I 3 numeri comunicati!

[Studente Anonimo]

Alberto vuole inviare 3 numeri interi a Carlo, può scrivere su un foglietto al massimo 5 numeri interi, dopodiché consegnerà il foglietto a Beatrice che potrebbe cambiare a sua scelta uno e soltanto uno dei numeri scritti da Alberto con un altro di sua scelta prima di consegnarlo a Carlo!
Alberto e Carlo possono mettersi d'accordo prima su una strategia che permetta a Carlo di sapere con certezza quali sono i 3 numeri scelti da Alberto indipendentemente dall'intervento di Beatrice. Come fanno?

[gabriella127]

Ma devono essere tutti diversi?
Non capisco bene quali sono le regole nella comunicazione tra i due, cosa possono dirsi e cosa no.

[Studente Anonimo]

Alberto e Carlo possono mettersi d'accordo a priori in qualunque modo loro vogliono. Successivamente Alberto vuole comunicare 3 numeri (anche uguali), diciamo \(3,17,255\). Per farlo può soltanto scrivere fino ad un massimo di 5 numeri (anche uguali), e questi 5 numeri possono essere manomessi da Beatrice che può cambiare uno soltanto dei 5 numeri scritti.

Ad esempio supponiamo che Alberto può scrivere 9 numeri invece di 5, allora potrebbero accordarsi che Alberto ripete i 3 numeri ciascuno 3 volte. Nel esempio precedente scriverebbe \(3,17,255,3,17,255,3,17,255\). Ora se Beatrice manomette un numero e consegna a Carlo \(100,17,255,3,17,255,3,17,255\), Carlo capisce che il numero \(100\) è quello manomesso da Beatrice perché l'unico diverso dagli altri e che i 3 numeri sono \( 3,17,255\). Questo metodo non va bene perché Alberto dovrebbe scrivere 9 numeri e non 5.

[gabriella127]

Ma allora possono mettersi d'accordo che Alberto scrive numeri tutti uguali e quello diverso che Carlo poi vede è quello manomesso da Beatrice.
Però mi sembra troppo facile per cui chiedevo quali limitazioni ci fossero.

[Studente Anonimo]

"gabriella127":Ma allora possono mettersi d'accordo che Alberto scrive numeri tutti uguali e quello diverso che Carlo poi vede è quello manomesso da Beatrice.
Però mi sembra troppo facile per cui chiedevo quali limitazioni ci fossero.

Ma così Alberto può comunicare solo 1 numero, come fa a comunicarne 3 diversi ? Non può inviare 3 messaggi, un solo messaggio di al più 5 numeri!

[gabriella127]

Ecco, alora i numeri da comunicare devono essere diversi, avevo capito che dicevi che potevano essere anche uguali.

[Studente Anonimo]

"gabriella127":Ecco, alora i numeri da comunicare devono essere diversi, avevo capito che dicevi che potevano essere anche uguali.

Possono essere uguali, ma non sono necessariamente uguali! Deve poter comunicare qualunque tripletta di numeri con questo metodo

[gabriella127]

Allora basta che si mettono s'accordo che i numeri scritti da Alberto sono consecutivi in sequenza, tipo 23456, così l'intervento di Beatrice spezza la sequenza.
Però pure così mi sembra troppo facile quindi ci deve stare qualche limitazione che non ho capito.

[Studente Anonimo]

Ovviamente l'ordine conta, cioè la tripletta \( (3,17,255) \) è diversa da \((17,3,255)\) inoltre non sono necessariamente consecutivi i numeri anche se nel tuo esempio lo sono, e per esempio nel primo caso \( 3,17,255 \) che sono in ordine crescente Beatrice potrebbe sostituire il 17 con il 18 e Carlo non capirebbe se c'è stata manomissione oppure no! Inoltre se Beatrice non altera il messaggio con 23456 come fa Carlo a capire quali sono i 3 numeri? Sono il 4 il 5 il 6 oppure il 2 il 3 e il 4 ? Oppure quali?
Inoltre cosa succede se i numeri sono uguali? Supponiamo che i numeri sono 2,2,3 Alberto scrive 22345, e Beatrice sostituisce il 3 con il 2 e Carlo legge 2,2,2,4,5. Come fa Carlo a capire che i numeri erano il 2,2,3 ??

[axpgn]

Se ho capito bene Alberto HA tre numeri da trasmettere, non sceglie i tre numeri.
E ne può comunicare fino a cinque che potrebbero anche essere diversi dai tre da trasmettere.
Ovvero Alberto deve poter trasmettere qualsiasi tripletta, giusto?
Beatrice può anche cambiare l'ordine?

[gabriella127]

Ah, ecco, forse è come dice axpgn, Alberto non li sceglie, come pensavo, se no appunto si potevano mettere d'accordo sullo scrivere numeri consecutivi. E mi pareva troppo facile.

[Studente Anonimo]

Esatto è come doce axpng!

No Beatrice non può cambiare l'ordine, può solo cancellare un numero e scriverne un'altro, ma può anche non farlo

[gabriella127]

"3m0o":
Alberto e Carlo possono mettersi d'accordo prima su una strategia che permetta a Carlo di sapere con certezza quali sono i 3 numeri scelti da Alberto indipendentemente dall'intervento di Beatrice. Come fanno?

Però allora è meglio modificare il testo perché lì dice che sono scelti da Alberto.

[Studente Anonimo]

Modificate voi che avete una capacità espressiva migliore

[gabriella127]

La tua capacità espressiva è ottima, è una scusa per far lavorare noi

[axpgn]

Mah, la butto lì ...

Dato che l'ordine rimane lo stesso i numeri da comunicare sono i primi tre (o comunque hanno un posto fisso secondo gli accordi), il quarto è la somma dei tre e il quinto è il prodotto.
Non so se sia sufficiente ma la maggior parte delle volte sì

@3m0o
[ot]Ti sei dimenticato delle "palline di neve"? [/ot]

[Studente Anonimo]

"axpgn":Mah, la butto lì ...

Dato che l'ordine rimane lo stesso i numeri da comunicare sono i primi tre (o comunque hanno un posto fisso secondo gli accordi), il quarto è la somma dei tre e il quinto è il prodotto.
Non so se sia sufficiente ma la maggior parte delle volte sì

Così le triple \((3,5,7)\) e \((5,3,7)\) sono indistinguibili! Mentre tu le vuoi distinguere

"axpgn":@3m0o
[ot]Ti sei dimenticato delle "palline di neve"? [/ot]

No no, solo non ho avuto tempo

[axpgn]

"3m0o":Così le triple \((3,5,7)\) e \((5,3,7)\) sono indistinguibili! Mentre tu le vuoi distinguere

No, perché?

Hai detto che Beatrice non può cambiare l'ordine dei 5 numeri comunicati da Alberto quindi rimane ciò che hanno concordato Alberto e Carlo, per esempio il primo numero dei cinque è il secondo numero della tripletta, il secondo numero della cinquina è il prodotto della tripletta, il terzo numero della cinquina è la somma della tripletta, il quarto numero è il terzo della tripletta mentre l'ultimo numero è il primo della tripletta
Carlo perciò sa esattamente cosa rappresenta ciascun numero della cinquina e quindi pure l'ordine della tripletta.
It isn't?

[@melia]

Se $a, b, c$ sono i tre numeri da trasmettere basta inviare $a, b, c, a+b+c, a+2b+3c$, gli ultimi due numeri servono di controllo, se Beatrice modifica uno di questi l'altro basta per verificare la correttezza dei primi 3. Se Beatrice modifica uno dei primi 3 numeri con i due livelli di controllo si capisce qual è il numero modificato.

[Studente Anonimo]

"axpgn":[quote="3m0o"]Così le triple \((3,5,7)\) e \((5,3,7)\) sono indistinguibili! Mentre tu le vuoi distinguere

No, perché?

Hai detto che Beatrice non può cambiare l'ordine dei 5 numeri comunicati da Alberto quindi rimane ciò che hanno concordato Alberto e Carlo, per esempio il primo numero dei cinque è il secondo numero della tripletta, il secondo numero della cinquina è il prodotto della tripletta, il terzo numero della cinquina è la somma della tripletta, il quarto numero è il terzo della tripletta mentre l'ultimo numero è il primo della tripletta
Carlo perciò sa esattamente cosa rappresenta ciascun numero della cinquina e quindi pure l'ordine della tripletta.
It isn't?

[/quote]
Quello che intendevo era questo

Supponiamo che i numeri siano 2,4,8. Allora Alberto scrive 2,4,8,14,64. Beatrice cambia il primo 2 in un 4, e Carlo riceve 4,4,8,14,64. Come fa a capire quale dei due 4 è sbagliato ed è un 2 ? Per Carlo le triple 2,4,8 e 4,2,8 sono indistinguibili

[Studente Anonimo]

"@melia":Se $a, b, c$ sono i tre numeri da trasmettere basta inviare $a, b, c, a+b+c, a+2b+3c$, gli ultimi due numeri servono di controllo, se Beatrice modifica uno di questi l'altro basta per verificare la correttezza dei primi 3. Se Beatrice modifica uno dei primi 3 numeri con i due livelli di controllo si capisce qual è il numero modificato.

Questo mi sembra funzionare, ma sto ancora cercando di convincermi