Tommy e il porcellino

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14 set 2015, 01:01

Un giorno Tommy, il figlio del fattore, rubò il porcellino dello zio Henry.
Quando, nello stesso momento, i due iniziarono a correre, il ragazzo si trovava $250\ m$ a Sud dell'animale: il maialino scappo verso Est mentre la corsa di Tommy puntava sempre, in ogni istante, in direzione del maialino.
Assumendo che corressero a velocità costante e che la velocità del ragazzo fosse pari ai $4/3$ di quella dell'animale, quanto spazio percorse il porcellino prima di essere catturato?

Cordialmente, Alex

Risposte

Erasmus_First

29 set 2015, 23:58

"orsoulx":
[...] quando mi sono reso conto che così facendo Tommy avrebbe dovuto descrivere una curva che (prolungata indietro nel tempo) porterebbe a due ordinate diverse per la medesima ascissa, ho preferito farlo muovere verticalmente.

@ orsoulx.
Ho capioto, finalmente! In sostanza, come nel caso della cosiddetta "trattrice", si fa la traiettoria studiando la funzione inversa di quella che ho assunto io (di cui avevo pure fatto, qualitativamente, il grafico).
Prima non avevo capito perché, fatto il grafico della tua funzione, mi pareva la traiettoria di Tommy vista da un punto di vista solidale col porcellino, cioè da qualcuno che vede il porcellino sempre nello stesso posto (come potrebbe essere un osservatore su un elicottero che sta al passo col percellino). Rispetto ad un riferimento solidale col porcellino Tommy non punta sul porcellino se non quando la sua velocità ha la stessa direzione e stesso verso di quella del porcellino (cioè un attimo prima di raggiungerlo). In particolare, quando le direzioni sono ortogonali per un osservatore solidale col terreno [quindi all'inizio nel caso specifico del quiz], siccome la velocità del porcellino è 3/4 di quella di Tommy, la tangente alla traiettoria in quell'istante ha pendenza 4/3 sulla traiettoria del porcellino; e quindi inizialmente la derivata sarebbe y'(h) = 3/4 (cosa che non è verificata dalla tua curva ... e quindi continuavo a non capire! E non mi quadrava nemmeno la distanza iniziale Tra Tommy e porcellino).
Tuttavia è stato fondametale il suggerimento di passare alla funzione inversa di quella assunta da me.
Allora mi è stato facile sia il trovare anch'io l'equazione differenziale
y"·x = √(1 + y'^2)
sia il risolverla.
Poi ... ho adattato le variabili in modo che, scambiando x con y, venissero ancora le traiettorie come le avevo pensate (qualitativamente) la prima volta.

Solo dopo aver risolto anch'io l'equazione differenziale ho capito quello che avevi fatto tu!
Io ho scelto un po' diversamente da te le due costanti che soddisfano le condizioni (iniziali o "al contorno" che siano).
Nel grafico della tua soluzione, il vero tratto di traiettoria che dice il testo del quiz è quello a sinistra del minimo assoluto [che capita per x = 1 – che è la normalizzazione della distanza iniziale tra Tommy e il porcellino]: minimo che per k = 3/4 vale giustamente -12/7, dato che il porcellino sarà raggiunto in O(0,0)].
In un post successivo ti mostrerò che funzione mi è venuta in definitiva.

"axpgn":
Ringrazio tutti per i preziosi contributi, grazie!
Cercherò di ragionarci su (ad orari più decenti ... ... anche se non cambierà molto ... )
Cordialmente, Alex

Ti accontento mettendo un secondo "paper" in cui, pedissequamente, ricavo l'equazione differenziale e poi la risolvo.
Il merito vero è do Orsoulx. A lui va soprattutto il ringraziamento.
Un pochino, però, anche a me che ho fatto un umile lavoro da modesto travet sbrodolando per filo e per segno il percorso da fare per arrivare alla funzione che in coordinate cartesiane dò la traiettoria di Tommy.
[Orsoulx ... sopravvaluta gli interlocutori! Le sue spiegazioni, una volta che sono state capite, sono fondamentali. Ma ... (parlo per me), è capirle che è arduo (perché sono stringate e dànno per scontata la presenza alla mente dei presupposti necessari. ]
Comunque ... ecco il mio secondo "paper" che spero soddisfaccia del tutto i desiderata di axpgn/Alex).
Ecco qui il nuovo "paper"

–––> Tommy & porcellino.png

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Erasmus_First

30 set 2015, 01:42

Come promesso, metto l'immagine della traiettoria quale grafico cartesiano della funzione trovata analiticamente
La metto a confronto con l'immagine della traiettoria trovata con un programmino numerico (scritto dall'amico astromauh) che implementa l'algoritmo che possiamo battezzare "un passo alla volta"
Constatare l'identità delle due curve!

–––>Confronto.png

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dan952

30 set 2015, 15:28

"axpgn":
No, semplice semplice ...

Le ultime parole famose...

orsoulx

30 set 2015, 22:40

"dan95":
Le ultime parole famose...

Basta avere fede e credere, come axpgn, che la lunghezza del percorso con angolo di 90° sia la media aritmetica fra quelle con 0° e 180°.

In fin dei conti è vero.
Mi pare che la dimostrazione di milizia96 sia più semplice (non ho sviluppato i calcoli).

@Erasmus_First
[ot]Ho dato un'occhiata alla discussione nel forum che hai indicato.
Nel sito di astromauh il selettore dell'angolo di partenza riporta gli angoli supplentari, rispetto a quelli consueti. Vuoi segnalarglielo?[/ot]

Ciao
B.

axpgn

30 set 2015, 23:15

@dan
Vuoi dirmi che non sei capace di fare la media di due numeri?

@orsoulx
Fiducia nell'autore l'avevo però ho anche fatto diverse verifiche ... un po' e un po' ...

Cordialmente, Alex

dan952

1 ott 2015, 11:34

@alex @orsoulx
Intendevo dire che senza conoscere la formuletta non è una questione semplice semplice, la difficoltà maggiore infatti è ricavare l'equazione differenziale e avere le conoscenze per risolverla...insomma banale banale non era, parlo della soluzione di orsoulx.

orsoulx

1 ott 2015, 12:51

@dan95
mi sarò, al solito, espresso male, ma intendevo dire la stessa cosa.
"In fin dei conti è vero" stava per: dopo aver finito una discreta mole di calcoli, risulta verificata una proprietà che, se non hai trovato da qualche parte, difficilmente penseresti.
Ciao
B.