Orologio antiorario...
Ed ecco un bel problema che arriva dritto dritto da Rudi Mathematici n 103
[size=150]Il cugino di Rudy aveva acquistato uno di quegli orologi che vanno in senso antiorario; non solo, ma questo aggeggio aveva solo dei puntini sui numeri e le due lancette erano perfettamente identiche tra di loro.
Ora partendo dalla ormai consunta battuta(di Mark Twain? Non ricordiamo) che un orologio fermo segna l'ora esatta due volte al giorno, quante volte al giorno l'orologio "antiorario" segna l'ora esatta?
[/size]
E se vi sembra facile rileggetevi il problema...
[size=150]Il cugino di Rudy aveva acquistato uno di quegli orologi che vanno in senso antiorario; non solo, ma questo aggeggio aveva solo dei puntini sui numeri e le due lancette erano perfettamente identiche tra di loro.
Ora partendo dalla ormai consunta battuta(di Mark Twain? Non ricordiamo) che un orologio fermo segna l'ora esatta due volte al giorno, quante volte al giorno l'orologio "antiorario" segna l'ora esatta?
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E se vi sembra facile rileggetevi il problema...
Risposte
"alvinlee88":
[quote="alvinlee88"]12?
RITRATTO IL 12....[/quote]
meno male...
ma qualcuno ha scritto la soluzione corretta?
P.S. provo anche io: sempre
P.S. provo anche io: sempre
Se i primi tre orari in cui l'orologio segna l'ora esatta sono:
00.00.00
00.55.23
01.50.46 allora posto il ragionamento
P.S. Io ho interpretato il gioco ragionando su un orologio che gira in senso antiorario, ma che si legge come un comune orologio, altrimenti segnerebbe sempre l'ora esatta
00.00.00
00.55.23
01.50.46 allora posto il ragionamento
P.S. Io ho interpretato il gioco ragionando su un orologio che gira in senso antiorario, ma che si legge come un comune orologio, altrimenti segnerebbe sempre l'ora esatta
piccola premessa...io avevo trovato la soluzione con un ragionamento a mio avviso esatto.
Dopo un pò mi sono reso conto che le soluzioni non erano esatte...pur essendolo il ragionamento, vista la mia scarsa conoscenza matematica liceale...
Quindi non riesco ad applicare il mio ragionamento...
Che peccato...quindi chi vuole può postare soluzioni (io posso comunque dire quelle che proprio sono sbagliate visto che ci ho sbattuto la testa 3 settimane)...
Bè dovete aspettare un pò per la soluzione ufficiale...dovete aspettare il nuovo numero di rudi mathematici...
Sono curioso di sentire il ragionamento di yurifrey
Dopo un pò mi sono reso conto che le soluzioni non erano esatte...pur essendolo il ragionamento, vista la mia scarsa conoscenza matematica liceale...
Quindi non riesco ad applicare il mio ragionamento...
Che peccato...quindi chi vuole può postare soluzioni (io posso comunque dire quelle che proprio sono sbagliate visto che ci ho sbattuto la testa 3 settimane)...
Bè dovete aspettare un pò per la soluzione ufficiale...dovete aspettare il nuovo numero di rudi mathematici...
Sono curioso di sentire il ragionamento di yurifrey
Provo a spiegare la mia idea che mi porta a concludere l'esistenza di 26 momenti in cui l'orologio segna l'ora esatta.
Immaginandoci di sovrapporre due orologi di cui uno gira in senso orario l'altro in senso antiorario (supponiamo le lancette tutte uguali), notiamo che, affinché quello antiorario segni la stessa ora di quello orario (ovvero l'ora esatta) occorre che la lancetta dei minuti si sovrapponga a quella delle ore e viceversa. Infatti le lancette dei minuti si sovrappongono solo alle 12 e alle 6 di tutte le ore, ma le lancette delle ore, di questi ventiquattro momenti sono sovrapposte solo alle 12.
La prima soluzione è dunque, come ci si poteva immaginare l'ora 00.00.00.
A questo punto dobbiamo trovare le intersezioni fra una lancetta delle ore (supponiamo wlog che sia quella dell'orologio antiorario data la perfetta simmetria) e una dei minuti (quella dell'orologio orario).
Disegniamo la funzione della lancetta delle ore dell'orologio antiorario ($y=12-x$) e quella dei minuti dell'orologio orario ($y=12x$ per la prima ora, $y=12x-12$ per la seconda, $y=12x-12k$ per la k-esima ora e così fino a 12). Troviamo che i punti di intersezione hanno ascissa pari a $(12k)/13$, con k che varia da 0 a 12 (in realtà il primo caso è già stato esaminato). Dopodiché è sufficiente trasformare il valore ottenuto in ore minuti e secondi e considerare che ciò che si verifica nelle prime 12 ore accade anche nelle altre 12 ore.
Troviamo così le soluzioni:
00.00.00
00.55.23
01.50.46
02.46.09
03.41.32
04.36.55
05.32.18
06.27.41
07.23.04
08.18.27
09.13.50
10.09.13
11.04.37
12.00.00
00.55.23 pm
01.50.46 pm
02.46.09 pm
03.41.32 pm
04.36.55 pm
05.32.18 pm
06.27.41 pm
07.23.04 pm
08.18.27 pm
09.13.50 pm
10.09.13 pm
11.04.37 pm
Immaginandoci di sovrapporre due orologi di cui uno gira in senso orario l'altro in senso antiorario (supponiamo le lancette tutte uguali), notiamo che, affinché quello antiorario segni la stessa ora di quello orario (ovvero l'ora esatta) occorre che la lancetta dei minuti si sovrapponga a quella delle ore e viceversa. Infatti le lancette dei minuti si sovrappongono solo alle 12 e alle 6 di tutte le ore, ma le lancette delle ore, di questi ventiquattro momenti sono sovrapposte solo alle 12.
La prima soluzione è dunque, come ci si poteva immaginare l'ora 00.00.00.
A questo punto dobbiamo trovare le intersezioni fra una lancetta delle ore (supponiamo wlog che sia quella dell'orologio antiorario data la perfetta simmetria) e una dei minuti (quella dell'orologio orario).
Disegniamo la funzione della lancetta delle ore dell'orologio antiorario ($y=12-x$) e quella dei minuti dell'orologio orario ($y=12x$ per la prima ora, $y=12x-12$ per la seconda, $y=12x-12k$ per la k-esima ora e così fino a 12). Troviamo che i punti di intersezione hanno ascissa pari a $(12k)/13$, con k che varia da 0 a 12 (in realtà il primo caso è già stato esaminato). Dopodiché è sufficiente trasformare il valore ottenuto in ore minuti e secondi e considerare che ciò che si verifica nelle prime 12 ore accade anche nelle altre 12 ore.
Troviamo così le soluzioni:
00.00.00
00.55.23
01.50.46
02.46.09
03.41.32
04.36.55
05.32.18
06.27.41
07.23.04
08.18.27
09.13.50
10.09.13
11.04.37
12.00.00
00.55.23 pm
01.50.46 pm
02.46.09 pm
03.41.32 pm
04.36.55 pm
05.32.18 pm
06.27.41 pm
07.23.04 pm
08.18.27 pm
09.13.50 pm
10.09.13 pm
11.04.37 pm
non ci posso credere...il mio ragionamento era uguale a quello di yurifrey...con la differenza che io non capivo cosa fosse $(12k)/13$...cioè lo capivo ma non lo accettavo come risultato...
Non sò se è corretto, ma questo altro non è che un dato che permette di trovare le intersezioni tra la lancetta delle ore dell'orologio antiorario e la lancetta dei minuti dell'orologio orario...
Ma cosa molto importante non solo devono sovrapporsi queste due lancette, ma CONTEMPORANEAMENTE deve avvenire il contrario...devono sovrapporsi la lancetta dei minuti dell'orologio antiorario con quella delle ore dell'orologio orario...
mi sono spiegato?Per questo motino non credo sia la soluzione esatta...
Non sò se è corretto, ma questo altro non è che un dato che permette di trovare le intersezioni tra la lancetta delle ore dell'orologio antiorario e la lancetta dei minuti dell'orologio orario...
Ma cosa molto importante non solo devono sovrapporsi queste due lancette, ma CONTEMPORANEAMENTE deve avvenire il contrario...devono sovrapporsi la lancetta dei minuti dell'orologio antiorario con quella delle ore dell'orologio orario...
mi sono spiegato?Per questo motino non credo sia la soluzione esatta...
L'inverso è automatico (per questo ho detto "supponiamo wlog che sia quella dell'orologio antiorario data la perfetta simmetria").
Se non ti torna disegnati le due funzioni su un grafico, te ne renderai conto immediatamente.
La spiegazione matematica sta nel fatto che le intersezioni delle funzioni $y=x$ e $y=-12x+12k$ con k fra 0 e 12 sono le stesse delle due che ho scritto nell'altro post, ovvero $(12k)/13$ con k fra 0 e 12.
Se non ti torna disegnati le due funzioni su un grafico, te ne renderai conto immediatamente.
La spiegazione matematica sta nel fatto che le intersezioni delle funzioni $y=x$ e $y=-12x+12k$ con k fra 0 e 12 sono le stesse delle due che ho scritto nell'altro post, ovvero $(12k)/13$ con k fra 0 e 12.
allora...ho le idee mooooolto confuse...
Quello che noi (dico noi perchè io ho fatto il medesimo ragionamento) abbiamo fatto è vedere attraverso le funzioni, quando la lancetta antioraria delle ore si sovrappone alla lancetta oraria dei minuti...E abbiamo ottenuto $(12k)/13$
E fin qui ci siamo...
Ma stiamo dando per scontato che quando si sovrappongono le lacette ore-minuti si sovrappongono anche quelle minuti-ore...e chi ci dà questa certezza???
Facendo nuvamente le intersezioni con la lancetta minuti antiorari e ore orarie otteniamo $-(12k)/13$...
Non sò che dirti...a me sembrerebbe che non segna mai l'orario esatto ma ciò è assurdo...non riesco a capire...
Quello che noi (dico noi perchè io ho fatto il medesimo ragionamento) abbiamo fatto è vedere attraverso le funzioni, quando la lancetta antioraria delle ore si sovrappone alla lancetta oraria dei minuti...E abbiamo ottenuto $(12k)/13$
E fin qui ci siamo...
Ma stiamo dando per scontato che quando si sovrappongono le lacette ore-minuti si sovrappongono anche quelle minuti-ore...e chi ci dà questa certezza???
Facendo nuvamente le intersezioni con la lancetta minuti antiorari e ore orarie otteniamo $-(12k)/13$...
Non sò che dirti...a me sembrerebbe che non segna mai l'orario esatto ma ciò è assurdo...non riesco a capire...
Non capisco perché $-(12k)/13$...
Esempio: l'intersezione fra $y=x$ e $y=-12x+12$ mi rende $x=12/13$ esattamente la stessa dell'intersezione fra $y=12-x$ e $y=12x$. E la cosa fra l'altro è normale visto che le lancette sono perfettamente simmetriche.
Se non sei ancora convinto prova a disegnare i grafici...
Esempio: l'intersezione fra $y=x$ e $y=-12x+12$ mi rende $x=12/13$ esattamente la stessa dell'intersezione fra $y=12-x$ e $y=12x$. E la cosa fra l'altro è normale visto che le lancette sono perfettamente simmetriche.
Se non sei ancora convinto prova a disegnare i grafici...
sisi hai ragione...scusa la demenza...
Ora mi è tutto chiaro...credo sia la risposta giusta!(spero)
Ora mi è tutto chiaro...credo sia la risposta giusta!(spero)
Complimenti a Yurifrey, dovresti mandare la risposta a Rudi Mathematici.
"marco vicari":
Complimenti a Yurifrey, dovresti mandare la risposta a Rudi Mathematici.
si ma non c'è solo quel problema...ce ne sono altri piuttosto difficili...quello era il più fattibile...
comunque anke io devo fargli i complimenti...è stato l'unico utente a trovare subito l'approccio matematico...solo una cosa ha dimenticato che renderebbe sbagliata la risposta...ha dimenticato di considerare l'orologio antiorario con la laceta delle ore che combacia a quella delle ore e quella dei minuti che combacia a quella dei minuti...in questo modo, applicando il medesimo metodo risolutivo si ottiene 8 incontri, ovvero
00.00
00.30
06.00
06.30
12.00
12.30
06.00
06.30
...quandi la soluzione + 8...
angus,
credo che solo alle 00.00 o 12.00 (che è uguale) le lancette delle ore e quelle dei minuti possano combaciare nei due orologi, questo perchè alle 00.30 dell'orologio normale, quello antiorario segna le 11.30, questo perchè la lancetta delle ore non si muove a scatti da un puntino all'altro, ma mentre la lancetta dei minuti fa un giro completo la lancetta delle ore fa $1/12$ di giro al contrario. del resto le 00.00 erano state considerate nella soluzione.
io credo che la soluzione data sia corretta.
credo che solo alle 00.00 o 12.00 (che è uguale) le lancette delle ore e quelle dei minuti possano combaciare nei due orologi, questo perchè alle 00.30 dell'orologio normale, quello antiorario segna le 11.30, questo perchè la lancetta delle ore non si muove a scatti da un puntino all'altro, ma mentre la lancetta dei minuti fa un giro completo la lancetta delle ore fa $1/12$ di giro al contrario. del resto le 00.00 erano state considerate nella soluzione.
io credo che la soluzione data sia corretta.
io ragiono in un'altra maniera:
se tracciate una linea verticale dal 12 al 6 e sovrapponete l'orologio antiorario a quello orario, vi risulterà che le lancette saranno sempre simmetriche.
quindi gli unici momenti in cui segna l'ora giusta saranno quelli in cui le 4 lancette(2 dell'orologio orario e 2 dell'antiorario) saranno sovrapposte all'asse di simmetria!
se tracciate una linea verticale dal 12 al 6 e sovrapponete l'orologio antiorario a quello orario, vi risulterà che le lancette saranno sempre simmetriche.
quindi gli unici momenti in cui segna l'ora giusta saranno quelli in cui le 4 lancette(2 dell'orologio orario e 2 dell'antiorario) saranno sovrapposte all'asse di simmetria!
Sì, in effetti l'approccio intuitivo immediato che anch'io ho avuto è stato quello di exodd, il resto è solo un po' di formalizzazione.
Concordo con marco vicari, alle 00.30 le lancette non sono sovrapposte e neanche alle 06.30, 12.30 e 06.30pm.
Concordo con marco vicari, alle 00.30 le lancette non sono sovrapposte e neanche alle 06.30, 12.30 e 06.30pm.
mi sono perso: la soluzione qual'è?
si avete ragione...io avevo ragionato senza l'appoccio matematico...
Perchè pensavo al fatto che ogni mezz'ora le lancette dei minuti si sovrappongono e quele delle ore ogni 6 ore si sovrappongono...quindi
12.00
06.00
12.00pm
06.00pm
quindi +4
Perchè pensavo al fatto che ogni mezz'ora le lancette dei minuti si sovrappongono e quele delle ore ogni 6 ore si sovrappongono...quindi
12.00
06.00
12.00pm
06.00pm
quindi +4
angus solo le 6.00, le 12 erano già presenti nella soluzione molto elegante di yurifrey
"marco vicari":
angus solo le 6.00, le 12 erano già presenti nella soluzione molto elegante di yurifrey
ma ke stai dicendo?Sono io che non sò leggere o tu?Ci sono solo le 00.00...leggi la soluzione prima di spararle...
"yurifrey":
Provo a spiegare la mia idea che mi porta a concludere l'esistenza di 26 momenti in cui l'orologio segna l'ora esatta.
... cut
Troviamo così le soluzioni:
00.00.00
00.55.23
01.50.46
02.46.09
03.41.32
04.36.55
05.32.18
06.27.41
07.23.04
08.18.27
09.13.50
10.09.13
11.04.37
12.00.00
00.55.23 pm
01.50.46 pm
02.46.09 pm
03.41.32 pm
04.36.55 pm
05.32.18 pm
06.27.41 pm
07.23.04 pm
08.18.27 pm
09.13.50 pm
10.09.13 pm
11.04.37 pm
angus, io posso pure sbagliare a leggere... o non saper leggere ma qui mi sembra che ci sono sia le 12.00.00 sia le 00.00.00
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