I 3 numeri comunicati!

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Alberto vuole inviare 3 numeri interi a Carlo, può scrivere su un foglietto al massimo 5 numeri interi, dopodiché consegnerà il foglietto a Beatrice che potrebbe cambiare a sua scelta uno e soltanto uno dei numeri scritti da Alberto con un altro di sua scelta prima di consegnarlo a Carlo!
Alberto e Carlo possono mettersi d'accordo prima su una strategia che permetta a Carlo di sapere con certezza quali sono i 3 numeri scelti da Alberto indipendentemente dall'intervento di Beatrice. Come fanno?

[@melia]

Forse devo modificare la mia risposta in $a, b, c, 3a+2b+c, a+2b+3c$

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"@melia":Forse devo modificare la mia risposta in $a, b, c, 3a+2b+c, a+2b+3c$

Riesci convincermi del perché funziona?

[axpgn]

@3m0o
Per comprendere anche quel caso basta aggiungere qualche coefficiente nella somma e/o nel prodotto.

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"axpgn":@3m0o
Per comprendere anche quel caso basta aggiungere qualche coefficiente nella somma e/o nel prodotto.

Sì così penso funzioni! Che è sulla stessa idea della soluzione di @melia! Bravi ad entrambi

Posto la mia soluzione:

Diciamo che i numeri da comunicare sono \(a,b,c\). Alberto costruisce il polinomio \(p(x)=ax^2+bx+c\) e comunica \(p(0),p(1),p(2),p(3),p(4) \). Se Beatrice cambia un numero esso sarà l'unico punto non sulla curva determinata univocamente dagli altri 4. Mentre non esiste alcuna parabola passante da 3 punti dei 4 e passante per il punto modificato da Beatrice. Carlo determina facilmente i coefficienti del polinomio

[@melia]

Se Beatrice modifica una delle somme di verifica, non ci sono problemi, basta che una delle due sia verificata dai primi 3 numeri.
Suppongo che Beatrice modifichi uno dei primi 3 numeri. Sommando il quarto e il quinto individuo subito quale dovrebbe essere la somma, perciò di quale valore $x$ è stato modificato uno dei numeri. Quindi calcolo il quarto termine con il valore modificato, se la differenza con $3a+2b+c$ è uguale a $3x$ allora il numero modificato è $a$, se vale $2x$ allora è $b$, se invece vale $x$ allora è $c$.
Spero di essermi spiegata.

Chiedo scusa a 3m0o, mi ero dimenticata lo spoiler.

[axpgn]

@3m0o
Bella!

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Grazie
Mi sono ispirato bellamente al Reed-Solomon error correction