Il verme e la sbarra
Ciao a tutti, volevo presentarmi con un piccolo problema dei miei tempi universitari. Ormai comincio ad avere il cervello in pappa ma, come già disse qualcuno, occorre resistere al disfacimento progressivo con tutte le proprie forze. Dunque:
si supponga di avere un verme lungo 1 cm collocato all'inizio di una sbarra lunga 1 Km. All'istante t=0 il verme, e contemporaneamente la sbarra, si muovono alla velocità, il verme di 1 cm/sec e la sbarra 1 Km/sec. Ignorando, ovviamente, stanchezza del verme e la sua necessità di nutrirsi, la malleabilità della sbarra considerandola completamente rigida e inestensibile, il verme, procedendo sulla sbarra, raggiungerà mai l'altro capo della sbarra? E se si, in quanto tempo? E se no, perché?
Un salutone a tutti
si supponga di avere un verme lungo 1 cm collocato all'inizio di una sbarra lunga 1 Km. All'istante t=0 il verme, e contemporaneamente la sbarra, si muovono alla velocità, il verme di 1 cm/sec e la sbarra 1 Km/sec. Ignorando, ovviamente, stanchezza del verme e la sua necessità di nutrirsi, la malleabilità della sbarra considerandola completamente rigida e inestensibile, il verme, procedendo sulla sbarra, raggiungerà mai l'altro capo della sbarra? E se si, in quanto tempo? E se no, perché?
Un salutone a tutti
Risposte
Suppongo che il verme riesca a tenersi ben saldo sulla sbarra, quindi il fatto che si muova, la sbarra, è ininfluente e il verme dovrebbe percorrerla in 99999s, circa 27h 46m 39s... secondo più secondo meno! ^_^
Dimenticavo, BENVENUTO! ^_^
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Tutto quanto l'universo è armonia e numero, con una sola eccezione: l'uomo!
Dimenticavo, BENVENUTO! ^_^
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Grazie per il benvenuto. Forse non mi sono spiegato bene. Oltre al verme, anche la sbarra si muove, nel senso che dopo 2 secondi la sua lunghezza è diventata 2 km. La sbarra si muove nel senso che si prolunga alla velocità di 2 Km/sec. Il verme cammina alla velocità di 1 cm/sec su una sbarra la cui lunghezza aumenta alla velocità di 1 km/sec.
Ciao
Ciao
Scusate, ho scritto per errore in un punto del post precedente che la sbarra si muove alla velocità di 2 Km/sec. E' errato! La sbarra si muove sempre alla velocità di 1 Km/sec.
Ciao scusa non capisco come si allunga la sbarra!
Se ogni secondo aggiungo un pezzo di sbarra lungo un km all'estremità che deve raggiungere il verme questi non ce la farà mai se invece aggiungo un pezzo lungo un km dalla parte da cui parte il verme allora il verme ci metterà 100000 secondi.
Se invece la sbarra si allunga uniformemente ci devo pensare...
Se ogni secondo aggiungo un pezzo di sbarra lungo un km all'estremità che deve raggiungere il verme questi non ce la farà mai se invece aggiungo un pezzo lungo un km dalla parte da cui parte il verme allora il verme ci metterà 100000 secondi.
Se invece la sbarra si allunga uniformemente ci devo pensare...
Beh, secondo me t'eri male espresso sul tipo di movimento della sbarra.
Comunque, non avendo specificato su quale capo della sbarra si trova il verme e da quale capo s'allunga la sbarra stessa, direi che il tempo da me indicato è LO STESSO, se si considera che il verme parte dal capo che si allunga e si dirige verso l'altro.
Se invece le loro direzioni e versi sono gli stessi, allora non ci riuscirà mai.
E così pure se la sbarra si allunga contemporanemante da entrambi i capi.
Ho vinto qualche cosa?
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Comunque, non avendo specificato su quale capo della sbarra si trova il verme e da quale capo s'allunga la sbarra stessa, direi che il tempo da me indicato è LO STESSO, se si considera che il verme parte dal capo che si allunga e si dirige verso l'altro.
Se invece le loro direzioni e versi sono gli stessi, allora non ci riuscirà mai.
E così pure se la sbarra si allunga contemporanemante da entrambi i capi.
Ho vinto qualche cosa?
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Scusate, proprio non mi sono spiegato bene. Ho dato per scontate alcune cose, è un errore grossolano. Comunque, detti A e B gli estremi della sbarra, il verme si trova al tempo t=0 in A e deve (o meglio vorrebbe) raggiungere B. Il guaio è che B si allontana alla velocità di 1 Km/sec (non considerate l'allungamento fisicamente impossibile della sbarra) mentre lui procede sulla sbarra stessa in direzione di B alla velocità di 1 cm/sec. La risposta è molto meno banale di quanto possa apparire a prima vista.
Ciao
Ciao
Ciao di nuovo ci ho pensato su e sono arrivato a questo:
1) Faccio alcune ipotesi semplificative: immagino che la sbarra si
allunghi uniformemente ma in istanti precisi cioè che si allunghi
dopo 1,2,3,4,... secondi mentre il verme si muove uniformente nel tempo.
La situazione sarà la seguente:
con 1-,2-,3-... indico gli istanti prima di 1,2,3,..secondi
a t=0 Xverme=0cm Xmancante=100000cm *------------- (l'asterisco è il verme)
a t=1- Xverme=1cm Xmancante=999999cm -*------------
a t=1 la sbarra aumente di 1km quindi raddoppia si avrà
Xverme=1*2cm Xmancante=(100000-1)*2cm --*------------------
a t=2- Xverme=(2+1)cm Xmancante=(100000-1)*2-1cm
a t=2 la sbarra aumente di 1km quindi diventa 3/2 volte più grande si avrà
Xverme=(2+1)*(3/2)cm Xmancante=((100000-1)*2-1)*(3/2)
a t=3- Xverme=((2+1)*(3/2))+1 Xmancante=((100000-1)*2-1)*(3/2)-1
a t=3 a sbarra aumente di 1km quindi diventa 4/3 volte più grande si avrà
Xverme=(((2+1)*(3/2))+1)*(4/3) Xmancante=(((100000-1)*2-1)*(3/2)-1)*(4/3)
e così via
dopo n secondi al verme mancheranno (((..(100000-1)*2-1)*3/2-1)*4/3-1)*5/3-1)*...-1)*n/n-1
tutto sta nel colcolare l'ennesimo termine di questa progressione e vedere se può essere zero dopo n secondi (a me pare che cresca ma ho solo provato fino a n=5 può benissi decrescere poi)cmq per ora non saprei come generalizzare al caso che la sbarra aumenti la sua lunghezza uniformemente nel tempo!
Se non pensi che sia una risposta giusta fammi sapere!
1) Faccio alcune ipotesi semplificative: immagino che la sbarra si
allunghi uniformemente ma in istanti precisi cioè che si allunghi
dopo 1,2,3,4,... secondi mentre il verme si muove uniformente nel tempo.
La situazione sarà la seguente:
con 1-,2-,3-... indico gli istanti prima di 1,2,3,..secondi
a t=0 Xverme=0cm Xmancante=100000cm *------------- (l'asterisco è il verme)
a t=1- Xverme=1cm Xmancante=999999cm -*------------
a t=1 la sbarra aumente di 1km quindi raddoppia si avrà
Xverme=1*2cm Xmancante=(100000-1)*2cm --*------------------
a t=2- Xverme=(2+1)cm Xmancante=(100000-1)*2-1cm
a t=2 la sbarra aumente di 1km quindi diventa 3/2 volte più grande si avrà
Xverme=(2+1)*(3/2)cm Xmancante=((100000-1)*2-1)*(3/2)
a t=3- Xverme=((2+1)*(3/2))+1 Xmancante=((100000-1)*2-1)*(3/2)-1
a t=3 a sbarra aumente di 1km quindi diventa 4/3 volte più grande si avrà
Xverme=(((2+1)*(3/2))+1)*(4/3) Xmancante=(((100000-1)*2-1)*(3/2)-1)*(4/3)
e così via
dopo n secondi al verme mancheranno (((..(100000-1)*2-1)*3/2-1)*4/3-1)*5/3-1)*...-1)*n/n-1
tutto sta nel colcolare l'ennesimo termine di questa progressione e vedere se può essere zero dopo n secondi (a me pare che cresca ma ho solo provato fino a n=5 può benissi decrescere poi)cmq per ora non saprei come generalizzare al caso che la sbarra aumenti la sua lunghezza uniformemente nel tempo!
Se non pensi che sia una risposta giusta fammi sapere!
Il problema si affronta meglio supponendo che sia il verme sia la sbarra si muovano in modo discreto. E' meglio considerare che i movimenti di entrambi avvengano "alla fine" di ogni secondo. Ad esempio al primo secondo il verme ha fatto 1 e la sbarra è 1 Km, al secondo secondo il verme ha fatto un altro cm su una sbarra diventata 2 km e si trova a due cm dal vertice A e a 199998 cm dal vertice B e così via.
beh...stando alla tua ultima formulazione del quesito...che continua ad essere poco chiara...
io farei la seguente tabella..
stando dunque a questa tabella il verme non riuscirà mai a raggiungere l'altra estremità perchè ogni secondo che passa la sua distanza dall'ambita estremità diventa sempre più grande.
ora poichè tale soluzione mi pare decisamente banale...sospetto di non aver ben inteso il testo...ma questo è ciò che evinco dai tuoi posts..
saluti
il vecchio
io farei la seguente tabella..
T X VERME L SBARRA X MANCANTE
1 1cm 100000cm 100000-1
2 2 200000 200000-2
.. .. ... ...
n n n*100000 n(100000-1)
stando dunque a questa tabella il verme non riuscirà mai a raggiungere l'altra estremità perchè ogni secondo che passa la sua distanza dall'ambita estremità diventa sempre più grande.
ora poichè tale soluzione mi pare decisamente banale...sospetto di non aver ben inteso il testo...ma questo è ciò che evinco dai tuoi posts..
saluti
il vecchio
@vecchio
la tua soluzione é banale perché manca una osservazione fondamentale. Non hai tenuto nel dovuto conto il rapporto COSTANTE delle velocità del verme e della sbarra. Forse la domanda corretta da rivolgersi è: con il passare dei secondi, quanta parte di sbarra percorre il verme?Non voglio tirarla troppo per le lunghe, prova a pensare alle serie numeriche e troverai la soluzione
PS. a questo punto pensavo di essermi spiegato chiaramente, ma alla fin fine, il verme cammina sulla sbarra da A a B percorrendo 1 cm ad ogni secondo mentre la sbarra si prolunga di 1 Km/sec
la tua soluzione é banale perché manca una osservazione fondamentale. Non hai tenuto nel dovuto conto il rapporto COSTANTE delle velocità del verme e della sbarra. Forse la domanda corretta da rivolgersi è: con il passare dei secondi, quanta parte di sbarra percorre il verme?Non voglio tirarla troppo per le lunghe, prova a pensare alle serie numeriche e troverai la soluzione
PS. a questo punto pensavo di essermi spiegato chiaramente, ma alla fin fine, il verme cammina sulla sbarra da A a B percorrendo 1 cm ad ogni secondo mentre la sbarra si prolunga di 1 Km/sec
perdonami...forse continuo a non capire...oppure semplicemente non sono in grado di risolvere tale quesito...
dopo un secondo il verme avrà percorso 1/100000 della sbarra
dopo due secondi il verme ha percordo 2/200000 della sbarra
...
dopo n secondi il verme avrà in definitiva percorso sempre 1/100000 della sbarra!! questo mi porta a dire nuovamente che il verme non riuscirà mai a raggiungere l'altra estremità...
ma dentro di me so che questo risultato è sbagliato!!!
quindi a questo punto non mi resta che attendere la tua soluzione o di chi saprà essere + bravo di me...
saluti
il vecchio
dopo un secondo il verme avrà percorso 1/100000 della sbarra
dopo due secondi il verme ha percordo 2/200000 della sbarra
...
dopo n secondi il verme avrà in definitiva percorso sempre 1/100000 della sbarra!! questo mi porta a dire nuovamente che il verme non riuscirà mai a raggiungere l'altra estremità...
ma dentro di me so che questo risultato è sbagliato!!!
quindi a questo punto non mi resta che attendere la tua soluzione o di chi saprà essere + bravo di me...
saluti
il vecchio
da questo problema traggo solo un insegnamento morale. se non puoi accelerare, nè andare più veloce della sbarra è inutile correre, tanto avrai fatto sempre la stessa percentuale di percorso...
Nulla di più sbagliato parlare di stessa percentuale di percorso. Comunque, ho atteso qualche giorno, poi ho visto che il problema ha perduto interesse e quindi vi espongo la soluzione, sperando di essere chiaro. Dunque, ad ogni secondo il verme percorre un cm sulla sbarra, la sbarra ad ogni secondo percorre un km. Ne consegue che il rapporto tra lo spazio percorso dal verme e quello percorso dalla sbarra è 1/100000 (esprimendo la spazio in cm). Dal punto di vista del verme, poniamoci la domanda: in questo secondo, quanta parte di sbarra ho percorso? E' evidente che all'ennesimo secondo la sbarra sarà n-mila centrimetri ma il verme ha percorso un solo cm quindi il verme dovrà rispondersi: ho percorso 1/n00000 di sbarra. Questo al secondo ennesimo. Ma allora nei primi, diciamo 1o secondi, quanta parte di sbarra avrà percorso il verme? E' semplice: nel primo secondo 1/100000, nel secondo secondo, 1/200000, nel terzo secondo 1/300000 e cosi fino a 1/10000000. Ma allora il percorso del verme può essere scritto così:
(1/100000)*(1+1/1+1/3+.....+1/n)
Riconoscete la serie numerica tra parentesi? E' la serie armonica, per n tendente all'infinito diverge, ciòè la somma diventa infinito. Quindi esisterà un n per cui la somma di 1/n sarà maggiore di 100000. In quel momento il verme avrà raggiunto l'altro capo della sbarra.
Secondo quesito: in quanto tempo il verme raggiungerà l'altro capo della sbarra? E' inutile dirvi che si tratta di un tempo enorme, di gra lunga più lungo dell'età attualmente stimata dell'universo.
Ciao a tutti
(1/100000)*(1+1/1+1/3+.....+1/n)
Riconoscete la serie numerica tra parentesi? E' la serie armonica, per n tendente all'infinito diverge, ciòè la somma diventa infinito. Quindi esisterà un n per cui la somma di 1/n sarà maggiore di 100000. In quel momento il verme avrà raggiunto l'altro capo della sbarra.
Secondo quesito: in quanto tempo il verme raggiungerà l'altro capo della sbarra? E' inutile dirvi che si tratta di un tempo enorme, di gra lunga più lungo dell'età attualmente stimata dell'universo.
Ciao a tutti
quote:
Quindi esisterà un n per cui la somma di 1/n sarà maggiore di 100000. In quel momento il verme avrà raggiunto l'altro capo della sbarra.
ma anche no...il verme non raggiunge l'altra estremità!!! semplicemente perchè ora all'ennesimo secondo l'estremità della sbarra non si trova a 100000!!!!
a questo punto sono sicuro...o hai formulato malissimo il quesito oppure la tua soluzione è sbagliata!!!
Mi spiace insistere. Trovate il valore n per cui la sommatoria da 1 a + infinito di 1/n è > 100000 (Dimostrate se volete che non potrà mai essere 100000) e avrete trovato il momento in cui il verme non solo ha raggiunto la sbarra ma addirittura la sopravvanza.
quote:
la sbarra si prolunga di 1 Km/sec
questo significa che non ha nessuna importanza che prima o poi il verme raggiunga o "sopravanzi" i 100000cm!!! perchè l'estremità della sbarra nel frattempo sarà andata ancora più lontano!!! adesso non so che significa per te "prolungarsi", ma a casa mia significa che la sbarra si allunga!!!per quanto riguarda la serie armonica è inutile che insisti...ho capito benissimo che la serie diverge...non è questo il problema!!!
credo che tu abbia sbagliato ad usare il verbo "prolungare"...non ho altre spiegazioni...
Nekao, invece di continuare ad "insistere" cerca di chiarificare la tua sol così che il problema possa essere compreso da tutti (io nn l'avevo capito quando l'ho letto e nn vedo perchè lo debba fare ora)...
finita qui la discuss??
peccato, stavo iniziando a divertirmi
peccato, stavo iniziando a divertirmi
"Nekao":
Ciao a tutti, volevo presentarmi con un piccolo problema dei miei tempi universitari. Ormai comincio ad avere il cervello in pappa ma, come già disse qualcuno, occorre resistere al disfacimento progressivo con tutte le proprie forze. Dunque:
si supponga di avere un verme lungo 1 cm collocato all'inizio di una sbarra lunga 1 Km. All'istante t=0 il verme, e contemporaneamente la sbarra, si muovono alla velocità, il verme di 1 cm/sec e la sbarra 1 Km/sec. Ignorando, ovviamente, stanchezza del verme e la sua necessità di nutrirsi, la malleabilità della sbarra considerandola completamente rigida e inestensibile, il verme, procedendo sulla sbarra, raggiungerà mai l'altro capo della sbarra? E se si, in quanto tempo? E se no, perché?
Un salutone a tutti
la sbarra quando si allunga si allunga in modo omogeneo.
quindi t=1s si allunga di un km e il bruco ha percorso 1/100000
t=2s si allunga di un altro km e quindi il bruco percorre un altro 1/100000
ogni secondo cammina di 1/100000 in più, essendo che l'allungamento della sbarra è omogeneo e quindi l'allunga, ma quando si allunga trascina dietro anche il bruco se vogliamo dirla alla cavolo
(quando si allunga di un km la sbarra si allunga in tutti i punti in modo omogeneo e non solo all'estremità)
quindi dopo il primo sec il bruco è avanzato di 1cm, ma l'asta si è allungata di 1km.
nel secondo sec il bruco ha fatto 1cm in più, ma l'asta si è allungata di 2km.
nel terzo sec il bruco ha fatto un cm in più rispetto a prima, ma l'asta si è allungata di 3km.
ogni secondo che passa il bruco fa una strada sempre minore rispetto alla lunghezza totale, ovvero al primo secondo è 1, poi va a 1/2, 1/3... in quanto la sua velocità è trascinata da quella dell'asta e l'asta si allunga e lui va costante, non so se riuscite a capire la logica (son una sega a spiegare).
sull'onda di questo possiamo ricavare questa successione
$1/(10^5)+1/(2*10^5)+1/(3*10^5)+...+1/(n*10^5)=1/(10^5)*(1+1/2+1/3+..+1/n)=
si sa (altrimenti vi posto la dimostrazione
) che $sum_(k=1)^n1/k>=1/4log_2nquindi nel nostro caso otteniamo che $1/(10^5)sum_(k=1)^n1/k>=1/(10^5)*1/4log_2n
quando n diventa abbastanza grande, abbiamo che $1/(10^5)sum_(k=1)^n1/k>=1/(10^5)*1/4log_2n>1
quindi $1/(10^5)*1/4log_2n>1->log_2n>4*10^5->n>2^(4*10^5)$
troncando il maggiore con un uguale abbiamo il tempo minimo arrotondato che ci mette ad arrivare
, cioè $n=2^(4*10^5)e questo è il tempo minimo che ci mette per arrivare alla fine.
ho notato ora di quanto sia datata la discussione 
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