Divisori
Qual è il più piccolo numero $n$ che abbia $100$ divisori ($1$ e $n$ compresi) ?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
Non ci ho minimamente pensato a quello... 
"axpgn":
Riesci a dimostrare che è superflua? Ho provato a cercare un controesempio e non lo trovo ...
Dimostrare a suon di formule non ci riesco; ho messo alla frusta GeoGebra, ottenendo questo grafico:
In ascissa il numero di divisori, in ordinata (in scala 1: 500) il più piccolo numero (purché inferiore a 50000) con quella quantità di divisori.
Per i punti che hanno alla loro destra almeno un punto di ordinata inferiore è necessario distinguere fra "esattamente"e "almeno", per i restanti non serve. La curva, fatta disegnare ad occhio, separa le due categorie ed è corretta per n>15.
Ciao
Ok, bel lavoro 
... è evidente che il controesempio che cercavo, non esiste ... 
Un'ultima cosa sui divisori ... esistono numeri (neanche tanto rari) per i quali la somma dei loro divisori è un quadrato ma quanti e quali di questi numeri (minori di $1.000.000$) sono essi stessi dei quadrati?
Cordialmente, Alex
... è evidente che il controesempio che cercavo, non esiste ... Un'ultima cosa sui divisori ... esistono numeri (neanche tanto rari) per i quali la somma dei loro divisori è un quadrato ma quanti e quali di questi numeri (minori di $1.000.000$) sono essi stessi dei quadrati?
Cordialmente, Alex
No.
Quali sono quelli che hai trovato? (spoiler ovviamente)
Quali sono quelli che hai trovato? (spoiler ovviamente)
Oddio hai ragione ho interpretato male credendo che le domande fossero due:
- Esistono numeri tali che la somma dei loro divisori ecc...
- Quanti e quali di questi ecc...
- Esistono numeri tali che la somma dei loro divisori ecc...
- Quanti e quali di questi ecc...
Ragazzi io per un po' stacco mi sa proprio che mi serve una pausa a questo punto...
Direi che la stagione è quella giusta ...
Boh! Visto che non penso si possa risolvere ragionando, l'ho di nuovo fatto fare a GeoGebra, dov'è bastata una sola riga di codice per averli fino a 10 miliardi.
Ciao
Ciao
Forte 'sto GeoGebra! 
... mi bastavano i primi quattro ...
... mi bastavano i primi quattro ...
"axpgn":
... mi bastavano i primi quattro ...
Aggiungere un paio di zeri non è una gran fatica!
Però speravo di stimolare il tuo spirito di esploratore... e allora ci provo in un altro modo: anche il quadrato di 29007674388 è una soluzione.Ciao
Non ho quegli strumenti fantastici ma provo a verificare ...
Tu dici che il quadrato del numero
$$29.007.674.388\ =\ 2^2*3^2*7*11*67*313*499$$
ovvero
$$841.445.173.400.231.174.544$$
appartiene alla categoria degli interi che hanno la somma dei loro divisori uguale ad un quadrato perfetto.
La somma dei divisori di quel numero è
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2^(4+1)-1)/(2-1)*(3^(4+1)-1)/(3-1)*(7^(2+1)-1)/(7-1)*(11^(2+1)-1)/(11-1)*(67^(2+1)-1)/(67-1)*(313^(2+1)-1)/(313-1)*(499^(2+1)-1)/(499-1)\ =$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 31/1*242/2*342/6*1330/10*300762/66*30664296/312*124251498/498\ =$
$$31*121*57*133*4557*98283*249501=3.177.629.688.582.180.269.361$$
Se lo scomponiamo in fattori primi
$$3^4*7^4*11^2*19^2*31^2*109^2*181^2$$
osserviamo che è veramente un quadrato perfetto, la cui radice è
$$3^2*7^2*11*19*31*109*181=56.370.468.231$$
Cordialmente, Alex
Tu dici che il quadrato del numero
$$29.007.674.388\ =\ 2^2*3^2*7*11*67*313*499$$
ovvero
$$841.445.173.400.231.174.544$$
appartiene alla categoria degli interi che hanno la somma dei loro divisori uguale ad un quadrato perfetto.
La somma dei divisori di quel numero è
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2^(4+1)-1)/(2-1)*(3^(4+1)-1)/(3-1)*(7^(2+1)-1)/(7-1)*(11^(2+1)-1)/(11-1)*(67^(2+1)-1)/(67-1)*(313^(2+1)-1)/(313-1)*(499^(2+1)-1)/(499-1)\ =$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 31/1*242/2*342/6*1330/10*300762/66*30664296/312*124251498/498\ =$
$$31*121*57*133*4557*98283*249501=3.177.629.688.582.180.269.361$$
Se lo scomponiamo in fattori primi
$$3^4*7^4*11^2*19^2*31^2*109^2*181^2$$
osserviamo che è veramente un quadrato perfetto, la cui radice è
$$3^2*7^2*11*19*31*109*181=56.370.468.231$$
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non ho quegli strumenti fantastici
Se ti interessa te ne posso far dono (generosissimo me).
Gran belle verifica. Epperò, quel dolcetto non l'ha confezionato GeoGebra: si è limitata ha produrre gli ingredienti, che ti ho girato.
Ciao
[ot]Premesso che era una battuta, lo so bene quanto si deve faticare talvolta per indicare la giusta strada a questi "potenti mezzi moderni" ...
GeoGebra non lo so usare (non sono ancora riuscito a disegnare un poligono dandogli le misure
), d'altra parte non ho più né voglia né tempo da dedicare a imparare nuovi strumenti ... pigramente, quando ne ho bisogno, preferisco continuare ad usare solo "pinza e cacciavite" ...
P.S.: ma GeoGebra scompone in fattori primi? Perché quello l'ho fatto tutto a manina ...[/ot]
Cordialmente, Alex
GeoGebra non lo so usare (non sono ancora riuscito a disegnare un poligono dandogli le misure
), d'altra parte non ho più né voglia né tempo da dedicare a imparare nuovi strumenti ... pigramente, quando ne ho bisogno, preferisco continuare ad usare solo "pinza e cacciavite" ... P.S.: ma GeoGebra scompone in fattori primi? Perché quello l'ho fatto tutto a manina ...[/ot]
Cordialmente, Alex
GeoGebra è uno strumento fantastico di cui finora sono solo riuscito a scalfire le potenzialità. Alcune cosette, come scomporre un numero non astronomico, sono anch'io più portato a farle a mano.
La mia questione è però un'altra: mi sto rompendo la testa sull'ultimo "indovinello", ma temo di non averlo capito appieno.........Beppe o Alex, sareste così "carini" da riformularlo in modo chiaro? Avete parlato di somme, ma io vedo solo prodotti. Applicando la richiesta di Alex alla risposta di Beppe, non mi ci trovo...............ci prego!!!
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La mia questione è però un'altra: mi sto rompendo la testa sull'ultimo "indovinello", ma temo di non averlo capito appieno.........Beppe o Alex, sareste così "carini" da riformularlo in modo chiaro? Avete parlato di somme, ma io vedo solo prodotti. Applicando la richiesta di Alex alla risposta di Beppe, non mi ci trovo...............ci prego!!!
"teorema55":
... Avete parlato di somme, ma io vedo solo prodotti. ...
Bella questa,
Prendiamo un numero naturale, per esempio $20$, i suo divisori (da non confondere con i fattori primi anche se a questi sono strettamente legati) sono $1, 2, 4, 5, 10, 20$ e la somma di quest'ultimi è $42$ che non è un quadrato perfetto (ed è il caso "normale").
Talvolta accade che questa somma sia un quadrato perfetto, per esempio ciò avviene per i numeri $3, 22, 70$; non è frequente ma neanche raro (ce ne sono $45$ sotto il mille).
Decisamente più raro è invece il caso che il numero stesso sia un quadrato (oltre che lo sia la somma dei suoi ivisori): questa era la mia richiesta, trovare questi numeri: quadrati perfetti loro e quadrati perfetti le somme dei loro divisori; sono solo quattro minori di un milione ma orsoulx ha trovato tutti quelli minori di dieci miliardi (attenzione: lui non ha elencato i numeri ma le loro radici che ovviamente sono intere ...)
Poi, tanto per giocare, ne ha aggiunto uno di ventuno cifre ...
Cordialmente, Alex
@Alex,
Ciao
Ciao
Notevole! ... ed ho anche capito come funziona il comando (i comandi) ...
... ed ho anche capito come funziona il comando (i comandi) ...
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