) della "traiettoria di Tommy"] «occorre conoscere la velocità» [Sic]
Tel chì!

"axpgn":[...] a voler essere pignoli nella tua occorre conoscere le velocità

Scusa se insisto.
Si dà il caso che a scuola mi abbiano insegnato la dimostrazione del teorema di Pitagora (e controllato pure che l'avessi imparata davvero).
Qui mi dovrei fidare non di un "Ipse dixit" bensì di un "quidam dixit"! Anzi: del fatto che tu (che non sei certo un "ipse"!) mi dici che "quidam dixit"!
Pemettimi di restare scettico. Che non vuol dire che penso che non sia vero, bensì che prima di fidarmi di questo risultato (che ha del mirabolante ... e se è vero è una cosa bellissima dal punto di vista estetico, una perla di umanesimo!) vorrei sapere chi fu quell'Ipse dixit; e, se ci riuscissi, rifare il [suo] percorso che conduc[ess]e logicamente dalle premesse al meraviglioso risultato.

Ciao cio.
Lieto di aver dialogato con te.
_______

[axpgn]

Ahi, ahi, ahi ... non sei stato attento ...
Quando ho detto ciò [«occorre conoscere la velocità»], era in commento a questo post di nino

"nino_":

Posto:

$ VT $ = velocità di Tommy
$ VP $ = velocità del porcellino
$ D $ = distanza iniziale

il porcellino verrà raggiunto dopo aver percorso:

$ (D * VT * VP )/ (VT^2 - VP^2) $

Nel caso del quiz:
$ (250*4*3)/(16-9) = 3000/7 $

dove mi pare si parli esplicitamente di velocità e non al suo primo post relativo al "programmino" ...

"Erasmus_First": ... vorrei sapere chi fu quell'Ipse dixit; ...

Devi capirmi, non posso rivelare le mie fonti ...
Purtroppo non ha rivelato il "percorso" per arrivare a tale soluzione ... e ormai è troppo tardi ...
Di solito posto quesiti che ho risolto e ho ben compreso. Di solito ... però ci sono anche le eccezioni, e questo mi è sembrato troppo "carino" per non farla ... non ti pare?

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Se non ho sbagliato i conti, dovrebbe venire che la distanza percorsa dal porcellino è:
$$D \cdot \frac{k+\cos\alpha}{k^2-1}$$
Dove $D$ è la distanza iniziale tra Tommy e il porcellino, $k$ è il rapporto tra la velocità di Tommy e quella del porcellino (prese in modulo), e $\alpha$ è l'angolo tra le velocità iniziali dei due personaggi.

Quindi il "trucchetto" di fare la media aritmetica funziona perché $\cos(\pi/2) = \frac{\cos 0 + \cos \pi}{2}$, ma sinceramente per ora non vedo nessun altro modo di giustificarlo, senza passare per la formula che ho scritto.

[orsoulx]

Risolvendo l'equazione differenziale (a variabili separabili) del moto, trovo che, a meno di similitudini, l'equazione della traiettoria di Tommy, con il porcellino che descrive l'asse y e viene catturato nell'origine, è $ y=1/2 ({x^{1+k}}/{k+1}+{x^{1-k}}/{k-1}} $ con $ 0 Mi pare confermi quanto scrive milizia96.
Ciao
B.

[axpgn]

@milizia96 e @orsoulx
Potreste, per favore, spiegarci come siete arrivati a quelle espressioni?
Grazie!

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"orsoulx":Risolvendo l'equazione differenziale (a variabili separabili) del moto, trovo che, a meno di similitudini, l'equazione della traiettoria di Tommy, con il porcellino che descrive l'asse y e viene catturato nell'origine, è $ y=1/2 ({x^{1+k}}/{k+1}+{x^{1-k}}/{k-1}} $ con $ 0 Mi pare confermi quanto scrive milizia96.
Ciao
B.

Non ci capisco niente!
La traiettoria del porcellino è un segmento, ossia un tratto "finito" di retta.
Quella di Tommy è un arco "finito" di curva.
Non ho risolto il problema di determinare analiticamente la traiettoria di Tommy.
Ho studiato qualitativamente il problema e proposto un algoritmo per trovare la traiettoria di Tommy numericamente (con un programmino). L'amico astromauh ha implementato il programma con quell'algoritmo.
Inizialmente il porcellino P è stato posto nel punto di coordinate cartesiane (x, y) = (0, h) e Tommy T nell'origine (0, 0).
[h è la distanza iniziale, detta qui D].
Successivamente P percorre a velocità costante il segmento di origine (0,h) e termine (X, h) [dove X è l'incognita del quiz] mentre T percorre a velocità (scalare) costante (maggiore di quella di P) un arco di curva di origine (0,0) e termine (X, h)- La curva-traiettoria è perfettamente definita dalle due condizioni:
a) Il rapporto di velocità (scalare) è costante e fissato in / = 3/4.
b) la retta (mobile) TP – dove T è il punto mobile in cu isi trova Tommy istante pr istante e P quello in cui viene a trovarsi il porcellino – è, in ogni istante, tangente alla traiettoria.
Da' un'occhiata a questo "paper".

Da un'occhiata anche alla trattazione del quiz fatta in "Rudi mathematici" (che è una sezione del forum Coelestis degli asronomi dilettanti ).
–––> Qualche quiz, # 2059 e seguenti.
––––

[Erasmus_First]

@ Orsoulx
Ecco il grafico, per k = 3/4, della curva di cui tu hai messo l'equazione:
$y = 1/2(x^(1+k)/(k+1) + x^(1-k)/(k-1))$

Per cortesia, spiegami come interpretare equazione e grafico!
Ciao
_______

[axpgn]

"Erasmus_First":... Da un'occhiata anche alla trattazione del quiz fatta in "Rudi mathematici" (che è una sezione del forum Coelestis degli asronomi dilettanti ). ...

Ehi, Erasmus ... e i "credits" ?

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Ho tralasciato alcuni passaggi, ma dovrebbe essere abbastanza comprensibile:

Chiamiamo $v$ il modulo della velocità di Tommy e con $u$ il modulo della velocità del porcellino.
Sia $D$ la distanza iniziale tra i due personaggi e $\alpha$ l'angolo formato dalle loro velocità in un generico istante di tempo (nel problema proposto, nell'istante iniziale si ha $\alpha = 90^\circ$).

Sul piano, Tommy è rappresentato da un punto $Q$ mentre il porcellino è rappresentato da un punto $P$ che si muove sulla retta $r$. Indichiamo con $Q'$ la proiezione di $Q$ sulla retta $r$.

Indichiamo con $a$ la velocità con cui cambia la distanza $QP$ nel tempo, e con $b$ la velocità con cui cambia la distanza $Q'P$ nel tempo. Formalmente, $a = \frac{d\bar{QP}}{dt}$ e $b = \frac{d\bar{Q'P}}{dt}$.

Si ricava senza troppa difficoltà che:
$a = v-u\cos\alpha$
$b = v\cos\alpha - u$
Allora $\cos\alpha = \frac{v-a}{u} = \frac{u+b}{v}$
Integrando si ottiene $\frac{vT-D}{u} = \frac{uT+D\cos\alpha_0}{v}$, dove $T$ è l'istante in cui i due si incontrano.
Dall'ultima uguaglianza è facile ricavare $T$, che è l'unica incognita, e poi moltiplicando per $u$ si ottiene la formula del mio post precedente.

[orsoulx]

@axpgn; @Erasmus_First
Come dice Erasmus, la traiettoria del maialino è un segmento, mentre quella di Tommy è curva. Erasmus decide che il maialino debba muoversi orizzontalmente, mentre, quando mi sono reso conto che così facendo Tommy avrebbe dovuto descrivere una curva che (prolungata indietro nel tempo) porterebbe a due ordinate diverse per la medesima ascissa, ho preferito farlo muovere verticalmente.
In questo sistema di riferimento, ad un incremento infinitesimo dx dell'ascissa corrispondono spostamenti delle seguenti lunghezze:
per Tommy, \( ds=\sqrt{1+{y'(x) }^2} dx \);
per il porcellino, \( ds=|x \cdot y''(x)| dx \) (ricavato dalla limite, per \( \Delta x \rightarrow 0 \), della differenza delle ordinate delle intersezioni con l'asse y delle due tangenti in \( x \) e in \( x + \Delta x \) ).
L'equazione da risolvere sarà allora \(k \sqrt{1+{y'(x) }^2} =x \cdot y''(x) \) (il segno dipende solo dall'orientamento degli assi cartesiani), che, con le condizioni \(y(0)=0, y'(1)=0 \), corrispondenti all'imporre che Tommy raggiunga il porcellino nell'origine dopo esser partito (con direzione orizzontale) ad una distanza unitaria dal medesimo, porta a quanto ho postato prima.

"Erasmus_First":Per cortesia, spiegami come interpretare equazione e grafico!

Dato un punto P qualsiasi sulla curva (posizione di Tommy) il porcellino si trova, nel medesimo istante, nell'intersezione fra la tangente alla curva in quel punto e l'asse delle y; condizione che si mantiene per tutto l'arco di curva percorso da Tommy.
La curva, che dipende solo da k, può essere 'adattata' a qualsiasi situazione iniziale: zoomandola, ruotandola, traslandola, ribaltandola opportunamente.
Ciao
B.

[axpgn]

Ringrazio tutti per i preziosi contributi, grazie!

Cercherò di ragionarci su (ad orari più decenti ... ... anche se non cambierà molto ... )

Cordialmente, Alex