Divisori

[axpgn]

Qual è il più piccolo numero $n$ che abbia $100$ divisori ($1$ e $n$ compresi) ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

100 esatti? O almeno 100?
Ciao

[axpgn]

$100$ esatti.

[orsoulx]

45360?

Ciao

[axpgn]

Yes, ma per te è troppo facile ...

Aspettiamo altri, intanto ... quello con $96$ divisori ?

[orsoulx]

2/3 dell'altro.
Ho il sospetto che la mia prima domanda fosse superflua.
Ciao

[axpgn]

No, meno ...

[orsoulx]

8/21

Ciao

[axpgn]

No, di più ...

Riesci a dimostrare che è superflua? Ho provato a cercare un controesempio e non lo trovo ...

[dan952]

27720

[axpgn]

Ok, dan ...

[axpgn]

Teorema:
Dato un intero positivo $n$ avente $d$ divisori ($1$ e $n$ compresi) allora il prodotto di tutti questi divisori è $sqrt(n^d)$.
Dimostrare che è vero oppure trovare un controesempio.

Cordialmente, Alex

[bobus1]

Ad ogni divisore di \(\displaystyle n \) corrisponde un quoziente che per definizione è anche un divisore. Se moltiplichiamo fra loro tutti i divisori con i rispettivi quozienti otteniamo \(\displaystyle n^d \). In questo prodotto ogni divisore ha esponente \(\displaystyle 2 \) perché è presente una volta come divisore e una come quoziente, quindi \(\displaystyle \sqrt {n^d} \) è il prodotto di tutti i divisori

[dan952]

Che tradotto in formule...

$\prod_{d|n}d^2=\prod_{d|n}\frac{n}{d} \cdot d=\prod_{d|n}n=n^d$

[teorema55]

Stupendo!

[axpgn]

Dan, è sbagliata ... appena ho tempo posto come la scriverei io ... (e mettila in spoiler!)

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Dato un intero positivo $n$ avente $m$ divisori ($d_1
dato che $n=d_i*d_(m-i+1)$ allora avremo ...

$P^2=(d_1*d_2*...*d_m)*(d_1*d_2*...*d_m)=(d_1*d_m)*(d_2*d_(m-1))*...*(d_m*d_1)=n*n*...*n=n^m$

Ovvero $\prod_(i=1)^m d_i=sqrt(n^m)$ dove $d_i|n$

Cordialmente, Alex

[dan952]

Perché è sbagliata?

[axpgn]

@dan

Secondo te $d$ è multisignificato ? ... ed anche il passaggio intermedio, ancorché corretto dal punto di vista del risultato, è come se fosse calato dall'alto ... come passi da $d^2$ a $n/dd$ ? Manca coerenza ... $d^2=d*d$ ma in generale $n/d!=d$ ...

[dan952]

La notazione $\prod_{d|n}$ significa che il prodotto (o somma) corre lungo i divisori di $n$ non servono gli indici. Il passaggio intermedio l'ho omesso perché mi pareva abbastanza chiaro...

[axpgn]

Quello lo so ma se non ti sei ancora accorto dell'errore ... mmmm ...

Sorvoliamo sul passaggio intermedio ma come può $d$ rappresentare contemporaneamente "un divisore di $n$" e la "quantità di divisori di $n$" ?