I Cavalieri e il Mago

[axpgn]

Un numero infinito di Cavalieri (tutti di differente altezza) è allineato in riga di fronte al Mago.

Provare che il Mago può dire ad alcuni di loro di uscire dalla linea, in modo tale che nella linea rimanga un numero infinito di Cavalieri e che tutti questi rimasti nella linea siano ordinati in altezza crescente (o decrescente che è lo stesso )


Versione al finito (più semplice ... forse )

I numeri $1, 2, 3, ..., 100, 101$ sono scritti in linea in un ordine qualsiasi.

Provare che è sempre possibile cancellare $90$ di questi numeri in modo tale che gli $11$ restanti siano ordinati in modo crescente (o decrescente).


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Non saprei davvero come spiegarlo in modo più semplice, cosa non capisci?

[axpgn]

Sei troppo complicato, tutti quegli indici che vanno e vengono, fanno giri immensi e poi ritornano (cit. )
Mi perdo sempre prima di arrivare in fondo
D'altro canto ho la sensazione che la tua e la mia soluzione abbiano molto in comune; magari va a finire che è la stessa cosa

E allora eccola ...

Prima si scompone la sequenza originale in sottosequenze in questo modo: chiamo $a_1$ il primo numero della sequenza originale, chiamo $a_2$ il primo numero alla destra di $a_1$ e minore di $a_1$, chiamo $a_3$ il primo numero alla destra di $a_2$ e minore di $a_2$ e così via finchè si può; poi ricomincio a costruire la seconda allo stesso modo ovvero chiamo $b_1$ il primo numero di quelli rimasti, chiamo $b_2$ il primo numero alla destra di $b_1$ e minore di $b_1$, chiamo $b_3$ il primo numero alla destra di $b_2$ e minore di $b_2$ e così via; così facendo spezzetto la sequenza originale in $m$ sottosequenze decrescenti.
Se almeno una delle $m$ sottosequenze è lunga almeno $11$, ho finito; altrimenti significa che $m>=11$ e quindi basta prendere un numero da ciascuna sottosequenza per ottenere una sequenza crescente lunga almeno $11$

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Eh sì è praticamente la stessa cosa abbiamo solo invertito crescente con decrescente

Usando circa la tua notazione per spiegare la mia

Attenzione inverto decrescente con crescente:
Diciamo che i numeri "originariamente" sono scritti in ordine: \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{101} \) (quelli che nel altro messaggio erano i miei \(b_j\)). Inoltre uso le lettere \(n=10,m=10\).

Parti dal primo numero \(x_1\) - che tu chiami \(x_1=a_1\) e poi prendi il primo numero a destra di \(a_1\) più grande di \(a_1\) e lo chiami \(a_2\), e così via fin che si può. Diciamo che ci fermiamo al \(a_r \) e poi sono tutti più piccoli. Ora il mio numero \(\ell_1 \) corrisponde alla lunghezza di questa sotto sequenza finita ovvero \(\ell_1 = r\), cioè quanti numeri ho tenuto.
La differenza è che io faccio questa cosa per ogni elemento della sequenza originale, cioè ora pongo \(x_2=b_1\) (il tuo \(b_1\) non il mio) e ripeto la stessa cosa, cioè chiamo con \(b_2\) il primo numero alla destra più grande di \(b_1\) e continuo così fin che posso, e diciamo che mi fermo al \(b_k\) e ancora la lunghezza di questa sequenza finita la chiamo \(\ell_2\), i.e. \(k=\ell_2\). Poi farò la stessa cosa, ovvero \(x_3=c_1\) e poi \(c_2\) sarà il primo numero alla destra di \(c_1\) più grande di \(c_1\), etc e gli associerò una lunghezza \(\ell_3\). E così per ogni numero \(x_j\) della sequenza originale gli associo un valore \(\ell_j \) che è la lunghezza di questa sotto successione creata che parte da \(x_j\). Quante di queste successioni ho? \(101\)!
Ora come te dico: bene se almeno una di queste lunghezze è più grande o uguale a \(11=(m+1)\) allora ho finito perché mi basta prendere questa successione associata a questa lunghezza che è una successione di almeno \(11\) numeri crescenti, ad esempio se \(\ell_1 \geq 11 \) vuol dire che \(a_1 < a_2 < \ldots < a_{11} \) e sono 11 numeri crescenti.
Se questo invece non accade, significa che tutte le 101 lunghezze (i numeri \(\ell_j\)) sono più piccole o uguali a \(10=m\). E questo significa ho almeno \(11=n+1\) valori di lunghezze che sono uguali per il principio dei piccioni, infatti se non fosse il caso ne avrei al massimo 10 per ogni valore intero \(1 \leq k \leq m=10\) che può assumere una lunghezza, ma \(10 \cdot 10 = 100 \) ed io ho \(101\) "lunghezze" .
Visto che gli indici ti danno fastidio, diciamo per semplicità che questi 11 valori uguali sono \( \ell_1=\ell_2=\ell_3=\ldots=\ell_{11} \), ora noto semplicemente che per come sono costruite le lunghezze devo necessariamente avere che \(x_1 > x_2 > x_3 > \ldots > x_{11} \) (nota che sono \(x_1=a_1,x_2=b_1,x_3=c_1,\ldots \)) e quindi ho trovato una sotto sequenza di lunghezza \(11\) decrescente.

Sono solo stato più preciso ed conciso nel spiegare questa cosa con il messaggio precedente, che poi può sembrare complicare per chi non ha l'abitudine a usare un certo tipo di linguaggio, ma una volta che lo sai usare risulta più semplice spiegarsi con quel linguaggio "formale", per me almeno

[Studente Anonimo]

Poi fai tu cosa è meglio leggere

Sia \( n=10\) e \(m=10\) e siano \(b_1, b_2,\ldots,b_{nm+1}\) i numeri da \(1,\ldots,101\) scritti in qualunque ordine. Denotiamo con \( \ell_j \) la lunghezza della più lunga sotto-successione crescente partendo da \(b_j\) tra \(b_j , b_{j+1},\ldots ,b_{nm+1}\).

Queste tre righe scarse corrispondono a

Diciamo che i numeri "originariamente" sono scritti in ordine: \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{101} \) (quelli che nel altro messaggio erano i miei \(b_j\)). Inoltre uso le lettere \(n=10,m=10\).

Parti dal primo numero \(x_1\) - che tu chiami \(x_1=a_1\) e poi prendi il primo numero a destra di \(a_1\) più grande di \(a_1\) e lo chiami \(a_2\), e così via fin che si può. Diciamo che ci fermiamo al \(a_r \) e poi sono tutti più piccoli. Ora il mio numero \(\ell_1 \) corrisponde alla lunghezza di questa sotto sequenza finita ovvero \(\ell_1 = r\), cioè quanti numeri ho tenuto.
La differenza è che io faccio questa cosa per ogni elemento della sequenza originale, cioè ora pongo \(x_2=b_1\) (il tuo \(b_1\) non il mio) e ripeto la stessa cosa, cioè chiamo con \(b_2\) il primo numero alla destra più grande di \(b_1\) e continuo così fin che posso, e diciamo che mi fermo al \(b_k\) e ancora la lunghezza di questa sequenza finita la chiamo \(\ell_2\), i.e. \(k=\ell_2\). Poi farò la stessa cosa, ovvero \(x_3=c_1\) e poi \(c_2\) sarà il primo numero alla destra di \(c_1\) più grande di \(c_1\), etc e gli associerò una lunghezza \(\ell_3\). E così per ogni numero \(x_j\) della sequenza originale gli associo un valore \(\ell_j \) che è la lunghezza di questa sotto successione creata che parte da \(x_j\). Quante di queste successioni ho? \(101\)!

Mentre

Se esiste \( 1 \leq j \leq nm+1 \) tale che \( \ell_{j} \geq m+1\) abbiamo finito.

Questa riga corrisponde a

Ora come te dico: bene se almeno una di queste lunghezze è più grande o uguale a \(11=(m+1)\) allora ho finito perché mi basta prendere questa successione associata a questa lunghezza che è una successione di almeno \(11\) numeri crescenti, ad esempio se \(\ell_1 \geq 11 \) vuol dire che \(a_1 < a_2 < \ldots < a_{11} \) e sono 11 numeri crescenti.

Infine

Altrimenti abbiamo che per ogni \( 1 \leq j \leq nm+1\) risulta che \( \ell_j \leq m \). Per il principio dei piccioni esistono \(n+1\) valori di \( \ell_j\) che sono uguali. Risulta che i corrispondenti valori \(b_j\) sono in ordine decrescente e abbiamo finito. Infatti supponiamo che \(1 \leq i < j \leq nm+1 \) sono tale che \(b_i < b_j \) allora abbiamo per costruzione che \( \ell_i \geq \ell_j +1 \) e quindi non è possibile avere \( \ell_i = \ell_j\).

Corrisponde a

Se questo invece non accade, significa che tutte le 101 lunghezze (i numeri \(\ell_j\)) sono più piccole o uguali a \(10=m\). E questo significa ho almeno \(11=n+1\) valori di lunghezze che sono uguali per il principio dei piccioni, infatti se non fosse il caso ne avrei al massimo 10 per ogni valore intero \(1 \leq k \leq m=10\) che può assumere una lunghezza, ma \(10 \cdot 10 = 100 \) ed io ho \(101\) "lunghezze" .
Visto che gli indici ti danno fastidio, diciamo per semplicità che questi 11 valori uguali sono \( \ell_1=\ell_2=\ell_3=\ldots=\ell_{11} \), ora noto semplicemente che per come sono costruite le lunghezze devo necessariamente avere che \(x_1 > x_2 > x_3 > \ldots > x_{11} \) (nota che sono \(x_1=a_1,x_2=b_1,x_3=c_1,\ldots \)) e quindi ho trovato una sotto sequenza di lunghezza \(11\) decrescente.

[axpgn]

@3m0o

... mmm ...

Se non ho capito male tu per ognuno dei $101$ numeri trovi la sequenza crescente che parte da quel numero e quindi determini sempre $101$ sequenze mentre io ogni volta, scarto la sequenza trovata e costruisco le altre sui numeri rimasti.
Non è la stessa cosa, quanto meno il mio metodo è più efficiente .
Poi se c'è una sequenza lunga almeno $11$ abbiamo finito. E qui siamo uguali.
Dopo però seguiamo due percorsi diversi (anche se usiamo lo stesso metodo): io deduco che ho più di dieci sequenze mentre tu deduci che hai almeno $11$ sequenze uguali; anche qui il procedimento è diverso.
E il passo finale è pure diverso, io ho scritto che posso prendere un numero da ognuna delle $m>=11$ sequenze e costruirne una crescente ma non l'ho motivato (l'ho lasciato da fare al lettore ), lo dico ora: ognuna delle sequenze così costruite contiene sempre il minimo dei numeri rimasti (tutti minimi diversi) quindi avrò $a_(min) < b_(min) < ... $ mentre non capisco perché tu invece dici che è $x_1>x_2>x_3>…>x_11$ dato che inizialmente hai scritto

"3m0o":Diciamo che i numeri "originariamente" sono scritti in ordine: \( x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{101} \)

Come fa la sequenza originale ad essere già ordinata?

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":

E allora eccola ...

Prima si scompone la sequenza originale in sottosequenze in questo modo: chiamo $a_1$ il primo numero della sequenza originale, chiamo $a_2$ il primo numero alla destra di $a_1$ e minore di $a_1$, chiamo $a_3$ il primo numero alla destra di $a_2$ e minore di $a_2$ e così via finchè si può; poi ricomincio a costruire la seconda allo stesso modo ovvero chiamo $b_1$ il primo numero di quelli rimasti, chiamo $b_2$ il primo numero alla destra di $b_1$ e minore di $b_1$, chiamo $b_3$ il primo numero alla destra di $b_2$ e minore di $b_2$ e così via; così facendo spezzetto la sequenza originale in $m$ sottosequenze decrescenti.
Se almeno una delle $m$ sottosequenze è lunga almeno $11$, ho finito; altrimenti significa che $m>=11$ e quindi basta prendere un numero da ciascuna sottosequenza per ottenere una sequenza crescente lunga almeno $11$

La spiegazione di axpgn è chiara (non ho ancora letto quella di 3m0o), però mi sembra ci vorrebbe qualche spiegazione in più (io me la sono data, almeno mi pare):

1) Non è che si può prendere, nel caso $m\geq 11$, un numero a caso da ogni sottosequenza decrescente, e ottenere una sequenza crescente di lunghezza $\geq 11$.

2) Va spiegato perché, prendendo un numero da ogni sottosuccessione decrescente, necessariamente si può estrarre una sequenza crescente di lunghezza $\geq 11$ (caso mai è ovvio, ma forse è meglio spiegarlo).

[axpgn]

@gabriella

"gabriella127":1) Non è che si può prendere, nel caso $m\geq 11$, un numero a caso da ogni sottosequenza decrescente, e ottenere una sequenza crescente di lunghezza $\geq 11$.

L'ho spiegato qui:

"axpgn":... io ho scritto che posso prendere un numero da ognuna delle $ m>=11 $ sequenze e costruirne una crescente ma non l'ho motivato (l'ho lasciato da fare al lettore ), lo dico ora: ognuna delle sequenze così costruite contiene sempre il minimo dei numeri rimasti (tutti minimi diversi) quindi avrò $ a_(min) < b_(min) < ... $

Il punto 2) non l'ho capito, in cosa si differenzia dal punto 1)?
Intendi dire che devo dimostrare che sia $m>=11$? Ovvero che nel caso non ci sia una sequenza lunga almeno $11$, le sottosequenze devono essere almeno $11$?
Se nessuna sequenza è lunga almeno $11$ allora al massino può essere lunga $10$ e siccome $10 xx 10 = 100$, per giungere a $101$ numeri ci deve essere almeno un'altra sequenza.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":... io ho scritto che posso prendere un numero da ognuna delle $ m>=11 $ sequenze e costruirne una crescente ma non l'ho motivato (l'ho lasciato da fare al lettore ), lo dico ora: ognuna delle sequenze così costruite contiene sempre il minimo dei numeri rimasti (tutti minimi diversi) quindi avrò $ a_(min) < b_(min) < ... $

Il punto 2) non l'ho capito, in cosa si differenzia dal punto 1)?

Il punto 2 non si differenzia, mi sono spiegata male, erano solo due osservazioni separate per semplicità.
Per il punto 1) avevo semplicemente fatto (tra me e me a casa) un controesempio per cui prendendo numeri a caso dalle sequenze non funzionava.

La spiegazione che hai dato, non l'avevo vista, l'avevi già data? Mi è sfuggita. il thread è lungo e ho letto la soluzione che hai dato alla fine, quella da me citata, e lì mi sembrava che mancava qualcosa.

[axpgn]

L'avevo postata stamattina in mezzo alla risposta a 3m0o quindi è probabile che ti sia sfuggita, non l'avevo postata allora per ... lasciare i dettagli al lettore

[gabriella127]

Ok

[ViciousGoblin]

A me l'argomento di axpng non torna .

"axpgn":
Prima si scompone la sequenza originale in sottosequenze in questo modo: chiamo $a_1$ il primo numero della sequenza originale, chiamo $a_2$ il primo numero alla destra di $a_1$ e minore di $a_1$, chiamo $a_3$ il primo numero alla destra di $a_2$ e minore di $a_2$ e così via finchè si può; poi ricomincio a costruire la seconda allo stesso modo ovvero chiamo $b_1$ il primo numero di quelli rimasti, chiamo $b_2$ il primo numero alla destra di $b_1$ e minore di $b_1$, chiamo $b_3$ il primo numero alla destra di $b_2$ e minore di $b_2$ e così via; così facendo spezzetto la sequenza originale in $m$ sottosequenze decrescenti.
Se almeno una delle $m$ sottosequenze è lunga almeno $11$, ho finito; altrimenti significa che $m>=11$ e quindi basta prendere un numero da ciascuna sottosequenza per ottenere una sequenza crescente lunga almeno $11$

La riga grassettata sopra sembra suggerire che gli elementi della seconda sottosequenza siano tutti più grandi di quelli della prima, cioè $a_i\leq b_j$ (e così via per le sottosequenze successive). Questo non mi pare vero, e nemmeno mi sembra che $a_1\leq b_1$. Mettiamo per esempio che la sequenza originale cominci con $4,2,3,1$, allora $a_1=4$, $a_2=2$, $a_3=1$ mentre $b_1=3$. Dunque non mi pare chiaro come trovo la sottosequenza crescente (si farà naturalmente ma mi pare che la cosa si complichi).

Però forse ho capito male. Devo confessare poi che ho letto frettolosamente i messaggi successivi, in cui però non mi pare di vedere risolto il punto che sollevo sopra. Se invece la spiegazione mi è sfuggita mi scuso.

Sono invece d'accordo sulla prova di 3mOo che direi essere una dimostrazione del teorema di E.S.

Mi pare che l'idea chiave sia di prendere per ogni elemento $x$ la sottosequenza decrescente più lunga che comincia da $x$ (che non è necessariamente costruita con la procedura di axpng).

[gabriella127]

"ViciousGoblin":A me l'argomento di axpng non torna .

[quote="axpgn"]
Prima si scompone la sequenza originale in sottosequenze in questo modo: chiamo $a_1$ il primo numero della sequenza originale, chiamo $a_2$ il primo numero alla destra di $a_1$ e minore di $a_1$, chiamo $a_3$ il primo numero alla destra di $a_2$ e minore di $a_2$ e così via finchè si può; poi ricomincio a costruire la seconda allo stesso modo ovvero chiamo $b_1$ il primo numero di quelli rimasti, chiamo $b_2$ il primo numero alla destra di $b_1$ e minore di $b_1$, chiamo $b_3$ il primo numero alla destra di $b_2$ e minore di $b_2$ e così via; così facendo spezzetto la sequenza originale in $m$ sottosequenze decrescenti.
Se almeno una delle $m$ sottosequenze è lunga almeno $11$, ho finito; altrimenti significa che $m>=11$ e quindi basta prendere un numero da ciascuna sottosequenza per ottenere una sequenza crescente lunga almeno $11$

La riga grassettata sopra sembra suggerire che gli elementi della seconda sottosequenza siano tutti più grandi di quelli della prima, cioè $a_i\leq b_j$ (e così via per le sottosequenze successive). Questo non mi pare vero, e nemmeno mi sembra che $a_1\leq b_1$. Mettiamo per esempio che la sequenza originale cominci con $4,2,3,1$, allora $a_1=4$, $a_2=2$, $a_3=1$ mentre $b_1=3$. Dunque non mi pare chiaro come trovo la sottosequenza crescente (si farà naturalmente ma mi pare che la cosa si complichi).

[ViciousGoblin]

@gabriella
Ci sta che come dici tu la cosa si sistemi. Però...

Invece, è vero che ogni successiva sottosequenza contiene un elemento più grande del minimo della sequenza precedente (se no farebbe parte della sequenza precedente).

Quello che hai scritto mi torna. Però per costruire la sottosequenza crescente $(y_n)$ non vedo ancora chiaro.

Se ti seguo devo prendere come $y_1$ il minimo della prima sottosequenza $(a_n)$. Poi trovo un $b_i$ che è maggiore di $y_1$. Potrei porre $y_2=b_i$. Continuando troverei un $c_j$ maggiore del minimo dei $b_i$, ma questo non mi dice che $c_j\ge y_2$.

Mah

[axpgn]

Eh, però se non leggete tutti i messaggi
Ora non riesco a citare un mio messaggio precedente ma provate a leggere il mio post delle 15:20 di oggi

[gabriella127]

"ViciousGoblin":@gabriella
Ci sta che come dici tu la cosa si sistemi. Però...

Invece, è vero che ogni successiva sottosequenza contiene un elemento più grande del minimo della sequenza precedente (se no farebbe parte della sequenza precedente).

Quello che hai scritto mi torna. Però per costruire la sottosequenza crescente $(y_n)$ non vedo ancora chiaro.

Se ti seguo devo prendere come $y_1$ il minimo della prima sottosequenza $(a_n)$. Poi trovo un $b_i$ che è maggiore di $y_1$. Potrei porre $y_2=b_i$. Continuando troverei un $c_j$ maggiore del minimo dei $b_i$, ma questo non mi dice che $c_j\ge y_2$.

Mah

Scusami, ho sbagliato a scrivere, ho modificato il messaggio precedente (ero uscita e sono tornata a casa apposta perché mi sono resa conto che avevo sbagliato ).

Volevo dire che ogni sottosequenza contiene tutti elementi maggiori del minimo della sequenza precedente (altrimenti farebbero parte della sequenza precedente.
Quindi, male che vada, per costruire la sequenza crescente basta prendere i minimi.

Poi rileggo con calma, ora devo uscire...


@ axpgn se ti va, puoi ripostare la soluzione completa tutta insieme, non spezzettata, dopo uno squillo di tromba? Se no andiamo in confusione, non è facile leggere tutto, il thread è lungo...

[axpgn]

Ci provo ...

Il primo passo consiste nello scomporre la sequenza originale in sottosequenze in questo modo:
Chiamo $a_1$ il primo numero della sequenza originale, chiamo $a_2$ il primo numero alla destra di $a_1$ e minore di $a_1$, chiamo $a_3$ il primo numero alla destra di $a_2$ e minore di $a_2$ e così via finché si può; poi ricomincio a costruire la seconda allo stesso modo ovvero chiamo $b_1$ il primo numero di quelli rimasti, chiamo $b_2$ il primo numero alla destra di $b_1$ e minore di $b_1$, chiamo $b_3$ il primo numero alla destra di $b_2$ e minore di $b_2$ e così via; così facendo spezzetto la sequenza originale in $m$ sottosequenze decrescenti.
Se almeno una delle $m$ sottosequenze è lunga almeno $11$, ho finito.
Fino a qui siamo tutti d'accordo, ok?

Se nessuna sottosequenza è lunga più di $10$ numeri allora significa che il numero delle sottosequenze è maggiore di $10$ ($m≥11$); questo perché essendo ogni sottosequenza lungo al massimo $10$, avremo $10 xx 10 =100$ e quindi occorre almeno un'altra sottosequenza per arrivare a $101$.

È sempre possibile estrarre un numero da ognuna di queste $m>=11$ sottosequenze in modo tale da costruire una sequenza crescente.
Perché? Perché ognuna delle sottosequenze così costruite contiene sempre il minimo assoluto dei numeri rimasti (tutti minimi diversi) perciò si avrà $a_(min)
Ok?

Cordialmente, Alex

P.S.: a proposito di indici
In questa dimostrazione che ho scritto li ho usati anch'io per maggiore chiarezza ma non sarebbe necessario

[gabriella127]

Grazie, poi rileggo il tutto con calma, se no dico fesserie

[ViciousGoblin]

"gabriella127":[quote="ViciousGoblin"]@gabriella
Ci sta che come dici tu la cosa si sistemi. Però...

Invece, è vero che ogni successiva sottosequenza contiene un elemento più grande del minimo della sequenza precedente (se no farebbe parte della sequenza precedente).

Quello che hai scritto mi torna. Però per costruire la sottosequenza crescente $(y_n)$ non vedo ancora chiaro.

Se ti seguo devo prendere come $y_1$ il minimo della prima sottosequenza $(a_n)$. Poi trovo un $b_i$ che è maggiore di $y_1$. Potrei porre $y_2=b_i$. Continuando troverei un $c_j$ maggiore del minimo dei $b_i$, ma questo non mi dice che $c_j\ge y_2$.

Mah

Scusami, ho sbagliato a scrivere, ho modificato il messaggio precedente (ero uscita e sono tornata a casa apposta perché mi sono resa conto che avevo sbagliato ).

Volevo dire che ogni sottosequenza contiene tutti elementi maggiori del minimo della sequenza precedente (altrimenti farebbero parte della sequenza precedente.
Quindi, male che vada, per costruire la sequenza crescente basta prendere i minimi.

Poi rileggo con calma, ora devo uscire...


@ axpgn se ti va, puoi ripostare la soluzione completa tutta insieme, non spezzettata, dopo uno squillo di tromba? Se no andiamo in confusione, non è facile leggere tutto, il thread è lungo...[/quote]
Hai ragione! Così funziona.

Mi spiace avrei dovuto leggere bene i messaggi precedenti. Ma l'interazione è più divertente...

[axpgn]

Ma io no?

[gabriella127]

"axpgn":Ma io no?

Ti stiamo trascurando?

Ma no, ma no! Stavo giusto per rispondere a Viciousgoblin che è difficile leggere tutto in thread così lunghi, e che non ho ancora letto la soluzione completa che hai postato, l'ultima parte, e quella di 3m0o.

Quindi non finisce qui il thread!