Le anticongetture :)
Dimostrare le seguenti anticongetture dando motivazioni... e magari aggiungendone altre.
Esiste un'unica coppia di primi $p_i$, $p_j$ tale che $p_i-p_j=11$.
Sotto opportune condizioni $2\cdot 12 = 101$.
Se un numero dispari è tale che la sua somma è divisibile per $3$ e la differenza tra le cifre nei posti pari e quelle dei posti dispari è divisibile per 11 ed inoltre l'ultima cifra è 5, allora non è divisibile per $2$.
Sia $k$ un numero naturale pari, allora $k+1$ è dispari.
Chiamiamo "numeri pari gemelli" i numeri pari $n_i$ e $n_j$ tali che $n_i-n_j=2$, dimostrare che ne esistono infiniti.
[size=80](Mi è tornato a mente un post vecchio dell'oliforum chiamato "gli sparadossi"
)[/size]
Esiste un'unica coppia di primi $p_i$, $p_j$ tale che $p_i-p_j=11$.
Sotto opportune condizioni $2\cdot 12 = 101$.
Se un numero dispari è tale che la sua somma è divisibile per $3$ e la differenza tra le cifre nei posti pari e quelle dei posti dispari è divisibile per 11 ed inoltre l'ultima cifra è 5, allora non è divisibile per $2$.
Sia $k$ un numero naturale pari, allora $k+1$ è dispari.
Chiamiamo "numeri pari gemelli" i numeri pari $n_i$ e $n_j$ tali che $n_i-n_j=2$, dimostrare che ne esistono infiniti.
[size=80](Mi è tornato a mente un post vecchio dell'oliforum chiamato "gli sparadossi"
)[/size]
Risposte
Dimostrare che sottraendo a un numero minore di 10 un numero maggiore di 100 si ottiene un numero minore di 1000.
"giammaria":
Questa è abbastanza famosa: il doppio di qualsiasi numero è zero.
Siano $a,b$ due numeri qualsiasi ma uguali fra loro.
Posso scrivere $b=a$.
Moltiplico per $-2b$: ottengo $-2b^2=-2ab$.
Aggiungo $a^2+b^2$: ottengo $a^2-b^2=a^2+b^2-2ab$.
Scompongo in fattori: ottengo $(a-b)(a+b)=(a-b)^2$.
Semplifico: ottengo $a+b=a-b$.
Ma avevo $b=a$, quindi $2a=0$
che dimostra la tesi.
Qui l'errore mi sembra ovvio: non si può dividere un numero per zero.
[size=80]Prima di sparire per una manciata di giorni, rilancio prendendo spunto proprio da Luca (che saluto 
).[/size]
Liberamente reinterpretato - senza offesa, ovvio, ma solo per amor di ironia
- da qui.
Dimostrare che, in una città di $250000$ esistono almeno due persone che hanno dei capelli in testa, supponendo che la superficie del cuoio capelluto sia circa $60000mm^2$ e che la densità dei capelli sia circa $4$ al millimetro quadrato.
).[/size]Liberamente reinterpretato - senza offesa, ovvio, ma solo per amor di ironia
- da qui.Dimostrare che, in una città di $250000$ esistono almeno due persone che hanno dei capelli in testa, supponendo che la superficie del cuoio capelluto sia circa $60000mm^2$ e che la densità dei capelli sia circa $4$ al millimetro quadrato.
Bellissimo! 
Mi ricorda questo. Ne traduco alcune.
Dimostrare che se [tex]a,b[/tex] sono numeri naturali abbastanza grandi e consecutivi allora il prodotto [tex]a \cdot b[/tex] non è un numero primo.
Dimostrare che se [tex]X[/tex] è un insieme non vuoto la funzione identità [tex]X \to X[/tex] ha almeno un punto fisso.
Studiare il comportamento asintotico dei coefficienti di un polinomio.
Dimostrare che ogni disequazione ha una dissoluzione.
-------
Poi alcune altre che avevo pensato:
Dimostrare che se in un'urna ci sono tre palline rosse, quattro verdi e otto bianche, allora almeno uno di questi tre colori è il colore di almeno una pallina.
Dimostrare che un albero rosso non è verde e viceversa.
Dimostrare che esistono numeri che sono minori di 3 oppure minori di 7.
Mi ricorda questo. Ne traduco alcune.
Dimostrare che se [tex]a,b[/tex] sono numeri naturali abbastanza grandi e consecutivi allora il prodotto [tex]a \cdot b[/tex] non è un numero primo.
Dimostrare che se [tex]X[/tex] è un insieme non vuoto la funzione identità [tex]X \to X[/tex] ha almeno un punto fisso.
Studiare il comportamento asintotico dei coefficienti di un polinomio.
Dimostrare che ogni disequazione ha una dissoluzione.
-------
Poi alcune altre che avevo pensato:
Dimostrare che se in un'urna ci sono tre palline rosse, quattro verdi e otto bianche, allora almeno uno di questi tre colori è il colore di almeno una pallina.
Dimostrare che un albero rosso non è verde e viceversa.
Dimostrare che esistono numeri che sono minori di 3 oppure minori di 7.
Questa l'ho trovata sul web tempo fa.
Stranamente è risolvibile.
Una ragazza ha 21 anni più del figlio.
Fra sei anni l'età del figlio sarà un quinto dell'età della madre.
Dove si trova adesso il padre?
Come ho già detto, si può risolvere.
Buon divertimento
Stranamente è risolvibile.
Una ragazza ha 21 anni più del figlio.
Fra sei anni l'età del figlio sarà un quinto dell'età della madre.
Dove si trova adesso il padre?
Come ho già detto, si può risolvere.
Buon divertimento
"superpippone":
Questa l'ho trovata sul web tempo fa.
Stranamente è risolvibile.
Una ragazza ha 21 anni più del figlio.
Fra sei anni l'età del figlio sarà un quinto dell'età della madre.
Dove si trova adesso il padre?
Come ho già detto, si può risolvere.
Buon divertimento
Uso le parole del film "A beautiful mind". Non possono esistere, nello stesso sistema temporale, madre, padre e figlio. Dunque il padre non dovrebbe esistere
"superpippone":
Questa l'ho trovata sul web tempo fa.
Stranamente è risolvibile.
Una ragazza ha 21 anni più del figlio.
Fra sei anni l'età del figlio sarà un quinto dell'età della madre.
Dove si trova adesso il padre?
Come ho già detto, si può risolvere.
Buon divertimento
Non mi andava di fare il sistema, cosi sono andato a cercarne la soluzione, e sto ancora ridendo
"Martino":
Dimostrare che se [tex]X[/tex] è un insieme non vuoto la funzione identità [tex]X \to X[/tex] ha almeno un punto fisso.
Dimostrare che ogni disequazione ha una dissoluzione.
Sto ancora ridendo e non credo che smetterò dopo aver scoperto anche la soluzione di quello di superpippone.
"Martino":
Dimostrare che se in un'urna ci sono tre palline rosse, quattro verdi e otto bianche, allora almeno uno di questi tre colori è il colore di almeno una pallina.
Bellissima, riflette - secondo me - proprio lo spirito delle anticongetture.
Rilancio (ma è semplice).
Tre signori molto onesti ed educati cenano in una locanda. Il primo di loro, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Anche il secondo, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro"
Il terzo infine, quando chiede il conto riceve la stessa risposta:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Quando i tre se ne sono andati il padrone, tutto soddisfatto, apre la cassa e la trova vuota!
"Il mondo è pieno di ladri! pensa, ma ha torto."
Tenendo conto che i tre signori non hanno rubato nulla ed hanno eseguito alla lettera le disposizioni del padrone, sapresti dire quanto c'era nella cassa all'inizio?
Tre signori molto onesti ed educati cenano in una locanda. Il primo di loro, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Anche il secondo, quando ha finito di cenare, chiede il conto. Il padrone gli risponde:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro"
Il terzo infine, quando chiede il conto riceve la stessa risposta:
"Vai alla cassa, conta quanti soldi ci sono, mettici altrettanto e prendi come resto 2 Euro."
Quando i tre se ne sono andati il padrone, tutto soddisfatto, apre la cassa e la trova vuota!
"Il mondo è pieno di ladri! pensa, ma ha torto."
Tenendo conto che i tre signori non hanno rubato nulla ed hanno eseguito alla lettera le disposizioni del padrone, sapresti dire quanto c'era nella cassa all'inizio?
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