Le anticongetture :)

[Zero87]

Dimostrare le seguenti anticongetture dando motivazioni... e magari aggiungendone altre.

Esiste un'unica coppia di primi $p_i$, $p_j$ tale che $p_i-p_j=11$.

Sotto opportune condizioni $2\cdot 12 = 101$.

Se un numero dispari è tale che la sua somma è divisibile per $3$ e la differenza tra le cifre nei posti pari e quelle dei posti dispari è divisibile per 11 ed inoltre l'ultima cifra è 5, allora non è divisibile per $2$.

Sia $k$ un numero naturale pari, allora $k+1$ è dispari.

Chiamiamo "numeri pari gemelli" i numeri pari $n_i$ e $n_j$ tali che $n_i-n_j=2$, dimostrare che ne esistono infiniti.

[size=80](Mi è tornato a mente un post vecchio dell'oliforum chiamato "gli sparadossi" )[/size]

[Andrea571]

"Zero87":Dimostrare le seguenti anticongetture dando motivazioni... e magari aggiungendone altre.
Sia $k$ un numero naturale pari, allora $k+1$ è dispari.

Sinceramente, non sò cosa sia una anticongettura, intendi che bisogna dimostrare che queste tue affermazioni sono vere?

Se è cosi, allora questa qui sopra si può dimostrare così:
se $k$ è pari, allora è scrivibile come $2n$, con $n$ intero.
Questo vuol dire che $2n+1$ deve necessariamente essere dispari, per definizione;

Te ne sarei molto grato, se mi dicessi in poche parole cosa si intende per anticongettura, perché al 99% non è quello che intendevo

[Zero87]

"Andrea57":Sinceramente, non sò cosa sia una anticongettura, intendi che bisogna dimostrare che queste tue affermazioni sono vere?

Non so se esiste il termine, me lo sono inventato nel significato di "congettura ovvia e idiota" o di "stupidata" (in senso buono).
Nel thread che ho aperto la matematica e l'idiozia sono mescolate in proporzioni uguali e in cui ognuno può aggiungerne altre del tipo.
La dimostrazione di queste, in alcuni casi è ovvia, ma in altri richiede un pizzico di pensiero laterale (come il $2\cdot 12=101$) ed è utile per il cervello.

PS. La dimostrazione è ok.

[Andrea571]

"Zero87":Dimostrare le seguenti anticongetture dando motivazioni... e magari aggiungendone altre.
Se un numero dispari è tale che la sua somma è divisibile per $3$ e la differenza tra le cifre nei posti pari e quelle dei posti dispari è divisibile per 11 ed inoltre l'ultima cifra è 5, allora non è divisibile per $2$.

Qui ci sono pure cascato appena ho letto "e termina con $5$" mi sono fatto 5 minuti di vergogna
Dimostrazione:
Se questo numero termina con $5$ vuol dire che è dispari (ovvero della forma $2k+1$); di conseguenza $(2k+1)/2$ darà sempre resto $1$....ergo, non divisibile per $2$

[Zero87]

Vedo che hai capito il senso: se te ne viene in mente qualcuna, posta pure!

Poi, certo, la difficoltà potrebbe essere quella di formalizzare una dimostrazione che l'intuito direbbe "ovvia".

[theras]

$2*12=101$??!
James,ma a forza di coprire quegli ottantotto tasti hai avuto problemi ai tendini e stai cercando d'abituarti all'idea che non potrai usare per un pò sette dita ?
Saluti dal web.

[Andrea571]

Sinceramente non ho capito se mi stia fregando semplicemente perché $101$ è primo, oppure se c'è davvero qualcosa sotto

[Pianoth]

Simpaticissime!
Spiego il secondo a caso:

$2=2 " in base 3"$
$12=5 " in base 3"$
$2*12 = > 2*5 = 10 = 101 " in base 3"$

Comunque il prodotto di due numeri primi la cui differenza è $2$, aumentato di $1$, è un quadrato.

[Zero87]

"theras":James,ma a forza di coprire quegli ottantotto tasti hai avuto problemi ai tendini e stai cercando d'abituarti all'idea che non potrai usare per un pò sette dita ?

Come suggerimento è simpatico (e Pianoth ha dato la soluzione giusta).

... e ha suggerito un'altra anticongettura, di cui spoilerizzo la dimostrazione.

Se $n$ è tale che $n-1$ e $n+1$ sono primi, allora $(n-1)(n+1)= n^2 -1$ che aumentato di $1$ è un quadrato.

In attesa di altri rilanci e di altre dimostrazioni delle prime, posso aggiungerne alcune più demenziali.

(Anti Goldbach). Per ogni coppia $p_i$ e $p_j$ di numeri primi maggiori di $2$, la loro somma è un numero pari.

Dimostrare che è più rapido contare fino a $10$ in codice binario rispetto alla base solita con cui siamo abituati a che fare.
Corollario: notare che se il calcio si gioca 11 contro 11, in codice binario il campo sarebbe pressoché deserto.

Dimostrare che se $\infty > 8$ allora $\omega >3$.

Verificare che $-^2=+$.

Concludo con un OT. Ma solo io ho notato che ultimamente i moderatori si moltiplicano?

[Luca114]

"Pianoth":Simpaticissime!
Spiego il secondo a caso:

$2=2 " in base 3"$
$12=5 " in base 3"$
$2*12 = > 2*5 = 10 = 101 " in base 3"$

Comunque il prodotto di due numeri primi la cui differenza è $2$, aumentato di $1$, è un quadrato.

Qualcuno mi potrebbe tradurre la dimostrazione in un linguaggio per studenti di seconda superiore? Non capisco la dimostrazione... che significa "in base"?
Grazie mille a chi risponderà

ps: si, credo si sia aggiunto un moderatore

[Pianoth]

"Luca":
Qualcuno mi potrebbe tradurre la dimostrazione in un linguaggio per studenti di seconda superiore? Non capisco la dimostrazione... che significa "in base"?
Grazie mille a chi risponderà

In teoria viene accennato alle medie, comunque ti spiego molto molto molto molto brevemente.
Fine.

No seriamente, semplicemente noi quando facciamo calcoli e praticamente ogni tipo di operazione la facciamo usando il cosiddetto sistema decimale, che è formato da $10$ simboli, che sono $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Se io volessi contare usando il sistema ternario (ossia in base $3$) dovrei usare $3$ simboli, cioè $0, 1, 2$.
Così, a ogni numero del sistema decimale corrisponderà un numero del sistema ternario:
$$\begin{array}{c|c}
\text{Base 10} & \text{Base 3} \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 10 \\ 4 & 11 \\ 5 & 12 \\ 6 & 20 \\ 7 & 21 \\ 8 & 22 \\ 9 & 100 \\ 10 & 101 \\ 11 & 110 \\ \vdots & \vdots
\end{array}$$
(questo vale anche con i numeri non interi, ma il discorso si fa più complicato quindi lascio perdere)
Questa minuscolissima ed imprecisa spiegazione ti permetterà di rispondere anche a una delle altre anticongetture di Zero

"Luca":ps: si, credo si sia aggiunto un moderatore

Uno? Si è riaggiunto gugo, vict (praticamente poco fa), Luc@s (ritornato più che altro) e non mi ricordo chi altri (se ce ne sono altri)

[Zero87]

"Pianoth":Questa minuscolissima ed imprecisa spiegazione ti permetterà di rispondere anche a una delle altre anticongetture di Zero

Quella che ha come corollario il campo da calcio...

"Pianoth":Si è riaggiunto gugo, vict (praticamente poco fa), Luc@s (ritornato più che altro) e non mi ricordo chi altri (se ce ne sono altri)

Infatti ultimamente vedevo tutto verde (e gugo giallo... )

[yellow2]

$2 \cdot 12 = 101$ anche con la congruenza modulo $7$.

[Zero87]

"yellow":$2 \cdot 12 = 101$ anche con la congruenza modulo $7$.

Avevo pensato al metodo poi utilizzato da Pianoth per risolvere ma...

Comunque ho trovato gli "sparadossi" da cui ho preso spunto per la demenzialità di questo thread (la differenza sta nel fatto che queste sono affermazioni, comunque, da dimostrare dal punto di vista matematico mentre gli sparadossi sono definizioni assurde ).
http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=27&t=9873
[Saluto l'oliforum che, come diceva Fioravante molti post fa "sono i nostri cugini". ]

[Pianoth]

Se un polinomio $x^2+ax+b$ ha due radici una il doppio dell'altra, allora dividendo per $-1/3$ il coefficiente di $x$ si ottiene la radice più piccola.
[size=70]Troppo difficile per considerarsi un'anticongettura? In teoria la può dimostrare anche un'alunno di prima.[/size]

[theras]

@Yellow.
Se è per questo $3*15=53$ in modulo $4$($=10-6$):
non è un caso,direi,ma certo è qualcosa di diverso dalle "anticongetture" richieste da Zero87 ..
Saluti dal web.
Edit:
sistemate le mutue posizioni di $6$ e $4$..

[Zero87]

"Pianoth":Se un polinomio $x^2+ax+b$ ha due radici una il doppio dell'altra, allora dividendo per $-1/3$ il coefficiente di $x$ si ottiene la radice più piccola.

$(x-a)(x-2a)=x^2-ax-2ax+2a^2=x^2-3ax+2a^2$
che dovrebbe andare.

"Pianoth":[size=85]Troppo difficile per considerarsi un'anticongettura? In teoria la può dimostrare anche un'alunno di prima.[/size]

(Ho ingrandito leggermente il carattere della tua frase perché nel mio browser non riuscivo a leggerla per quanto era piccola.)
Comunque sì, mi sa che è troppo matematica (e seria ) per essere un'anticongettura: ha le carte in regola per essere "un'osservazione" in secondo superiore.

[Luca9712]

Antiprova $0/0=2$.

Antidimostrazione

$0/0=(160-160)/(160-160)$

$=(10*10-10*10)/(10*10-10*10)$

$=(10^2-10^2)/(10*(10-10))$

$=((10+10) (10-10))/(10 (10-10))$

$=(10+10)/10 $

$=20/10=2$

[Zero87]

"Luca97":Antiprova $0/0=2$. [...]

Simpatica, non l'avevo mai vista (se è originale complimenti!), anche se mi ricorda quella di $1=2$ come tecniche.

[Luca9712]

Non è mia, era su facebook

[giammaria2]

Questa è abbastanza famosa: il doppio di qualsiasi numero è zero.
Siano $a,b$ due numeri qualsiasi ma uguali fra loro.
Posso scrivere $b=a$.
Moltiplico per $-2b$: ottengo $-2b^2=-2ab$.
Aggiungo $a^2+b^2$: ottengo $a^2-b^2=a^2+b^2-2ab$.
Scompongo in fattori: ottengo $(a-b)(a+b)=(a-b)^2$.
Semplifico: ottengo $a+b=a-b$.
Ma avevo $b=a$, quindi $2a=0$
che dimostra la tesi.

[xdom="giammaria"]Però ritengo opportuno spostare in Giochi matematici[/xdom]