Problemino del Venerdi'
Ok ok il titolo è un po' monotono si accettano suggerimenti...
Di questo so la soluzione:
Mostrare che comunque si scelgono nove numeri reali distinti, ce ne sono sempre due che chiamiamo a e b tali che:
0<(a-b)/(1+ab)<2^1/2-1
è meno difficile di quanto sembri a prima vista.
Ciao
Mistral
Di questo so la soluzione:
Mostrare che comunque si scelgono nove numeri reali distinti, ce ne sono sempre due che chiamiamo a e b tali che:
0<(a-b)/(1+ab)<2^1/2-1
è meno difficile di quanto sembri a prima vista.
Ciao
Mistral
Risposte
io provo a darti la soluzione, anche se ho trovato delle conseguenze così belle che mi sembrano un pò strane; tuttavia la mia soluzione mi sembra corretta.
dunque:
se ho 9 reali qualsiasi distinti, poichè uno potrebbe essere lo 0, allora almeno 4 sono positivi, o almeno 4 sono negativi; ovvero o succede la prima o succede la seconda; all'interno della prima almeno due sono minori di uno o almeno due sono maggiori di 1; nel primo caso siano a e b tali due numeri minori di 1, con a>b;
allora, scritta la tesi (a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab), abbiamo che il primo membro è minore di 1, mentre il secondo è maggiore di 1, pertanto la diseguaglianza è verificata.
nel secondo caso, siano a e b i due numeri maggiori di 1, con a>b;
allora il primo membro è banalmente minore del secondo in quanto (a-b)<(1+ab), e l'altro fattore del secondo membro è maggiore di 1.
si verifica facilmente che, facendo la stessa distinzione nel caso che almeno quattro numeri siano negativi, la diseguaglianza di cui sopra resta comunque verificata da almeno due numeri.
bene, la dimostrazione mi sembra corretta.
le conseguenze cui ti accennavo è che dalla mia dimostrazione si deduce il seguente risultato:
comunque presi 6 reali distinti ve ne sono almeno due, detti a e b, per i quali vale la seguente diseguaglianza:
0 < (a-b)/(1+ab) < 1
carina no?
attendo pareri.
ciao, ubermensch
dunque:
se ho 9 reali qualsiasi distinti, poichè uno potrebbe essere lo 0, allora almeno 4 sono positivi, o almeno 4 sono negativi; ovvero o succede la prima o succede la seconda; all'interno della prima almeno due sono minori di uno o almeno due sono maggiori di 1; nel primo caso siano a e b tali due numeri minori di 1, con a>b;
allora, scritta la tesi (a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab), abbiamo che il primo membro è minore di 1, mentre il secondo è maggiore di 1, pertanto la diseguaglianza è verificata.
nel secondo caso, siano a e b i due numeri maggiori di 1, con a>b;
allora il primo membro è banalmente minore del secondo in quanto (a-b)<(1+ab), e l'altro fattore del secondo membro è maggiore di 1.
si verifica facilmente che, facendo la stessa distinzione nel caso che almeno quattro numeri siano negativi, la diseguaglianza di cui sopra resta comunque verificata da almeno due numeri.
bene, la dimostrazione mi sembra corretta.
le conseguenze cui ti accennavo è che dalla mia dimostrazione si deduce il seguente risultato:
comunque presi 6 reali distinti ve ne sono almeno due, detti a e b, per i quali vale la seguente diseguaglianza:
0 < (a-b)/(1+ab) < 1
carina no?
attendo pareri.
ciao, ubermensch
citazione:
se ho 9 reali qualsiasi distinti, poichè uno potrebbe essere lo 0, allora almeno 4 sono positivi, o almeno 4 sono negativi; ovvero o succede la prima o succede la seconda;
Ok
citazione:
all'interno della prima almeno due sono minori di uno o almeno due sono maggiori di 1;
Ok
citazione:
nel primo caso siano a e b tali due numeri minori di 1, con a>b;
allora, scritta la tesi (a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab), abbiamo che il primo membro è minore di 1, mentre il secondo è maggiore di 1, pertanto la diseguaglianza è verificata.
nel secondo caso, siano a e b i due numeri maggiori di 1, con a>b;
allora il primo membro è banalmente minore del secondo in quanto (a-b)<(1+ab), e l'altro fattore del secondo membro è maggiore di 1.
Se ho capito bene il tuo modo di procedere direi che ha la seguente pecca:
se due numeri a,b verificano:
(a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab)
questo implica che verificano:
(a-b)<(1+ab)
purtroppo non vale il viceversa, quindi in tuo modo di procedere va bene per escludere che due numeri a,b verifichino
(a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab) ma non per verificarlo.
sqrt(2)-1<1
cavolo!! non so perchè ma ero convinto che sqrt(2)-1>1!!!
ora mi rivedo il ragionamento e vedo se riesco a rimetterlo in piedi!
ciao, ubermensch
ora mi rivedo il ragionamento e vedo se riesco a rimetterlo in piedi!
ciao, ubermensch
citazione:
Ok ok il titolo è un po' monotono si accettano suggerimenti...
Di questo so la soluzione:
Mostrare che comunque si scelgono nove numeri reali distinti, ce ne sono sempre due che chiamiamo a e b tali che:
0<(a-b)/(1+ab)<2^1/2-1
è meno difficile di quanto sembri a prima vista.
Ciao
Mistral
Dimenticavo di dire appena me lo dite posto la soluzione
Mistral, tu hai la tendenza all'off topic abbastanza marcata, quelli da te posti non sono giochi e non sono approfondimenti di una gara in corso... mi piace fare il paramoderatore:-)
citazione:
Mistral, tu hai la tendenza all'off topic abbastanza marcata, quelli da te posti non sono giochi e non sono approfondimenti di una gara in corso... mi piace fare il paramoderatore:-)
gara? quale gara?
caro mistral, a parte il fatto che non ho tempo in questi giorni per dedicarmi al problema da te posto, ma credo proprio che questa volta non so che pesci pigliare: sembra quasi che mi sfugga qualcosa; forse mi manca qualche conoscenza per arrivare alla "semplice" soluzione che tu dici...
bah...!
ciao, ubermensch
bah...!
ciao, ubermensch
citazione:
caro mistral, a parte il fatto che non ho tempo in questi giorni per dedicarmi al problema da te posto, ma credo proprio che questa volta non so che pesci pigliare: sembra quasi che mi sfugga qualcosa; forse mi manca qualche conoscenza per arrivare alla "semplice" soluzione che tu dici...
bah...!
ciao, ubermensch
Hai tutto il tempo che vuoi, la domanda era semplicemente dettata dal fatto che non conosco la disciplina del forum tutto quà. Alcune domande:
A)la definizione di gioco che puo' essere postato in questo forum?
B)chi puo' proporre giochi?
C)e buona regola dare le soluzioni dei "giochi"? se si quando?
poi se per fare domande sconfino nell'off topic scusate in fondo ho meno di 50 post
.Ciao
Mistral
Nessun problema.
A)la definizione di gioco che può essere postato in questo forum?
Ritengo qualsiasi gioco logico-matematico o curioso
B)chi può proporre giochi?
tutti
C)e buona regola dare le soluzioni dei "giochi"? se si quando?
Di solito ho visto che bene o male i quesiti vengono seguiti da alcuni interessati che giungono alla soluzione o la richiedono quando hanno esaurito le idee. Meglio, prima di dare la risposta, dare dei suggerimenti, dei piccoli aiuti.
WonderP.
A)la definizione di gioco che può essere postato in questo forum?
Ritengo qualsiasi gioco logico-matematico o curioso
B)chi può proporre giochi?
tutti
C)e buona regola dare le soluzioni dei "giochi"? se si quando?
Di solito ho visto che bene o male i quesiti vengono seguiti da alcuni interessati che giungono alla soluzione o la richiedono quando hanno esaurito le idee. Meglio, prima di dare la risposta, dare dei suggerimenti, dei piccoli aiuti.
WonderP.
x Mistral
Volevo instillare anche in te il dubbio che mi arrovella, qual'è la differenza tra Gioco e Problema, ho aperto anche un topic per capirlo ma non mi sono schiarito ancora del tutto le idee
Volevo instillare anche in te il dubbio che mi arrovella, qual'è la differenza tra Gioco e Problema, ho aperto anche un topic per capirlo ma non mi sono schiarito ancora del tutto le idee
mistral, penso proprio di necessitare di un piccolo suggerimento!!
magari un punto di inizio, o un qualche signficato particolare di quel benedetto sqrt(2)-1..
ciao, ubermensch
magari un punto di inizio, o un qualche signficato particolare di quel benedetto sqrt(2)-1..
ciao, ubermensch
citazione:
mistral, penso proprio di necessitare di un piccolo suggerimento!!
magari un punto di inizio, o un qualche signficato particolare di quel benedetto sqrt(2)-1..
ciao, ubermensch
tan(x-y)=?
mi arrendo, la soluzione non la vedo proprio; si è vero:
tg(x-y) = (tgx-tgy)/(1+tgxtgy)
però non mi sembra che cambi qualcosa!!
boh... postami la soluzione... dici che è facile.. forse continua a sfuggirmi qualcosa di decisivo!!
p.s. i numeri naturali sono più simpatici
ciao, ubermensch
tg(x-y) = (tgx-tgy)/(1+tgxtgy)
però non mi sembra che cambi qualcosa!!
boh... postami la soluzione... dici che è facile.. forse continua a sfuggirmi qualcosa di decisivo!!
p.s. i numeri naturali sono più simpatici
ciao, ubermensch
Per Mistral.
Non postare pubblicamente il topic che ci sto ancora pensando. Grazie
Non postare pubblicamente il topic che ci sto ancora pensando. Grazie
ok allora aspettiamo tutti un altro pò... magari trovo l'illuminazione adatta e ci arrivo pure io alla soluzione.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
si, per favore aspetta ancora. mi sto divertendo! Grazie
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
citazione:
....
p.s. i numeri naturali sono più simpatici
ciao, ubermensch
Ok appena finito questo mi butto sui numeri naturali
Ok, ci drovei essere.
Considero il seguente cambio di variabili: a->tg(x) a:[R] -pi/2
Considero ora tg(x-y). Se prendo 8 punti qualsiasi in una semicirconferenza trigonometrica (-pi/2,+pi/2), questi saranno 'lontani' tra di loro al massimo pi/8.
Dunque presi 9 punti, la loro differenza sarà sicuramente minore di pi/8, e tg(pi/8)=2^1/2-1.
Il verso tan(x-y)>0 è banale. Basta trovare x-y>0 cioè una x>y.
Considero il seguente cambio di variabili: a->tg(x) a:[R] -pi/2
Considero ora tg(x-y). Se prendo 8 punti qualsiasi in una semicirconferenza trigonometrica (-pi/2,+pi/2), questi saranno 'lontani' tra di loro al massimo pi/8.
Dunque presi 9 punti, la loro differenza sarà sicuramente minore di pi/8, e tg(pi/8)=2^1/2-1.
Il verso tan(x-y)>0 è banale. Basta trovare x-y>0 cioè una x>y.
mmm... sembra corretta...
ma continua a non tornarmi una cosa; che è proprio il punto dove mi ero bloccato:
alla fine poniamo un numero x e l'altro y, e diciamo che tg(x-y)
non so se è chiaro quello che voglio dire.. forse sono io che sono andato in tilt!!
ma continua a non tornarmi una cosa; che è proprio il punto dove mi ero bloccato:
alla fine poniamo un numero x e l'altro y, e diciamo che tg(x-y)
non so se è chiaro quello che voglio dire.. forse sono io che sono andato in tilt!!
citazione:
ma tg(x-y) != (x-y)/(1+xy) !!
Il passaggio logico è il seguente:
tg(x-y) = (tgx-tgy)/(1+tgxtgy)
a->tg(x) b->tg(y) a,b:[R] -pi/2
Cioè sto mettendo in corrispondenza biunivoca a e x , b e y.
Questo vuol dire che se controllo su x:=(-pi/2,+pi/2) sto controllando su a:=(-inf,+inf).
Essendo la tangente negli intervalli considerati invertibile (arctg), i risultati che trovo in un caso li posso riportare nell'altro.
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