Divisori

[axpgn]

Qual è il più piccolo numero $n$ che abbia $100$ divisori ($1$ e $n$ compresi) ?

Cordialmente, Alex

[teorema55]

"axpgn":[quote="teorema55"]... Avete parlato di somme, ma io vedo solo prodotti. ...

Bella questa,

Prendiamo un numero naturale, per esempio $20$, i suo divisori (da non confondere con i fattori primi anche se a questi sono strettamente legati) sono $1, 2, 4, 5, 10, 20$ e la somma di quest'ultimi è $42$ che non è un quadrato perfetto (ed è il caso "normale").
Talvolta accade che questa somma sia un quadrato perfetto, per esempio ciò avviene per i numeri $3, 22, 70$; non è frequente ma neanche raro (ce ne sono $45$ sotto il mille).
Decisamente più raro è invece il caso che il numero stesso sia un quadrato (oltre che lo sia la somma dei suoi ivisori): questa era la mia richiesta, trovare questi numeri: quadrati perfetti loro e quadrati perfetti le somme dei loro divisori; sono solo quattro minori di un milione ma orsoulx ha trovato tutti quelli minori di dieci miliardi (attenzione: lui non ha elencato i numeri ma le loro radici che ovviamente sono intere ...)
Poi, tanto per giocare, ne ha aggiunto uno di ventuno cifre ...

Cordialmente, Alex[/quote]

Bene, ora tradotto in comprensibile, il problema è chiaro e mi ci divertirò un po' anch'io, anche se sarà difficile trovare qualcosa di più di voi due "mostri sacri"

.

[orsoulx]

"axpgn":ho anche capito come funziona

Questo lo davo per scontato! Ma non hai ancora risposto su come si possono trovare alcune soluzioni più grandi a partire da quell'elenco. Sfruttando la simpatica coincidenza $ (2^5-1)/(2-1)=(5^3-1)/(5-1) $ ne ho scovato uno con 31 cifre.
Un aiutone, che poi è l'osservazione da cui sono partito: come mai i primi quattro sono termini di una proporzione?

"teorema55":mi ci divertirò un po' anch'io

Benvenuto nella ristretta cerchia dei giocherelloni. Però cerca di evitare di citare interi interventi: è solo uno spreco di spazio e distrae chi legge..
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":Questo lo davo per scontato!

Supponi troppo!

"orsoulx":... Ma non hai ancora risposto su come si possono trovare alcune soluzioni più grandi a partire da quell'elenco. ...

Perché ho fatto finta di niente ... ... la pulce nell'orecchio me l'hai messa con quella frase ma ho subito declassato la questione a "irrisolvibile per me" ...
Ad ora non ho idee ... prometto che ci tornerò su ma non garantisco niente ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Forse ho intravisto qualcosa ...

Da quella coincidenza puoi sostituire $2^4$ con $5^2$ (cioè $2^2$ con $5$ nella base) e quindi "ingrandire" il numero in questione mantenendo la somma dei divisori costante perciò se era un quadrato rimane un quadrato, ma il punto non è questo ...
Dato un numero con le caratteristiche richieste, se introduci un "fattore" $p^a$ nel numero base tale per cui avvenga che $(p^(2a+1)-1)/(p-1)$ sia quadrato (come per esempio $p^a=3^2$) allora la somma dei divisori rimane un quadrato se già lo era ed il nuovo numero mantiene le caratteristiche richieste ... isn't it?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":ma il punto non è questo ...

Mas oui! Al posto di $ 83884^2 $ ho potuto usare $ 104855^2 $, che è un pochino più grande, ma ha anche il grande vantaggio di essere dispari (mentre la maggior parte delle altre soluzioni è pari).

"axpgn":ed il nuovo numero mantiene le caratteristiche richieste ... isn't it?

(Mas oui!)^3. Perché limitarsi ad un solo fattore primo? Pensando più in grande sbroglierai facilmente il groviglio e... , fortunatamente, non mi avrai a portata di mano.
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":Mas oui! Al posto di $ 83884^2 $ ho potuto usare $ 104855^2 $,

Sì, certamente (ed infatti l'ho detto ), intendevo dire che l'altro punto è più significativo ...

"orsoulx":(Mas oui!)^3. Perché limitarsi ad un solo fattore primo?

Perché in quel momento avevo solo quello sottomano ...

Inoltre, sempre per quella coincidenza, puoi inserire $20=2^2*5$ nella radice dato che poi daranno $31*31$ nella somma dei divisori ...

Ci sarebbe da precisare che tutti questi "inserimenti" si possono fare "impunemente" solo se tali fattori primi non sono già presenti altrimenti c'è da pensarci su, caso per caso ... o no? ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,
Mi sono limitato ad utilizzare l'informazione più evidente: "se due soluzioni non hanno fattori in comune, allora anche il loro prodotto sarà una soluzione".
Ciao

[axpgn]