Razionali e irrazionali
Dimostrare che esistono due nemeri irrazionali a e b, tali che a^b sia razionale.
Platone
Platone
Risposte
"gaussz":
secondo me $ln(2)$ è un'irrazionale e si può dimostrare in modo molto semplice:
$int_{1}^{2}\1/xdx=ln(2)$, si calcola l'area sottesa alla funz. con un metodo numerico, onde dedurre che la serie che converge a $ln(2)$ è dello stesso tipo di quella che porta a $e$, cioè ad un irrazionale!
la stessa cosa si può fare per $root(2)^root(2)$ integrando $x^x$, FORTE NO?
Non dimostri niente, allora $int_{1}^{e}\1/xdx=ln(e)=1$ quindi 1 è irrazionale.
Devi dimostrare che non esistono interi $a,b$ coprimi tali che $ln(2)=a/b$!
Ciao!
già infatti non ho proseguito, ho solo indicato la via... se integro tra 1 ed $e$ si può dimostrare che la serie converge a 1!, cioè che esistono quei coprimi... perchè ln(e)=1 e il logaritmo si sa che è la primitiva di 1/x, mentre se integro tra 1 e 2, so che il risultato è ln(2) ma non so quanto vale, quindi per calcolarlo devo trovare un metodo di approssimazione, cioè una serie convergente al valore
scusami prima ho scritto delle ç!!@@[]##!!
scusami prima ho scritto delle ç!!@@[]##!!
"gaussz":
già infatti non ho proseguito, ho solo indicato la via... se integro tra 1 ed $e$ si può dimostrare che la serie converge a 1!, cioè che esistono quei coprimi...
eppoi, se per esempio faccio il logaritmo della serie e lo sviluppo con Taylor chissà che succede, tu lo sai?
Scusa, quale serie? Abbiamo un integrale non una serie, Forse intendi se sviluppi in serie l'integrale, oppure qualcos'altro?
Spiegati meglio
ora edito
"gaussz":
già infatti non ho proseguito, ho solo indicato la via... se integro tra 1 ed $e$ si può dimostrare che la serie converge a 1!, cioè che esistono quei coprimi...
eppoi, se per esempio faccio il logaritmo della serie che converge ad $e$ e sviluppo questo (il logaritmo) con Taylor chissà che succede, uno sviluppo di Taylor per ogni termine della serie...
eh, salta fuori una super serie che converge a 1. Molto utile per calcolare con buona approssimazione le cifre decimali di 1
scherzi a parte a volte capita di fare cose simili con serie complesse e vengono fuori risultati notevoli, vuoi un esempio?
perchè no, sopra ho editato
"gaussz":
perchè no, sopra ho editato
forse se ne era già parlato comunque se consideri che per $|x|<1$ hai $x^n/(1-x^n)=x^n+x^(2n)+x^(3n)+...$ da cui segue
$sum_(n=1)^infty x^n/(1-x^n) =sum_(n=1)^infty sigma_0(n)x^n $
dove $sigma_0(n)$ è il numero di divisori di $n$, infatti ogni $n$ appare tante volte quante si può scrivere come $n=dk$.
Ciao!
vorrei anche il parere di qualcun altro
eppoi chi l'ha detto che un irrazionale è veramente irrazionale, non mi sembra sia stato dimostrato, mmmh mi sa che qui si trascende nella filosofia...
"gaussz":
eppoi chi l'ha detto che un irrazionale è veramente irrazionale, non mi sembra sia stato dimostrato, mmmh mi sa che qui si trascende nella filosofia...
é? Consideriamo un numero reale $x$, esso è irrazionale se non esistono $a,b in Z$ tali che $x=a/b$, ora non c'è un bel niente di filosofico...
si ma si può dimostrare che $root2 \2$ è irrazionale?
scusa, ma, come al solito, non posso visualizzare le formule!
di che numero parli? sqrt2 o (sqrt2)/2?
IRRAZIONALITA' DI SQRT2
supponiamo per assurdo che sqrt2 sia razionale, allora esistono due interi p e q tali che
sqrt2=p/q
con
p=p'*2^a
q=q'*2^b
con a e b eventualmente nulli e p' e q' dispari.
quadrando ambo i membri si ottiene
2=(p^2)/(q^2)
cioe'
2*q^2=p^2
sostituendo si ha
2*2^(2b)*(q')^2= 2^(2a)*(p')^2
2^(2b+1)*(q')^2=2^(2a)*(p')^2
ma questo e' assurdo inquanto il fattore 2 compare a sinistra un numero dispari di volte e a destra un numero pari di volte.
Dunque sqrt2 e' irrazionale.
Piu' in generale se a non e' un quadrato perfetto, la sua radice quadrata e' irrazionale
IRRAZIONALITA' DI (SQR2)/2
Se, per assurdo, (sqrt2)/2 fosse razionale, si avrebbe:
(sqrt2)/2=p/q
da cui
sqrt2=2p/q
il che' e' assurdo essendo sqrt2 irrazionale...
piu' in generale: se a e' irrazionale e b e' razionale si ha che ab e' irrazionale
di che numero parli? sqrt2 o (sqrt2)/2?
IRRAZIONALITA' DI SQRT2
supponiamo per assurdo che sqrt2 sia razionale, allora esistono due interi p e q tali che
sqrt2=p/q
con
p=p'*2^a
q=q'*2^b
con a e b eventualmente nulli e p' e q' dispari.
quadrando ambo i membri si ottiene
2=(p^2)/(q^2)
cioe'
2*q^2=p^2
sostituendo si ha
2*2^(2b)*(q')^2= 2^(2a)*(p')^2
2^(2b+1)*(q')^2=2^(2a)*(p')^2
ma questo e' assurdo inquanto il fattore 2 compare a sinistra un numero dispari di volte e a destra un numero pari di volte.
Dunque sqrt2 e' irrazionale.
Piu' in generale se a non e' un quadrato perfetto, la sua radice quadrata e' irrazionale
IRRAZIONALITA' DI (SQR2)/2
Se, per assurdo, (sqrt2)/2 fosse razionale, si avrebbe:
(sqrt2)/2=p/q
da cui
sqrt2=2p/q
il che' e' assurdo essendo sqrt2 irrazionale...
piu' in generale: se a e' irrazionale e b e' razionale si ha che ab e' irrazionale
In generale, dimostrare che un numero è irrazionale è difficile!
Qui sotto a pagina 40 c'è una dimostrazione dell'irrazionalità di $pi$:
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/integraz.pdf
Ancora più arduo è dimostrarne la trascendenza!
Qui sotto a pagina 40 c'è una dimostrazione dell'irrazionalità di $pi$:
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/integraz.pdf
Ancora più arduo è dimostrarne la trascendenza!
sentite questa, non so se è giusto, fate voi.
soluzione my self come dico io, venutami in mente ieri sera mentre mangiavo:
IPOTESI:"nessuna combinazione di interi coprimi $a,b$ è tale che $ln(2)=a/b$, pertanto $ln(2)$ è un numero irrazionale che non può essere pensato"
le seguenti tesi occorrono per la dimostrazione:
TESI1: "dati due interi $a,b in Z+$ esiste ed è unico $k in Z$ tale che $2^a+k=2^b$"
TESI2: "se un numero è rappresentabile su una retta orientata coimplica che anche il suo quadrato lo è"
TESI3: "il numero $e$ non è rappresentabile su una retta orientata, pertanto anche il suo quadrato"
DIMOSTRAZIONE (per assurdo):
dati $a,b$ coprimi $in Z+$ t.c. $ln(2)=a/b$ con b>a, allora deve essere che $2^b=e^a$, pertanto per la TESI1 $2^a+k=e^a$ con $k in Z+$ ma anche $2^(2a)+k'=e^(2a)$ ASSURDO per la TESI2 poichè anche k' $in Z+$ e quindi $2^(2a)+k'$ è rappresentabile su una retta mentre $e^(2a)$ no, da cui escaturisce la tesi.
Commento: non ho dimostrato le tesi2,3 ma mi sembrano evidenti.
soluzione my self come dico io, venutami in mente ieri sera mentre mangiavo:
IPOTESI:"nessuna combinazione di interi coprimi $a,b$ è tale che $ln(2)=a/b$, pertanto $ln(2)$ è un numero irrazionale che non può essere pensato"
le seguenti tesi occorrono per la dimostrazione:
TESI1: "dati due interi $a,b in Z+$ esiste ed è unico $k in Z$ tale che $2^a+k=2^b$"
TESI2: "se un numero è rappresentabile su una retta orientata coimplica che anche il suo quadrato lo è"
TESI3: "il numero $e$ non è rappresentabile su una retta orientata, pertanto anche il suo quadrato"
DIMOSTRAZIONE (per assurdo):
dati $a,b$ coprimi $in Z+$ t.c. $ln(2)=a/b$ con b>a, allora deve essere che $2^b=e^a$, pertanto per la TESI1 $2^a+k=e^a$ con $k in Z+$ ma anche $2^(2a)+k'=e^(2a)$ ASSURDO per la TESI2 poichè anche k' $in Z+$ e quindi $2^(2a)+k'$ è rappresentabile su una retta mentre $e^(2a)$ no, da cui escaturisce la tesi.
Commento: non ho dimostrato le tesi2,3 ma mi sembrano evidenti.
"gaussz":
sentite questa, non so se è giusto, fate voi...
Caro gaussz, sei indubbiamente molto volenteroso, ma quest'ultima dimostrazione ha pochissimo rigore...
Quando dimostri che un numero è irrazionale devi farlo nel modo più elementare e sintetico possibile, mi spiego meglio, dimostrare che un numero è irrazionale non deve richiedere costruzioni geometriche (poi come saprai la geometria del nostro universo è molto dubbia..) infatti l'irrazionalità è una proprietà aritmetica non geometrica!
I metodi migliori per dimostrare l'irrazionalità sono
-Dimostrazione per assurdo
-Serie in approssimazioni diofantee
il primo metodo ha dimostrato l'irrazionalità di $pi$ e di $e$, il secondo l'irrazionalità di $zeta(3)$.
non si sa ancora se la costante di Eulero-Mascheroni $gamma$ sia irrazionale e lo stesso vale per la costante di Mil $theta$.
PS per l'irrazionalità di $theta$ ripassare sul pianeta Terra fra qualche milione di anni...
Ciao!
be, che ci posso fare se mi vengono queste idee, io uso la logica che mi sembra una verità su cui è fondata tutta la matematica, se la logica non è vera allora tutta la matematica e qualsiasi tipo di geometria è falsa. fatto sta che un numero trascendente non può essere rappresentato su una retta e questo mi sembra verità incontestabile, indipendentemente da qualsiasi tipo di geometria è fatto il nostro mondo, $e^2$ non è rappresentabile su una retta, quindi è diverso da un numero che può essere rappresentato. $k^(1/a)$ con $a,k in N$ può sempre essere rappresentato su una retta, quindi se vogliamo esistono geometrie in cui certi numeri sono irrazionali ed altre in cui non lo sono, in quella euclidea, $ln(2)$ è irrazionale e ciò credo che basti per definirlo irrazionale, bisogna vedere per le altre geometrie.
"gaussz":
quindi se vogliamo esistono geometrie in cui certi numeri sono irrazionali ed altre in cui non lo sono, in quella euclidea, $ln(2)$ è irrazionale e ciò credo che basti per definirlo irrazionale, bisogna vedere per le altre geometrie.
Ma no, io non intendevo dire questo, dicevo che per dimostrare proprietà aritmetiche è meglio usare l'aritmetica!
Poi è anche più facile, ti ricordi come (io e te in periodi diversi) avevamo trovato la formula per la somma delle m-esime potenze dei primi n numeri naturali? Con lo sviluppo della potenza di un binomio, non con metodi geometrici...
Ciao!
già siamo arrivati, allo stesso risultato, questa non è nuova nel mondo della matematica... pensa che io a 13 anni (oppure 12 non ricordo) avevo trovato un modo per individuare un qualsiasi punto all'interno del triangolo di tartaglia, scoprii solo anni dopo che ero arrivato al concetto di coefficiente binomiale! ne ho trovate anche altre in quel periodo, poi ho dormito sugli allori forte di questi risultati ottenuti, non ho studiato quasi più!
e me ne rammarico...
sapere più cose possibile è importantissimo se si intende raggiungere dei risultati.
ps: chissà forse ci si può arrivare lo stesso...
e me ne rammarico...
sapere più cose possibile è importantissimo se si intende raggiungere dei risultati.ps: chissà forse ci si può arrivare lo stesso...
Sembra anche a me a 13 anni, ricordo ancora, erano già le nove di sera e ero parecchio stanco, mi sono messo sul tavolo della sala e ho risolto il problema anche se con una scomoda notazione del coefficiente binomiale. Poi ho pensato che con lo stesso metodo forse avrei trovato un espressione chiusa per $1+x+x^4+x^9+x^16+x^25+...$ ma hai me, il problema era di ben altro calibro...
Ciao!
Ciao!
comunque, scusa ma la mia dimostrazione non è anche aritmetica? $e^(2a)$ non appartiene a $Z+$ se $e^a$ si, mi sembra evidente... mi sa che era una cavolata dimostrare l'irrazionalità di $ln(2)$...
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