Lanciare una moneta senza moneta, è possibile?
Può una persona reale effettivamente produrre un processo di Bernoulli con parametro \(1/2\), ovvero una successione di variabili aleatorie indipendenti \(X_1,X_2,X_3,\ldots\), dove per ogni \(k\) abbiamo \( X_k = 0 \) con probabilità \(1/2\) e \(X_k=1\) con probabilità \(1/2\) usando soltanto il proprio ragionamento?
Se una persona reale da sola non può, riescono due persone che collaborano?
Per produrre effettivamente intendo: una persona con una moneta riesce, infatti può lanciare la moneta \(20\) volte (testa = 0, croce =1) e ottenere:
0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ...
ma questa soluzione non è accettabile poiché la persona usa la moneta.
ps: Si ho lanciato davvero una moneta 20 volte
.
pps: Sebbene io abbia qualche idea, non ho una risposta.
Se una persona reale da sola non può, riescono due persone che collaborano?
Per produrre effettivamente intendo: una persona con una moneta riesce, infatti può lanciare la moneta \(20\) volte (testa = 0, croce =1) e ottenere:
0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ...
ma questa soluzione non è accettabile poiché la persona usa la moneta.
ps: Si ho lanciato davvero una moneta 20 volte
.pps: Sebbene io abbia qualche idea, non ho una risposta.
Risposte
Credo che intenda creare un modo di scelta utilizzando solo il ragionamento puro che porti ad una probabilità prestabilita, in questo caso che simuli il lancio di una moneta, ovvero non ci devono essere favoritismi tra la scelta di testa e croce da sbilanciare la probabilità. Secondo me non si può fare, o almeno puoi andare a casaccio ed imitare perfettamente il lancio di una moneta ma non puoi calcolare la probabilità allo stesso modo perché le variabili in gioco sono tante.
"gabriella127":
Purtroppo questo non garantirebbe affatto una probabilità uguale tra le due occorrenze... anzi, essendo i battiti al minuto piuttosto pochi (a riposo o meno che sia), nell'ordine di un centinaio, avremmo anche un discreto sbilanciamento (senza contare il fatto che siano pure abbastanza stabili in condizioni di stress psico-fisico simile nello stesso individuo).
Pensandoci giusto il tempo di scrivere il messaggio precedente, mi verrebbe (così di primo acchito) di proporre il rozzissimo metodo di mettersi d'accordo preventivamente tra il soggetto A e il soggetto B affinché:
1) Sia A che B pensino a un numero naturale tra $1$ e $8$;
2) Nessuno dei due cambierà la propria scelta ascoltando quella dell'altro;
3) Entrambi dichiarano la propria scelta ad alta voce;
4) Sommare i valori e vedere se il numero risultante sia pari o dispari.
Essendoci esattamente $4$ numeri pari e $4$ dispari in $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ed essendo pari+pari = pari = dispari + dispari e pari + dispari = dispari = dispari + pari, avremmo l'equiprobabilità tra gli eventi "il risultato un pari" e "il risultato è un dispari", a patto che le due scelte siano realmente randomiche. Questo non è nella pratica vero, ma di certo è meglio che basarsi su chi vince a carta-forbice-sasso scartando i casi nulli. Non siamo sul serio capaci in modo spontaneo di creare mentalmente processi davvero randomici da soli e nemmeno in gruppo: basti pensare a cosa avverrebbe se chiedessimo a $100$ persone di disporsi in modo il più "casuale" possibile in uno stanzone $10 \times 10$ metri... avremmo verosimilmente che pochissime di loro saranno vicine (magari a meno di $40$ cm tra loro), proprio perché nella nostra testa "casuale" è l'opposto di risultato ripetuto o pattern che noteremmo in una sequenza, ma questo in un processo randomico si verifica di tanto in tanto.
1) Sia A che B pensino a un numero naturale tra $1$ e $8$;
2) Nessuno dei due cambierà la propria scelta ascoltando quella dell'altro;
3) Entrambi dichiarano la propria scelta ad alta voce;
4) Sommare i valori e vedere se il numero risultante sia pari o dispari.
Essendoci esattamente $4$ numeri pari e $4$ dispari in $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ed essendo pari+pari = pari = dispari + dispari e pari + dispari = dispari = dispari + pari, avremmo l'equiprobabilità tra gli eventi "il risultato un pari" e "il risultato è un dispari", a patto che le due scelte siano realmente randomiche. Questo non è nella pratica vero, ma di certo è meglio che basarsi su chi vince a carta-forbice-sasso scartando i casi nulli. Non siamo sul serio capaci in modo spontaneo di creare mentalmente processi davvero randomici da soli e nemmeno in gruppo: basti pensare a cosa avverrebbe se chiedessimo a $100$ persone di disporsi in modo il più "casuale" possibile in uno stanzone $10 \times 10$ metri... avremmo verosimilmente che pochissime di loro saranno vicine (magari a meno di $40$ cm tra loro), proprio perché nella nostra testa "casuale" è l'opposto di risultato ripetuto o pattern che noteremmo in una sequenza, ma questo in un processo randomico si verifica di tanto in tanto.
Riflettendoci un po' meglio, mi è venuto in mente un metodo di sicuro più preciso, lavorare con frazioni e operatore floor o ceiling (a scelta casuale anche questo).
Fase 1: Criterio di prima per determinare "in potenza" se usare floor o ceiling (risultato precente pari $\rightarrow$ floor e celing in caso contrario).
Fase 2: Uno dei due soggetti (poniamo A) sceglie il valore del numeratore e l'altro quello del denominatore, avendo cura di pescare elementi da insiemi di naturali molto diversi tra loro... che so, A pesca mentalmente un intero tra $10^8$ e $10^9-1$ per il numeratore e B uno tra $10^2$ e $10^3-1$ per il denominatore. Si fissa preventivamente il criterio: "{floor o celing, in base all'esito della fase 1 di volta in volta da rivalutare}(Scelta di A / Scelta di B)" e si vede se questo di risultato è pari o dispari. Da qui i due eventi da considerare... così abbattiamo ulteriormente la discrepanza attesa tra le frequenze dei due scenari possibili (i.e., "output finale pari" e "output finale dispari").
L'idea è che i due soggetti non possono prevedere inconsapevolmente gli scenari possibili che si verificheranno a valle del processo di calcolo e questi determineranno una distribuzione omogonea di eventi pari e di eventi dispari se le scelte a monte non segono un andamento afflitto da pattern troppo semplici. Ho fissato elementi contraddistinti da un eguale numero di cifre tra cui scegliere per ciascun soggetto, così evito di introdurre errori sistematici nelle singole scelte iniziali.
Di certo si può migliorare ancora procedendo in questo senso, ma non so fino a che punto.
Fase 1: Criterio di prima per determinare "in potenza" se usare floor o ceiling (risultato precente pari $\rightarrow$ floor e celing in caso contrario).
Fase 2: Uno dei due soggetti (poniamo A) sceglie il valore del numeratore e l'altro quello del denominatore, avendo cura di pescare elementi da insiemi di naturali molto diversi tra loro... che so, A pesca mentalmente un intero tra $10^8$ e $10^9-1$ per il numeratore e B uno tra $10^2$ e $10^3-1$ per il denominatore. Si fissa preventivamente il criterio: "{floor o celing, in base all'esito della fase 1 di volta in volta da rivalutare}(Scelta di A / Scelta di B)" e si vede se questo di risultato è pari o dispari. Da qui i due eventi da considerare... così abbattiamo ulteriormente la discrepanza attesa tra le frequenze dei due scenari possibili (i.e., "output finale pari" e "output finale dispari").
L'idea è che i due soggetti non possono prevedere inconsapevolmente gli scenari possibili che si verificheranno a valle del processo di calcolo e questi determineranno una distribuzione omogonea di eventi pari e di eventi dispari se le scelte a monte non segono un andamento afflitto da pattern troppo semplici. Ho fissato elementi contraddistinti da un eguale numero di cifre tra cui scegliere per ciascun soggetto, così evito di introdurre errori sistematici nelle singole scelte iniziali.
Di certo si può migliorare ancora procedendo in questo senso, ma non so fino a che punto.
"marcokrt":
L'idea è che i due soggetti non possono prevedere inconsapevolmente gli scenari possibili che si verificheranno a valle del processo di calcolo e questi determineranno una distribuzione omogonea di eventi pari e di eventi dispari se le scelte a monte non segono un andamento afflitto da pattern troppo semplici. Ho fissato elementi contraddistinti da un eguale numero di cifre tra cui scegliere per ciascun soggetto, così evito di introdurre errori sistematici nelle singole scelte iniziali.
E' qui che avevo ragionato anche io! Ma non so se questo basta nella pratica per riuscire ad avere un bernoulli con parametro \(1/2\) teorico. E ho pensato a delle variazioni fondamentalmente di quello che hai pensato te.
Con una persona. Idea diversa, ma non so se possa funzionare. Forse si può pensare ad una sua variazione.
Se a noi ci interessa un processo di Bernoulli finito, quindi ad esempio lanciare la moneta \(k\) volte, la mia idea è di prendere un processo di Bernoulli già predeterminato e fissato, e scorrerlo (un po' come facciamo sulle pagine di un telefono touch, un lungo tocco e la pagina incomincia a scorrere). Una volta che ci siamo fermati prendiamo le prime \(k\) osservazioni come nostro processo di Bernoulli finito.
Prendiamo quindi un numero \(2\)-normale, ad esempio la costante di Champernowne (si pensa che anche \(\pi\), \(\ln 2\) e \( \zeta(3)\) sono \(2\)-normali) che è ottenuta concatenando la rappresentazione binaria dei numeri interi positivi.
\[C_2 = 0. (1)(10)(11)(100)(101)\ldots \]
E' stato dimostrato che \(C_2\) è un numero \(2\)-normale che è calcolabile. Un numero è detto \(b\)-normale (rispetto alla base \(b\)), se nella sua espansione in base \(b\) ciascuna digita appare con una frequenza media di \(1/b\). Quindi in un certo senso \(C_2\) è un processo di Bernoulli realizzato.
Diciamo che vogliamo un processo di Bernoulli lungo \(k\), i.e. \(X_1,X_2\ldots,X_k\).
Osserviamo quindi \(x_{k+1}\), dove \(x_{k+1} \) da intendersi nel espansione di \(C_2\) in base \(2\), ovvero:
\[ C_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2^n} = (x_1,x_2,\ldots,x_k,x_{k+1},\ldots) \]
Scegliamo \(N \gg 0 \), grande insomma. Questo \(N\) ci permette di scorrere una prima volta \(C_2\). Chiamiamo \( A = \{ (\ast, \ldots, \ast , x_{k+1} , \ast , \ldots) \} \) il cilindro dove in \((k+1)\)-esima posizione possiede \(x_{k+1} \) e nelle altre coordinate non importa. Notiamo che \(C_2 \in A \). Questo cilindro ha misura di Bernoulli \(1/2\). Sia inoltre \(T\) l'operatore shift, che preserva la misura, ovvero \(T (a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_2,a_3,\ldots)\). Ora per il teorema della ricorrenza di Poincarré, quasi sicuramente (con probabilità \(1\)), abbiamo che esiste \( m > N \) tale che \[ T^{m} C_2=(x_{m+1},x_{m+2},\ldots,x_{m+k}, x_{m+k+1},\ldots) \in A.\] Prendiamo \(m>N\) minimale con questa proprietà. Osserviamo quindi \( T^m C_2 \in A \), e diciamo che \(X_1=x_{m+1},X_2=x_{m+2},\ldots X_k=x_{m+k} \) è il nostro processo di Bernoulli. In un certo senso \( T^N\) ci permette di scorrere le cifre di \(C_2\) una prima volta per rimescolare un po' le cose, mentre con \( T^{m-N} \) ci permette di fermarci al nostro processo di Bernoulli senza l'influenza della decisione umana.
La cosa che mi preoccupa un po' è la scelta di \(C_2\) e la scelta di \(N\).
"3m0o":
Ora per il teorema della ricorrenza di Poincarré, quasi sicuramente (con probabilità \(1\)), abbiamo che esiste \( m > N \) tale che \[ T^{m} C_2=(x_{m+1},x_{m+2},\ldots,x_{m+k}, x_{m+k+1},\ldots) \in A.\] Prendiamo \(m>N\) minimale con questa proprietà. Osserviamo quindi \( T^m C_2 \in A \), e diciamo che \(X_1=x_{m+1},X_2=x_{m+2},\ldots X_k=x_{m+k} \) è il nostro processo di Bernoulli. In un certo senso \( T^N\) ci permette di scorrere le cifre di \(C_2\) una prima volta per rimescolare un po' le cose, mentre con \( T^{m-N} \) ci permette di fermarci al nostro processo di Bernoulli senza l'influenza della decisione umana.
La cosa che mi preoccupa un po' è la scelta di \(C_2\) e la scelta di \(N\).
Ripensandoci, forse è meglio guardare \(B=\{ (\ast,x_2,\ast,\ast,\ldots) \} \) che ha misura \(1/2\). E scegliere \( N< m_1 < m_2 < m_3 < \ldots < m_k \) tale che per ogni \(1 \leq j \leq k \)
\[ T^{m_j}C_2 = (x_{m_j+1},x_{m_j+2} ,\ldots ) \in B \]
e scegliere come processo di Bernoulli
\[ X_1 = x_{m_1+1}, X_2=x_{m_2+1} , \ldots, X_k = x_{m_k+1} \]
"marcokrt":
[quote="gabriella127"]
Purtroppo questo non garantirebbe affatto una probabilità uguale tra le due occorrenze... anzi, essendo i battiti al minuto piuttosto pochi (a riposo o meno che sia), nell'ordine di un centinaio, avremmo anche un discreto sbilanciamento (senza contare il fatto che siano pure abbastanza stabili in condizioni di stress psico-fisico simile nello stesso individuo).[/quote]
Non vedo motivo alcuno per pensare che i battitti del cuore in un minuto siano con maggiore probabilità dispari invece che pari o viceversa.
Bisognerebbe chiedere a un cardiologo, ma credo che sgranerebbe gli occhi
Proverò a chiedere a mio nipote che è quasi-cardiologo.
"gabriella127":
Allora questa è simpatica e abbastanza ingegniosa. Però intendevo una cosa proprio da un punto di vista di pensiero puro. Comunque non so neanche bene io se funzioni. Può essere.
"gabriella127":
Bisognerebbe chiedere a un cardiologo, ma credo che sgranerebbe gli occhi
"3m0o":
[quote="gabriella127"]
Allora questa è simpatica e abbastanza ingegniosa. Però intendevo una cosa proprio da un punto di vista di pensiero puro. Comunque non so neanche bene io se funzioni. Può essere.
"gabriella127":
Bisognerebbe chiedere a un cardiologo, ma credo che sgranerebbe gli occhi
[/quote]Comunque lo chiederò davvero a mio nipote che è molto sveglio e spiritoso, saprà rispondere!
Se non esiste motivo alcuno per ritenere i battiti dispari più probabili dei pari o viceversa, le probabilità da attribuire sono ragionevolente $1/2$ e $1/2$, visto che poi alla fine la teoria dell probabilità più coerente è quella soggettivista.
Ma è prorio il concetto di 'pensiero puro' che non mi è chiaro. Perciò chiedevo.
Anche nella tua risposta c'è un intervento 'materiale', scorri il processo Bernoulliano come su uno smartphone:
"la mia idea è di prendere un processo di Bernoulli già predeterminato e fissato, e scorrerlo (un po' come facciamo sulle pagine di un telefono touch, un lungo tocco e la pagina incomincia a scorrere)".
Come lo scorri con 'il pensiero puro'?
Perciò chiedevo, e facevo la proposta di stare tipo mummia solo-pensante sul bordo di una strada a vedere le targhe delle macchine (ma anche qui c'è la vista).
Pensiero puro cos'è? il 'cervello in una vasca' attaccato agli elettrodi'?
Lo vedi che hai alzato un polverone fiosofico?
"gabriella127":
Ma è prorio il concetto di 'pensiero puro' che non mi è chiaro. Perciò chiedevo.
Anche nella tua risposta c'è un intervento 'materiale', scorri il processo Bernoulliano come su uno smartphone:
"la mia idea è di prendere un processo di Bernoulli già predeterminato e fissato, e scorrerlo (un po' come facciamo sulle pagine di un telefono touch, un lungo tocco e la pagina incomincia a scorrere)".
Come lo scorri con 'il pensiero puro'?
Questa era solo un analogia! L'ho descritto sotto come lo scorri con il pensiero puro
"gabriella127":
Pensiero puro cos'è? il 'cervello in una vasca' attaccato agli elettrodi'?
Lo vedi che hai alzato un polverone fiosofico?
Upsy
"3m0o":
[quote="gabriella127"]
Ma è prorio il concetto di 'pensiero puro' che non mi è chiaro. Perciò chiedevo.
Anche nella tua risposta c'è un intervento 'materiale', scorri il processo Bernoulliano come su uno smartphone:
"la mia idea è di prendere un processo di Bernoulli già predeterminato e fissato, e scorrerlo (un po' come facciamo sulle pagine di un telefono touch, un lungo tocco e la pagina incomincia a scorrere)".
Come lo scorri con 'il pensiero puro'?
Questa era solo un analogia! L'ho descritto sotto come lo scorri con il pensiero puro
[/quote]
Ok, ho capito, allora diciamo che per pensiero puro intendi solo il pensiero matematico, comunque si esprima (vatti a fare quelle cose senza carta e penna o formule scritte altrimenti), senza l'intervento di realtà concrete esterne alla matematica o non finalizzate a essa (aggeggi, orologi, il proprio corpo, etc.).
Abbiamo risolto. credo, il dilemma filosofico!
"gabriella127":
[quote="3m0o"][quote="gabriella127"]
Allora questa è simpatica e abbastanza ingegniosa. Però intendevo una cosa proprio da un punto di vista di pensiero puro. Comunque non so neanche bene io se funzioni. Può essere.
"gabriella127":
Bisognerebbe chiedere a un cardiologo, ma credo che sgranerebbe gli occhi
[/quote]Comunque lo chiederò davvero a mio nipote che è molto sveglio e spiritoso, saprà rispondere!
Se non esiste motivo alcuno per ritenere i battiti dispari più probabili dei pari o viceversa, le probabilità da attribuire sono ragionevolente $1/2$ e $1/2$, visto che poi alla fine la teoria dell probabilità più coerente è quella soggettivista.
Ma è prorio il concetto di 'pensiero puro' che non mi è chiaro. Perciò chiedevo.
Anche nella tua risposta c'è un intervento 'materiale', scorri il processo Bernoulliano come su uno smartphone:
"la mia idea è di prendere un processo di Bernoulli già predeterminato e fissato, e scorrerlo (un po' come facciamo sulle pagine di un telefono touch, un lungo tocco e la pagina incomincia a scorrere)".
Come lo scorri con 'il pensiero puro'?
Perciò chiedevo, e facevo la proposta di stare tipo mummia solo-pensante sul bordo di una strada a vedere le targhe delle macchine (ma anche qui c'è la vista).
Pensiero puro cos'è? il 'cervello in una vasca' attaccato agli elettrodi'?
Lo vedi che hai alzato un polverone fiosofico?
[/quote]Per me il tuo approccio ha più di una falla dal punto di vista della logica matematica, riassumo in estrema sintesi le criticità che ravviso:
1) A me non risulta chiaro perché, nella tua ottica, dato un numero di soggetti limitati (in questo caso uno solo) il numero di battiti in un minuto di un dato elemento di tale campione a cardinalità finita possa generare eventi statisticamente indipendenti sotto il profilo della parità dei valori (numeri naturali in un certo range, che so, in $[50, 220]$) che li contraddistinguono. A noi servono selle sequenze randomiche, mica generare pseudo-randomicamente solo il loro elemento iniziale.
2) In una sequenza di "pochi" naturali consecutivi, abbiamo il 50% di probabilità di avere lo stesso numero di pari e di dispari. Ad esempio, se prendiamo l'insieme $\{50,51,\ldots, 220$ avremmo $86$ pari e $85$ dispari e già quindi una differenza be superiore all'1$, ma soprattutto: la loro frequenza non è costante in tutto l'intervallo e le cose nella pratica sarebbero ben peggiori di quanto sopra descritto.
3) Il numero di battiti nello stesso individuo non è molto differente nel tempo e anzi, la frequenza cardiaca massima scende con l'età (cfr. il famoso limite rozzamente stimabile in 220-età) e appunto, a noi servono eventi ripetuti per costruire una serie binaria non affetta da alcun pattern indotto.
Marco, ripeto, non c'è nessun motivo cardiologico, fisico, per quello che immagino, perché i battiti debbano essere pari o dispari in misura diversa, non mi risulta che esistono individui che hanno 'battiti dispari' più che battiti pari, o viceversa. Uno stesso individuo se se li misura ripetutamente immagino che avrà più o meno lo stesso numero di battiti dipari e pari, mica il numero di battiti è un numero fisso.
Mettiamo che un individuo abbia all'incirca 70 battiti al minuto in media: in alcuni minuti ne avrà 71, in altri 68, in altri 72, in altri 69 etc. , più o meno in modo casuale, non c'è motivo di pensare che ne abbia o 70 o 68 o 72, sempre pari, ad esempio.
Né c'è motivo di pensare che non siano eventi indipendenti, non vedo perché se hai avuto in un minuto un numero pari di battiti questo influenzi il numero di battiti, pari o dispari, nel minuto succesivo successivo.
Il numero assoluto di battiti in sé non è rilevante, anche se ne hai solo due o tre al minuto (praticamente morto) non c'è motivo di pensare che li avrai in modo preponderante pari o dispari.
Ti ripeto, chiederò a un cardiologo se quando visita i pazienti o fa gli elettrocardiogrammi vede più battiti pari o dispari, presumo che mi rida in faccia
Mettiamo che un individuo abbia all'incirca 70 battiti al minuto in media: in alcuni minuti ne avrà 71, in altri 68, in altri 72, in altri 69 etc. , più o meno in modo casuale, non c'è motivo di pensare che ne abbia o 70 o 68 o 72, sempre pari, ad esempio.
Né c'è motivo di pensare che non siano eventi indipendenti, non vedo perché se hai avuto in un minuto un numero pari di battiti questo influenzi il numero di battiti, pari o dispari, nel minuto succesivo successivo.
Il numero assoluto di battiti in sé non è rilevante, anche se ne hai solo due o tre al minuto (praticamente morto
) non c'è motivo di pensare che li avrai in modo preponderante pari o dispari. Ti ripeto, chiederò a un cardiologo se quando visita i pazienti o fa gli elettrocardiogrammi vede più battiti pari o dispari, presumo che mi rida in faccia
Ma poi come lo misuri il minuto senza orologio!?
Non c’è bisogno di scomodare un cardiologo, i battiti al minuto variano di volta in volta
"utente__medio":
Ma poi come lo misuri il minuto senza orologio!?
Basta contare fino a 6 e moltiplicare i battiti per 10
"C0SIM0":
[quote="utente__medio"]Ma poi come lo misuri il minuto senza orologio!?
Basta contare fino a 6 e moltiplicare i battiti per 10[/quote]
Per stimare i BPM della persona in un certo momento va benissimo, ma non capisco cosa c'entri col problema dell'OP.
Oltretutto contare i battiti in un minuto o stimarli con il metodo dei 6 secondi non sottende affatto lo stesso criterio, perché i battiti in un minuto non sono per forza costanti (lasciando stare battiti saltati e tachicardie varie), per non parlare poi dell'incremento dell'incertezza della stima, giacché così otterresti solo valori che sono multipli di 10
Mi manca un passaggio allora, avevo capito che voleste chiedere ad un cardiologo se i battiti variano o meno (io la sera correvo e mentre correvo dovevo controllarmi i battiti, usavo una fascia cardio oppure la stima da me descritta che poi è quello che fanno le fasce cardio anzi lo fanno in meno di 6 secondi quegli aggeggi. E ad ogni controllo la frequenza varia), comunque contare i battiti ogni 60 secondi o ogni 6 dal punto di vista della probabilità non cambia, detto questo per me non se po’ fa con il “solo pensiero” mi viene difficile pensare che si possa simulare una data probabilità dicendo 1 o 2 a caso tipo se voglio simulare 1/3 dico a caso 1 , 2 , 3 e poi considero solo gli 1? A me sembra impossibile, ma potrei sbagliarmi.
Con 'sto fatto dei battiti ho trasformato il thread in un trattato di cardiologia!
Scusa 3m0o!
Scusa 3m0o!
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